Matemática A - Dúvidas e Exercícios

asofias

#Sofarco <3
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Angelzz

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Por exemplo no a) tens de meter lim(x->2+)f(x) = lim(x->2-)f(x) = f(2). Depois nas outras alíneas é a mesma coisa. :)
Alguém pode explicar o que tenho que fazer para resolver este exercício? :p

(A imagem ficou de lado, sorry xD)


Ver anexo 3678
Gostaria de acrescentar que em funções definidas por ramos que não estejam definidas em x=a, para esta função ser considerada contínua, os limites laterais (lim(x->a-) e lim(x->a+)) deverão ser iguais. Isto com acordo com as definições do Novo Programa.
Mensagem fundida automaticamente:

Gostaria de acrescentar que em funções definidas por ramos que não estejam definidas em x=a, para esta função ser considerada contínua, os limites laterais (lim(x->a-) e lim(x->a+)) deverão ser iguais. Isto com acordo com as definições do Novo Programa.
O que não aparece neste exercício.
 

Alfa

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Gostaria de acrescentar que em funções definidas por ramos que não estejam definidas em x=a, para esta função ser considerada contínua, os limites laterais (lim(x->a-) e lim(x->a+)) deverão ser iguais. Isto com acordo com as definições do Novo Programa.
Isso não é verdade.

Se a função não estiver definida em a, então não faz sentido falar em continuidade em a. A função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio, não sendo relevante o que acontece em pontos não pertencentes ao domínio.

Por exemplo, a função f definida por
  • x^2 para x menor que zero
  • x para x maior que zero
e a função g definida por
  • x^2 para x menor que zero
  • x+1 para x maior que zero
são ambas contínuas. Nenhuma está definida em zero, pelo que não há necessidade de ir avaliar se há limite em zero.

O que acontece é que f pode ser prolongada por continuidade a zero e g não pode. Isto é, se eu definir f(0)=0, então obtemos uma função contínua (desta vez com domínio R). Mas não há forma de definir g em zero de modo a obter uma função contínua, por os limites laterais serem diferentes. A função g é contínua, mas não tem um prolongamento contínuo a todo o R.
 

Angelzz

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Isso não é verdade.

Se a função não estiver definida em a, então não faz sentido falar em continuidade em a. A função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio, não sendo relevante o que acontece em pontos não pertencentes ao domínio.

Por exemplo, a função f definida por
  • x^2 para x menor que zero
  • x para x maior que zero
e a função g definida por
  • x^2 para x menor que zero
  • x+1 para x maior que zero
são ambas contínuas. Nenhuma está definida em zero, pelo que não há necessidade de ir avaliar se há limite em zero.

O que acontece é que f pode ser prolongada por continuidade a zero e g não pode. Isto é, se eu definir f(0)=0, então obtemos uma função contínua (desta vez com domínio R). Mas não há forma de definir g em zero de modo a obter uma função contínua, por os limites laterais serem diferentes. A função g é contínua, mas não tem um prolongamento contínuo a todo o R.
Ah, já sei! Obrigado! O que eu queria dizer era se um ponto a não pertencer ao Domínio, poder existir lim quando x->a.
 

Alfa

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Ah, já sei! Obrigado! O que eu queria dizer era se um ponto a não pertencer ao Domínio, poder existir lim quando x->a.
Sim, isso é verdade. De acordo com as definições do programa novo, se a não pertence ao domínio, basta que os limites laterais existam e sejam iguais para existir limite.
 

Alfa

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Olá, para provar que uma sucessao nao é limitada basta provar que ela é crescente e o seu limite é mais infinito por exemplo? (E assim provo que nao é majorada?)
Se uma sucessão é crescente e tende para mais infinito, então não é limitada. Mas pode acontecer que seja antes decrescente a tender para menos infinito, por exemplo; neste caso também não é limitada.

E pode ainda ocorrer que a sucessão não seja sequer monótona. Por exemplo, a sucessão de termo geral n*(-1)^n não é monótona, não tem limite nem tende para mais ou menos infinito e não é limitada.

Para provares que uma sucessão não é limitada podes começar por tentar perceber que tipo de comportamento é que ela tem; isso pode ajudar a perceber de que forma vais provar que não é limitada. A tua estratégia funciona, mas não é aplicável a todas as sucessões não limitadas.
 
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Thanks. Já agora, alguem pode me explicar porque é a opção c e não a d?
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É do livro da raiz, página 105 ex 2., não consigo colocar aqui a foto diz queque o ficheiro e muito grande
 
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Thanks. Já agora, alguem pode me explicar porque é a opção c e não a d?
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É do livro da raiz, página 105 ex 2., não consigo colocar aqui a foto diz queque o ficheiro e muito grande
A opção D tem uma função de Domínio R exceto 4. É uma função contínua no seu domínio.
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A opção D tem uma função de Domínio R exceto 4. É uma função contínua no seu domínio.
A C é descontínua pois lim(x->0+) é diferente de f(0).
 
Gostos: Samueli
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Se uma sucessão é crescente e tende para mais infinito, então não é limitada. Mas pode acontecer que seja antes decrescente a tender para menos infinito, por exemplo; neste caso também não é limitada.

E pode ainda ocorrer que a sucessão não seja sequer monótona. Por exemplo, a sucessão de termo geral n*(-1)^n não é monótona, não tem limite nem tende para mais ou menos infinito e não é limitada.

Para provares que uma sucessão não é limitada podes começar por tentar perceber que tipo de comportamento é que ela tem; isso pode ajudar a perceber de que forma vais provar que não é limitada. A tua estratégia funciona, mas não é aplicável a todas as sucessões não limitadas.
Aproveito para realçar a importância do excel que nos ajuda a compreender muito bem a parte das sucessões se são majoradas ou minoradas, principalmente esse exemplo dado, n*(-1)^n

Sem Título.png
 
Gostos: Alfa

Alfa

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Aproveito para realçar a importância do excel que nos ajuda a compreender muito bem a parte das sucessões se são majoradas ou minoradas, principalmente esse exemplo dado, n*(-1)^n

Ver anexo 3725
É claro que ter uma ferramenta computacional é importante para ter uma primeira ideia sobre o comportamento de uma sucessão. Mas isso não substitui um estudo mais analítico; por vezes a informação dada por um gráfico obtido dessa forma pode ser enganadora, incompleta ou incompleta. Mas desde que se esteja atento a possíveis problemas, é uma boa ferramenta. ;)
 
Gostos: Rogério Pedro