Matemática A - Dúvidas e Exercícios

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7 Dezembro 2016
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Então se 1-12C5/52C5 é igual à probabilidade de não sair nenhuma figura, o complementar não seria sair pelo menos 1 figura ?
Esquece, 1-(12C5/52C5) é a probabilidade de não se extraírem 5 figuras, logo P(A) não é igual a isso, porque extrair pelo menos uma figura implica tbm o caso de extrair 5 figuras.
A probabilidade de não se extrair nenhuma figura é 40C5/52C5 e a soma desta com a probabilidade de P(A) que eu disse já é igual a 1.
 
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6 Março 2017
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Ciências e Tecnologias 12º Ano
Esquece, 1-(12C5/52C5) é a probabilidade de não se extraírem 5 figuras, logo P(A) não é igual a isso, porque extrair pelo menos uma figura implica tbm o caso de extrair 5 figuras.
A probabilidade de não se extrair nenhuma figura é 40C5/52C5 e a soma desta com a probabilidade de P(A) que eu disse já é igual a 1.
Exato!
 
Gostos: luispeixoto922
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18 Junho 2018
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Esquece, 1-(12C5/52C5) é a probabilidade de não se extraírem 5 figuras, logo P(A) não é igual a isso, porque extrair pelo menos uma figura implica tbm o caso de extrair 5 figuras.
A probabilidade de não se extrair nenhuma figura é 40C5/52C5 e a soma desta com a probabilidade de P(A) que eu disse já é igual a 1.
I get it, não percebi onde fui buscar o 12C5 para este contexto, por isso é que fiz todas as perguntas. Obrigado :)
 
Gostos: luispeixoto922
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15 Outubro 2018
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olá, relativamente a trigonometria, tipo equaçoes trigonometricas e assim, como é que faço tan(x) = π ??? obrigada
 
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15 Outubro 2018
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olá, relativamente a funçoes inversas do cosseno e seno, alguém pode ajudar a resolver isto pff??

cos x = cos (arccos(-1/2))
 
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Boas pessoal, alguem ajuda neste?:
Uma caixa contem cartoes, indistinguiveis ao tato numeradas de 1 a 20. Os cartoes numerados com numero par tem cor branca e os cartoes numerados com numero impar tem cor amarela.
Considere a experiencia aleatoria que consiste em retirar sucessivamente dois cartoes da caixa, nao repondo o primeiro cartao retirado, e em registar a cor dos cartoes retirados.
1.1-Determine a probabilidade de os dois cartoes retirados da caixa terem cores diferentes. Apresente o resultado na forma de fração irredutivel.
Resultado é 10/19
Ps: Desculpem o atentado à lingua portuguesa :p
 
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9 Novembro 2018
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Boas pessoal, alguem ajuda neste?:
Uma caixa contem cartoes, indistinguiveis ao tato numeradas de 1 a 20. Os cartoes numerados com numero par tem cor branca e os cartoes numerados com numero impar tem cor amarela.
Considere a experiencia aleatoria que consiste em retirar sucessivamente dois cartoes da caixa, nao repondo o primeiro cartao retirado, e em registar a cor dos cartoes retirados.
1.1-Determine a probabilidade de os dois cartoes retirados da caixa terem cores diferentes. Apresente o resultado na forma de fração irredutivel.
Resultado é 10/19
Ps: Desculpem o atentado à lingua portuguesa :p
Os cartões são diferentes entre si, pois cada um tem um número diferente, e são retirados sucessivamente (o que dá indicação que a ordem é relevante), não havendo reposição. Desta forma:
Os casos possíveis correspondem a 20x19.
Atendendo a que existem 10 cartões para cada cor, os casos favoráveis a saírem 2 cartões com cores distintas correspondem a 10x10x2 (Note-se que, apesar de não existir reposição, como os cartões terão cores diferentes, isso não terá impacto nos casos favoráveis, isto é, ainda estarão na caixa 10 cartões da cor que não foi retirada na primeira extração; É importante notar também que pode sair primeiro um cartão branco e depois um cartão amarelo ou ao contrário, daí multiplicarmos por 2)
A probabilidade é, então: (10x10x2) / (20x19) = (10x20) / (20x19) = 10/19
 
Gostos: David1154
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18 Junho 2018
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Os cartões são diferentes entre si, pois cada um tem um número diferente, e são retirados sucessivamente (o que dá indicação que a ordem é relevante), não havendo reposição. Desta forma:
Os casos possíveis correspondem a 20x19.
Atendendo a que existem 10 cartões para cada cor, os casos favoráveis a saírem 2 cartões com cores distintas correspondem a 10x10x2 (Note-se que, apesar de não existir reposição, como os cartões terão cores diferentes, isso não terá impacto nos casos favoráveis, isto é, ainda estarão na caixa 10 cartões da cor que não foi retirada na primeira extração; É importante notar também que pode sair primeiro um cartão branco e depois um cartão amarelo ou ao contrário, daí multiplicarmos por 2)
A probabilidade é, então: (10x10x2) / (20x19) = (10x20) / (20x19) = 10/19
Se não tivesses explicado aquilo de ínicio, que é necessária a ordem, ainda tava com o mesmo problema. Tinha feito 10*10/20C2, dava o mesmo mas não poderia ser aceite.
Muito obrigado :)
 
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Se não tivesses explicado aquilo de ínicio, que é necessária a ordem, ainda tava com o mesmo problema. Tinha feito 10*10/20C2, dava o mesmo mas não poderia ser aceite.
Muito obrigado :)
De nada!
Quando se fala em conjuntos ou em extrações que são feitas simultaneamente, regra geral é para utilizar combinações. Já quando as extrações são realizadas sucessivamente, regra geral é para utilizar arranjos e ter em atenção a ordem.
Claro que isto são indicadores que nos podem ajudar, mas é importante ter em atenção o exercício em causa. Julgo que existem alguns exercícios que pedem probabilidades em que podemos trabalhar tanto com combinações como com arranjos, sendo necessário, nesses casos, ser coerente no cálculo dos casos possíveis e dos casos favoráveis (recorrer a combinações em ambos ou a arranjos em ambos!).
Porém, Isto não acontece sempre! Muitos exercícios tÊm mesmo de ser resolvidos com arranjos e outros com combinações, mas o que quero dizer é que acho que a tua resolução, neste caso, também estaria correta (repara que tu, nos casos favoráveis que determinaste, estás, no fundo, a fazer (10 C 1) x (10 C 1), não tendo em conta a ordem, pois não multiplicas por 2, tal como fazes nos casos possíveis)
 
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18 Junho 2018
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De nada!
Quando se fala em conjuntos ou em extrações que são feitas simultaneamente, regra geral é para utilizar combinações. Já quando as extrações são realizadas sucessivamente, regra geral é para utilizar arranjos e ter em atenção a ordem.
Claro que isto são indicadores que nos podem ajudar, mas é importante ter em atenção o exercício em causa. Julgo que existem alguns exercícios que pedem probabilidades em que podemos trabalhar tanto com combinações como com arranjos, sendo necessário, nesses casos, ser coerente no cálculo dos casos possíveis e dos casos favoráveis (recorrer a combinações em ambos ou a arranjos em ambos!).
Porém, Isto não acontece sempre! Muitos exercícios tÊm mesmo de ser resolvidos com arranjos e outros com combinações, mas o que quero dizer é que acho que a tua resolução, neste caso, também estaria correta (repara que tu, nos casos favoráveis que determinaste, estar, no fundo, a fazer (10 C 1) x (10 C 1), não tendo em conta a ordem, pois não multiplicas por 2, tal como fazes nos casos possíveis)
Pois também pensei que possa estar correta, por exemplo, se tivesse feito 10*10*2/20C2, já não, pois estaria a cair em incoerência dizendo que importaria a ordem e ao mesmo tempo que não importaria a ordem. Contudo, nas soluções , dizia : " 10*10*2/20*19 - pontuação máx(12), 10*10/20*19- 8 pontos , 10*10*2/20*20- 6 pontos, outras situações - 0 pontos" Por isso talvez fosse mesmo importante a ordem.
 
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O facto de as extrações serem realizadas sucessivamente (e os cartões serem todos diferentes entre si, pois cada um tem um número) leva-me logo a considerar que a ordem é realmente importante, daí a minha resolução refletir isso mesmo e, caso tivesse de resolver essa questão num teste/exame, iria por aí, pois o enunciado dá alguns sinais que devemos ter em conta a ordem. Posto isto, não te consigo dar uma razão clara e indubitável para a tua resolução estar errada neste caso específico, nomeadamente quando o resultado é o mesmo e o raciocinio não me parece errado para esta situaçao específica xD
 
Gostos: David1154
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18 Junho 2018
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O facto de as extrações serem realizadas sucessivamente (e os cartões serem todos diferentes entre si, pois cada um tem um número) leva-me logo a considerar que a ordem é realmente importante, daí a minha resolução refletir isso mesmo e, caso tivesse de resolver essa questão num teste/exame, iria por aí, pois o enunciado dá alguns sinais que devemos ter em conta a ordem. Posto isto, não te consigo dar uma razão clara e indubitável para a tua resolução estar errada neste caso específico, nomeadamente quando o resultado é o mesmo e o raciocinio não me parece errado para esta situaçao específica xD
Realmente essas "pistas" são bastante importantes, e sinceramente, nunca olho para elas da forma que devo olhar. Agora já sei que devo dar mais atenção a esses pormenores. Mais uma vez, obrigado :)
 
Gostos: Estudante96

Alfa

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A propósito desta conversa sobre arranjos e combinações, deixem-me tentar esclarecer a diferença e a razão pela qual, em problemas de probabilidade, usar uma coisa ou outra produz frequentemente o mesmo resultado.

A maioria dos problemas de combinatória do secundário, podendo ter mais ou menos pormenores, mais ou menos "extras", resume-se a contar um certo número de objectos que podem ser divididos em dois tipos: conjuntos (ou subconjuntos) e sequências.

Um conjunto, pela sua própria definição, é uma colecção de coisas (objectos, pessoas, números, etc.) que não está ordenada ou organizada de uma forma específica; a única coisa que interessa quando se especifica um conjunto é que elementos ele tem. Daí que o conjunto cujos elementos são os números 1, 2 e 3 possa ser escrito como {1,2,3} ou como {2,3,1} sem alterar o seu significado. Quando se formam equipas de pessoas, quando se extraem bolas de caixas em simultâneo (ou sem que seja relevante para o problema a ordem pela qual elas foram extraídas), nestes e noutros casos o que estamos a enumerar são conjuntos.

Uma sequência, pelo contrário, é uma colecção ordenada de objectos. A sequência (1,2,3) é diferente da sequência (2,3,1). Quando extraímos bolas de caixas de modo sequencial, quando formamos palavras ou listas, nestes e noutros casos enumeramos sequências.

(Uma outra diferença importante entre sequências e conjuntos é que uma sequência pode ter termos repetidos, por exemplo, (1,3,1), enquanto que o conjunto {1,3,1} é simplesmente uma forma mais deselegante de escrever o conjunto {1,3}. Daí que existam arranjos com e sem repetição.)

Se sequências e conjuntos são tão fundamentalmente diferentes, porque é que existem problemas de probabilidade nos quais o resultado numérico produzido por usar uns ou outros é igual? Reparem que isto só acontece com problemas de probabilidade, não com problemas de enumeração do tipo "de quantas formas...?". Isto tem a ver com conceitos um pouco mais avançados de Matemática, mas vou tentar dar uma explicação satisfatória.

Considerem o seguinte problema de probabilidade: numa caixa encontram-se oito bolas, numeradas de 1 a 8; extraem-se três bolas da caixa; qual é a probabilidade de, entre as três bolas extraídas, se encontrar a bola com o número 5?

Este problema é simples, mas tem um enunciado um pouco ambíguo: não é dito explicitamente como é feita a extracção. Um acontecimento elementar desta experiência aleatória deve ser encarado como um conjunto de três bolas ou uma sequência de três bolas?

Se encararmos os resultados elementares como conjuntos, a resposta ao problema é \({}^7C_2/{}^8C_3\) (os casos favoráveis obtêm-se pensando que, tendo forçosamente de fazer parte da extracção a bola 5, só temos de "escolher" duas das sete bolas restantes para a completar), ou seja, \(3/8\).

Se encararmos os resultados elementares como sequências, a resposta ao problema é \( (3\times 7\times 6)/(8\times 7\times 6)\) (aqui os casos favoráveis obtêm-se pensando que a bola 5 pode surgir em qualquer das três posições da sequência, daí o factor 3, sendo as restantes posições ocupadas por duas bolas distintas de entre as sete que restam), ou seja, novamente \(3/8\).

A coincidência explica-se da seguinte forma. Dado um conjunto de três bolas, por exemplo {2,4,7}, há várias sequências que podemos formar com os seus elementos. De facto, existem \(3!=6\) formas de ordenar o conjunto, existindo então 6 sequências com exactamente estes termos: (2,4,7), (4,2,7), (7,4,2), (2,7,4), (7,4,2), (4,7,2). Em geral, para cada conjunto de três elementos há seis sequências de três termos distintos formadas com os elementos desse conjunto. Quando passamos de conjuntos a sequências, o nosso universo de casos possíveis expande-se (porque há mais sequências que conjuntos); de facto, fica seis vezes maior pela razão que expliquei. Mas o universo de casos possíveis, pela mesma razão, fica seis vezes maior! Ao considerarmos sequências em vez de conjuntos, é como se multiplicássemos o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis por 6; como estamos a calcular uma probabilidade, isso equivale a multiplicar o numerador e o denominador de uma fracção pelo mesmo número, o que não altera a fracção. É isto que explica a coincidência de resultados: a "uniformidade" com que um conjunto dá sempre (no nosso exemplo) seis sequências.

Então qual das resoluções está certa? Bem, em situações de exame nacional é costume os critérios de correcção contemplarem ambas as possibilidades. Mas para bem do rigor, se o problema dissesse "extraem-se simultaneamente", seria mais correcto modelar os resultados da experiência aleatória como conjuntos e, se o problema dissesse "extraem-se sequencialmente", seria mais correcto usar antes sequências. Quando o problema é ambíguo, como é o caso, ambas as interpretações são possíveis, mas, felizmente, produzem o mesmo resultado.
 
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18 Junho 2018
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A propósito desta conversa sobre arranjos e combinações, deixem-me tentar esclarecer a diferença e a razão pela qual, em problemas de probabilidade, usar uma coisa ou outra produz frequentemente o mesmo resultado.

A maioria dos problemas de combinatória do secundário, podendo ter mais ou menos pormenores, mais ou menos "extras", resume-se a contar um certo número de objectos que podem ser divididos em dois tipos: conjuntos (ou subconjuntos) e sequências.

Um conjunto, pela sua própria definição, é uma colecção de coisas (objectos, pessoas, números, etc.) que não está ordenada ou organizada de uma forma específica; a única coisa que interessa quando se especifica um conjunto é que elementos ele tem. Daí que o conjunto cujos elementos são os números 1, 2 e 3 possa ser escrito como {1,2,3} ou como {2,3,1} sem alterar o seu significado. Quando se formam equipas de pessoas, quando se extraem bolas de caixas em simultâneo (ou sem que seja relevante para o problema a ordem pela qual elas foram extraídas), nestes e noutros casos o que estamos a enumerar são conjuntos.

Uma sequência, pelo contrário, é uma colecção ordenada de objectos. A sequência (1,2,3) é diferente da sequência (2,3,1). Quando extraímos bolas de caixas de modo sequencial, quando formamos palavras ou listas, nestes e noutros casos enumeramos sequências.

(Uma outra diferença importante entre sequências e conjuntos é que uma sequência pode ter termos repetidos, por exemplo, (1,3,1), enquanto que o conjunto {1,3,1} é simplesmente uma forma mais deselegante de escrever o conjunto {1,3}. Daí que existam arranjos com e sem repetição.)

Se sequências e conjuntos são tão fundamentalmente diferentes, porque é que existem problemas de probabilidade nos quais o resultado numérico produzido por usar uns ou outros é igual? Reparem que isto só acontece com problemas de probabilidade, não com problemas de enumeração do tipo "de quantas formas...?". Isto tem a ver com conceitos um pouco mais avançados de Matemática, mas vou tentar dar uma explicação satisfatória.

Considerem o seguinte problema de probabilidade: numa caixa encontram-se oito bolas, numeradas de 1 a 8; extraem-se três bolas da caixa; qual é a probabilidade de, entre as três bolas extraídas, se encontrar a bola com o número 5?

Este problema é simples, mas tem um enunciado um pouco ambíguo: não é dito explicitamente como é feita a extracção. Um acontecimento elementar desta experiência aleatória deve ser encarado como um conjunto de três bolas ou uma sequência de três bolas?

Se encararmos os resultados elementares como conjuntos, a resposta ao problema é \({}^7C_2/{}^8C3\) (os casos favoráveis obtêm-se pensando que, tendo forçosamente de fazer parte da extracção a bola 5, só temos de "escolher" duas das sete bolas restantes para a completar), ou seja, \(3/8\).

Se encararmos os resultados elementares como sequências, a resposta ao problema é \( (3\times 7\times 6)/(8\times 7\times 6)\) (aqui os casos favoráveis obtêm-se pensando que a bola 5 pode surgir em qualquer das três posições da sequência, daí o factor 3, sendo as restantes posições ocupadas por duas bolas distintas de entre as sete que restam), ou seja, novamente \(3/8\).

A coincidência explica-se da seguinte forma. Dado um conjunto de três bolas, por exemplo {2,4,7}, há várias sequências que podemos formar com os seus elementos. De facto, existem \(3!=6\) formas de ordenar o conjunto, existindo então 6 sequências com exactamente estes termos: (2,4,7), (4,2,7), (7,4,2), (2,7,4), (7,4,2), (4,7,2). Em geral, para cada conjunto de três elementos há seis sequências de três termos distintos formadas com os elementos desse conjunto. Quando passamos de conjuntos a sequências, o nosso universo de casos possíveis expande-se (porque há mais sequências que conjuntos); de facto, fica seis vezes maior pela razão que expliquei. Mas o universo de casos possíveis, pela mesma razão, fica seis vezes maior! Ao considerarmos sequências em vez de conjuntos, é como se multiplicássemos o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis por 6; como estamos a calcular uma probabilidade, isso equivale a multiplicar o numerador e o denominador de uma fracção pelo mesmo número, o que não altera a fracção. É isto que explica a coincidência de resultados: a "uniformidade" com que um conjunto dá sempre (no nosso exemplo) seis sequências.

Então qual das resoluções está certa? Bem, em situações de exame nacional é costume os critérios de correcção contemplarem ambas as possibilidades. Mas para bem do rigor, se o problema dissesse "extraem-se simultaneamente", seria mais correcto modelar os resultados da experiência aleatória como conjuntos e, se o problema dissesse "extraem-se sequencialmente", seria mais correcto usar antes sequências. Quando o problema é ambíguo, como é o caso, ambas as interpretações são possíveis, mas, felizmente, produzem o mesmo resultado.
Muito obrigado! :) Muito bem explicado!
 
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