Discussões Científicas

 
^ Aqui há uma fórmula que aparece-me como texto simples e que não consegui interpretar.
Corrigido, obrigado pelo reparo!

A energia cinética não é suficiente para descrever a velocidade (como vetor). Talvez a palavra certa fosse «rapidez», em vez de «velocidade».
A energia cinética, pela sua definição, está intimamente ligada com o módulo/a norma do vector velocidade; o que eu estou a tentar destacar é que o conhecimento dessa mesma norma, no caso geral, não é suficiente para descrever adequadamente o comportamento do sistema, uma vez que existem mais graus de liberdade do que apenas um valor. E, aliás, mesmo conhecer a norma da velocidade é insuficiente no caso unidimensional, uma vez que um corpo a mover-se com velocidade [imath]\vec{v}= 5 \vec{e}_x[/imath] e outro com velocidade [imath]\vec{v} = - 5 \vec{e}_x[/imath] terão ambos um velocidade com norma 5.

«Tempo absoluto»: eu procurava uma manifestação ou um indício +- material disto mesmo.

Pronto, aí posso mesmo dizer com toda a segurança: à luz do nosso conhecimento actual, que, neste aspecto, é bastante apoiado pelas experiências que se têm vindo a fazer, tal coisa não existe, nem pode existir.

Em relação à minha dúvida geral ("O que é o tempo?"), pela qual desenvolvi várias outras perguntas, considero que já está respondida. Obrigado pelo esforço, por tentares responder às perguntas.

Sempre às ordens! Obrigado eu pelas tuas contribuições para a discussão, que talvez possa ser relevante também para outros leitores que por aqui passem.
 
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Eu nal est



Eu não estava a apresentar um argumento. Foi uma hipótese que me passou pela cabeça, mas já vi que como não tinha noção, até agora das leis que regem o nosso universo e que tu explicas te de forma bastante explícita. Quando falas em forças ficticias suponho que falas, por exemplo da força que opõe a força que mantém uma montanha russa nos carris quando faz um looping, acho...

Em relação ao antes do big bang, será que não dá para fazer um paralelismo entre o que acontece quando temos uma temperatura inferior ao zero absoluto (tive que fazer uma pesquisa recentemente e dizia que já tinham conseguifo ultrapassar essa temperatura em algumas centésimas acho)

Não percebi bem o argumento que quiseste fazer, mas posso tentar contextualizar e apresentar o posicionamento científico mais usual em relação ao Big Bang e esperar que isso te esclareça ou, por outro lado, te permita reformular ou redireccionar a questão para o ponto que te seja mais relevante. Vai ser um pouco comprido, porque, por um lado, não quero assumir nada relativamente ao nível de conhecimentos a que estarão todos os eventuais leitores, e, por outro, não consigo impedir-me de escrever mais do que o que deveria...






O Big Bang






A Física, de uma maneira geral, não se preocupa com o que se passou antes do Big Bang. Isto é, as teorias físicas, tal como as conhecemos e concebemos hoje em dia, poderão (tentar) explicar quase toda a história do Universo desde o primeiro instante depois de ter ocorrido o Big Bang, mas nada conseguem adiantar quanto ao momento do Big Bang em si e muito menos ao que quer que seja que se pudesse encontrar algures antes dele.



Até porque, à luz da Física que usamos para o descrever - que se enquadram no âmbito da Cosmologia -, o próprio momento do Big Bang corresponde, por um lado, a um ponto matematicamente intratável (uma singularidade, um pouco à semelhança do que alguns leitores eventualmente saberão que se poderá encontrar no centro de um buraco negro), e, por outro, a um estado de coisas em que o espaço-tempo estava todo concentrado nesse mesmo ponto.



Vou deixar isso assentar um bocadinho: o espaço e o tempo estavam concentrados num único ponto.



Para explicar devidamente o que quero dizer com isso, temos de fazer um desvio mais ou menos longo pela Relatividade Geral e, antes disso, pela Relatividade Restrita, que lhe está na origem e é conceptualmente muito mais simples, para só no fim revisitarmos a questão propriamente dita.



Tenham paciência, se puderem.






Relatividade Restrita






É comum ouvir-se, mesmo em comunicações sem grande profundidade científica, o princípio de que a velocidade da luz é finita e constante, ou alguma coisa parecida. Não é inteiramente verdade: a velocidade da luz pode depender do meio, muito à semelhança do que ocorre com o som (basta pensar no som no ar versus debaixo de água, onde é muito mais rápido), mas, para o que nos interessa, que é o Espaço, e para aquilo que mais experienciamos no nosso dia-a-dia, que é o ar atmosférico, essa velocidade é praticamente igual, correspondendo à razoavelmente famosa constante da velocidade da luz, \(c \simeq 3\times10^8 m/s\).



Portanto, quando digo constante, não me refiro ao facto de ter o mesmo valor independentemente do material, refiro-me à muito mais profunda propriedade de a velocidade da luz ter um valor constante independentemente da velocidade a que se viaje. Fazendo um paralelo simples, se eu atirar uma bola a \(10 km/h\) e me meter num carro que vai a \(20 km/h\) na direcção oposta, vou ver a bola a mover-se relativamente a mim a 30 km/h\). Com a luz, não se passa nada disso: supondo que estou parado e aponto uma lanterna numa direcção, vou ver que a luz se propaga aos tais \(3\times10^8 m/s\); se eu me puser num carro e andar na direcção oposta, independentemente da velocidade a que eu vá, iria ver a luz a propagar-se a \(3\times10^8 m/s\), e, pior ainda, se andasse na mesma direcção da luz, em vez de a ver a deslocar-se mais lentamente, vê-la-ia na mesma a propagar-se a \(3\times10^8 m/s\). Frustrante, não é?



Houve, historicamente, alguma celeuma em torno desta conclusão, que parece completamente ilógica à nossa experiência quotidiana, mas diversos resultados experimentais (o mais famoso dos quais a Experiência de Michelson-Morley, embora eu considere, pessoalmente, que a Experiência de Fizeau mereça mais reconhecimento do que o que normalmente se lhe atribui), para além de outras indicações provenientes das equações que regem o Electromagnetismo, comprovam-na para além de quaisquer dúvidas razoáveis. E, aliás, uma boa parte da Ciência e da Tecnologia que temos hoje em dia não funcionaria como funciona se não fosse verdade.



Este comportamento, à falta de melhor termo, estúpido da luz tem consequências muito importantes. Einstein, com base num conjunto de experiências de pensamento muito interessantes (e que, se depois alguém quiser, posso tentar explicar em maior detalhe), conseguiu demonstrar que, por causa de a luz se propagar sempre à mesma velocidade, se eu me mover com certa velocidade, vou sentir dois efeitos em simultâneo: a dilatação dos tempos e a contracção dos espaços. Trata-se de algo completamente impossível de conciliar com a nossa experiência do dia-a-dia, mas, tanto quanto posso dizê-lo, garanto que é inteira e absolutamente verdade e, mais uma vez, experimentalmente verificável.



Acho que, mais do que explicar, o melhor é exemplificar. Suponhamos que existe um corredor muito comprido com uma régua desenhada no chão e uma parede cheia de relógios a intervalos regulares. Agora, vamos supor que um infeliz qualquer com uma reguinha na mão e um relógio de pulso (até posso ser eu...) é, de algum modo, lançado ao longo desse corredor com uma certa velocidade, que, já agora, terá de ser bastante grande. Vamos, também, dizer que o corredor está em vácuo para não nos chatearmos com a resistência do ar, o que quer dizer que a velocidade se manterá constante ao longo do movimento, e não vamos mesmo querer saber o que é que acontece quando o infeliz atingir o fundo do corredor, por razões óbvias...



Bom, ao abrigo da Relatividade Restrita, o que o infeliz irá ver é... mais do que surreal: as marcas da régua no chão vão encolher relativamente às da reguinha que o infeliz leva, enquanto os ponteiros dos relógios na parede se vão mover muito mais depressa do que os do relógio de pulso do infeliz. Se isto ainda não vos fez confusão, parabéns: ou já sabem o que tenho para vos explicar, ou são quase tão tresloucados como eu, ou vão ter mesmo de reler a frase anterior até compreenderem.



Se eu andar suficientemente depressa, o espaço encolhe e o tempo passa mais devagar por mim.



Por outras palavras, o intervalo de espaço e de tempo entre duas coisas depende da velocidade a que eu ando.



Por outras palavras ainda, intervalos de tempo e de espaço são relativos, e, sobretudo, intervalos de tempo e de espaço de uma mesma coisa estão relacionados, posto que uns encolhem e outros esticam - na mesma proporção, posso acrescentar, visto que, se uma velocidade é um intervalo de espaço a dividir por um intervalo de tempo, só assim se garante que a velocidade da luz se mantenha constante. Daí que se fale em Espaço-Tempo.



Existe uma outra consequência da Relatividade Restrita, simbolizada pela vulgarmente conhecida equação \(E = m c^2\), que é o facto de a massa e a energia de um corpo serem equivalentes (a menos do factor de \(c^2\)). Por outras palavras, uma certa massa corresponde a uma certa energia, e isto está na base de muitos dos processos, por exemplo, que se estudam no CERN: a criação de matéria (portanto, massa) a partir da energia que é transportada nos feixes que colidem. Visto que, no nosso dia-a-dia, não lidamos muito directamente nem com massas, nem com energias, dizer isto acaba por não ser tão impactante e, para não tornar isto ainda maior do que já é, não me vou alongar mais.



Ter esta noção de que a massa e a energia são mais ou menos convertíveis não é importante para compreender o que se seguirá, mas queria só destacar, em prol do rigor científico, que esta igualdade tão famosa só se verifica, na verdade, para corpos em repouso; um corpo a mover-se com velocidade \(v\) terá energia dada por:

\[E = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} m c^2\]



(Tecnicamente, existe a possibilidade de se fazer \(E = m^* c^2\) com \(m^* = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} m\) para respeitar a forma popular da equação, mas aqui já entramos um pouco no âmbito da aldrabice de notação e/ou da redefinição de conceitos simples para coisas mais confusas - neste caso, o de distinguir a massa do corpo em repouso de uma "massa relativística" -, que eu pessoalmente abomino.)



Isto tem a consequência importante de nenhum corpo com massa poder atingir a velocidade da luz, posto que isso equivaleria à situação não Física de ter energia infinita.







Resumo: o espaço e o tempo estão relacionados: os intervalos de Espaço-Tempo dependem da velocidade a que se vai.






Relatividade Geral






Devo confessar que, pessoalmente, (ainda) não me encontro tão familiarizado com a Relatividade Geral a ponto de a conseguir digerir e apresentar da forma mais intuitiva possível. Aliás, uma parte das questões teóricas e formais que lhe estão associadas (se querem mesmo saber, tensores, geometrias não-euclidianas...) acaba por ser de natureza quase inteiramente matemática, pelo que seria um pouco contraproducente discorrer sobre os princípios mais fundamentais aqui. Vou, em vez disso, arriscar-me a tratar os assuntos mais pela rama e apresentar parte dos raciocínios que levaram Einstein a propor esta teoria.



Mesmo antes de um certo e determinado Isaac Newton decidir passar as tardes de Verão a levar com suculentas maçãs na cabeça, já se tinha mais ou menos a ideia de que a massa de um corpo lhe permite atrair outros corpos com massa à sua volta. Newton teve o condão de providenciar um bom formalismo teórico para explicar isto e tudo ficou bem durante muitos anos, porque a Lei de Gravitação Universal que ele propôs se aplica bastante bem aos casos em que mais prontamente poderíamos ter dados experimentais: coisas a caírem cá na Terra e a maior parte dos planetas a andarem em torno do Sol. Aliás, funciona mesmo tão bem que permitiu a um francês de nome Le Verrier prever a existência de Neptuno por continhas, antes de este planeta ser observado com um telescópio, em meados do século XIX.



Avançando para o início do século XX, existiam umas quantas discordâncias entre a teoria e a experiência. Em particular, a órbita de Mercúrio rodava em torno do Sol de uma maneira incompatível com a gravidade newtoniana, o que, numa altura em que se pensava que tudo o resto estava mais ou menos explicado (citando liberalmente Lord Kelvin - não, não é esse @LordKelvin...), constituía um ligeiro desconforto.



Eis que chega Einstein, com mais uma das suas fantásticas experiências de pensamento. Neste caso, imagina um elevador, com um ocupante sortudo e nada infeliz porque não tem de ir pelas escadas. Imaginou, aliás, que esse ocupante até tinha a sorte de ter uma bolinha com ele com que se distrair.



1) Começou por imaginar um elevador parado, no Espaço, longe de qualquer outro corpo. Nem o sortudo, nem a bolinha têm qualquer aceleração em relação ao elevador, e, se ele a largar sem lhe dar qualquer impulso, a bolinha fica parada à mesma altura.



2) Supôs, agora, um elevador à superfície da Terra. O sortudo sente o seu peso, a bolinha sente o seu peso, têm a aceleração da gravidade em relação ao elevador, e, se ele largar a bolinha, ela cai, como seria de esperar.



3) Depois, pôs esse mesmo elevador de novo no Espaço, mas a ser acelerado "para cima" com uma aceleração constante e igual à aceleração da gravidade à superfície da Terra. O sortudo e a bolinha sentirão, devido a uma coisa que depois posso explicar em mais detalhe mas a que comummente se chama (embora incorrectamente) forças fictícias, uma força "para baixo" que é idêntica ao seu peso, e, logicamente, uma aceleração oposta à do elevador, pelo que, se largar a bolinha, ela também vai cair.



4) Por fim, decidiu ser muito mauzinho e imaginou o elevador no topo de um edifício muito comprido (talvez tão comprido como o corredor no meu exemplo da régua e dos relógios). Subitamente, cortam-se os cabos e o elevador começa a cair sob a acção da gravidade. Lá dentro, relativamente ao elevador, o sortudo não sente qualquer aceleração, a bolinha não sente qualquer aceleração, pelo que, se ele a largar, ela fica à mesma altura.



Einstein supôs, ainda, que o elevador era fechado, de modo que o sortudo não podia saber onde estava, e vamos obviamente admitir que era um elevador suficientemente hermético para o pobre coitado não sufocar no Espaço.



Lá de dentro do elevador, os casos 1 e 4 e os casos 2 e 3 são indistinguíveis: a bola fica parada à mesma altura ou cai, respectivamente. Por causa disto, ele concluiu, muito legitimamente, que um corpo parado era localmente indistinguível de um corpo em queda livre sob a acção da gravidade. Com base noutras considerações mais complexas que entroncam já nos tais aspectos matemáticos que não quero abordar, isto acaba por implicar que, longe da ideia Newtoniana de um corpo permanecer em repouso ou movimento rectilíneo uniforme na ausência de forças exteriores, o que sucede é que um corpo segue uma linha, a chamada geodésica, que minimiza a distância percorrida entre a sua posição inicial e a final.



No Espaço, na ausência de forças gravíticas, essa geodésica é perfeitamente concordante com a ideia de Newton: uma linha recta. Porém, na presença de um corpo massivo, a geodésica invariavelmente acaba por apontar na sua direcção. Como resolver isto? Conceptualmente, é simples: a gravidade curva o espaço.



Momento em que faço outra pausa para ênfase: a gravidade deforma o espaço. Mas, se o espaço é... enfim... aquela coisa mais ou menos abstracta sobre a qual podemos posicionar outras coisas, como é que se deforma? Para onde é que se deforma? Mais uma vez, conceptualmente, é simples: tal como no exemplo das réguas, o que sucede é que há direcções em que os comprimentos medidos parecem encolher e outras onde esticam, o que leva a que, se nos queremos manter na tal trajectória que minimiza a distância percorrida, comecemos a curvar na direcção onde os comprimentos são menores.



Tudo isto é mais complicado pelo facto de, como vimos na Relatividade Restrita, intervalos de espaço e de tempo não serem independentes por a velocidade da luz ser finita e fixa, o que quer dizer que a gravidade deforma não só os intervalos de espaço, mas também os intervalos de tempo. Não vale a pena imiscuirmo-nos nessa complexidade. Basta dizer que, até à data, a Relatividade Geral é a descrição mais fiável que se conhece para qualquer fenómeno de natureza gravítica, e, em particular, para expressarmos a evolução do Universo, e que os tais problemas com a órbita de Mercúrio são inteiramente resolvidos por ela.







Resumo: a gravidade deforma o Espaço-Tempo.






O Big Bang, Outra Vez






Após este grande desvio, creio que nos encontramos munidos dos conceitos suficientes para abordar devidamente a questão do Big Bang.



Para o fazermos, preciasamos (ainda!) de umas noções básicas de Cosmologia.



Deve ser mais ou menos frequente ouvir-se que o Universo está em expansão. Há evidências disso desde por volta dos anos 20, com as primeiras observações de outras galáxias que, por um processo físico também ele curioso (e relacionado com a Relatividade Restrita) e que posso depois explicar, se pôde determinar que se estavam a afastar de nós. Pior, à medida que mais galáxias eram descobertas, verificava-se que, quanto mais distantes de nós, mais depressa se afastavam.



Como? Porquê? Bem... o porquê é uma pergunta muito espinhosa, mas o como tem uma resposta mais ou menos simples, por menos... enfim, razoável que pode parecer. Lembram-se do que disse acerca dos intervalos de espaço-tempo poderem mudar? Pois bem, verifica-se, ou teoriza-se, ou, aliás, tem-se fortes razões para crer que eles estão a aumentar entre as galáxias. Ou seja, aquilo que registamos não é bem que as galáxias se estejam a afastar de nós, é mais como se o espaço que existe entre nós e elas... aumentasse.



Eu sei, é estranho. Se quisermos, imaginemos que temos dois pontos, sei lá, duas estacas enterradas na areia ou coisa parecida, e queremos medir a distância entre eles com as sempre presentes reguinhas. A situação que eu estou a tentar descrever é como se, subitamente, a escala da régua começasse a aumentar, de tal forma que o que outrora eram dois metros passaram a ser três, ou quatro, ou mil...



Para que é que isto nos serve? Simples: é que, se o Universo se está a expandir neste momento, à medida que recuemos no tempo para o passado, veremos as coisas cada vez mais próximas.



E cada vez mais próximas.



E cada vez mais próximas.



Existem algumas subtilezas e particularidades que estou a ignorar aqui em prol da simplicidade da discussão, mas há muito boas razões para defender que, há cerca de 13.8 mil milhões de anos (\(13.8\times 10^9\) anos), toda a matéria que se encontra no Universo se encontrava próxima, muito próxima, muito concentrada. E, como vimos, a matéria, porque gera gravidade, deforma o espaço. E, havendo muita matéria no Universo, essa deformação vai ser muito significativa. Se recuarmos suficientemente, vai haver um instante em que essa matéria está toda concentrada num só ponto, o que gera a tal singularidade, o tal infinito muito chato, agora posso dizê-lo, na deformação do espaço-tempo. E é nesse momento que a Física basicamente arde toda e não conseguimos concluir nada.



Porque é que se chama a isto Big Bang? Primeiro, por razões históricas (foi um nome pejorativo atribuído a esta teoria numa altura em que a crença vigente era a de que o Universo era estático e, por isso, seria ridículo propor que tinha "explodido" a partir do nada), mas sobretudo porque, por diversas considerações teóricas e alguns resultados experimentais, se pode concluir que, em menos de um nanossegundo, o Universo expandiu do tal estado de "ponto onde a Física ardeu" para algo absurdamente maior (a Wikipédia, fonte sempre de desconfiar, mas enfim, fala, em determinado momento, numa expansão por um factor de \(10^{26}\), o que é efectivamente absurdamente grande). Porque se deu esta Inflação (que é o nome atribuído a este processo, nada a ver com Economia!)? Creio que (ainda) não se sabe bem. Porque é forçoso que se tenha dado esta Inflação? É... um pouco mais complicado e tem a ver com os efeitos que a limitação da velocidade da luz traz sobre a causalidade. Posso, eventualmente, detalhar em momento posterior, mas creio que isto já vai longo e não vale a pena.



O que importa, sobretudo, extrair daqui? É que tudo o que a Física sabe só começa no instante em que a matéria sai daquele ponto infinito inicial. Não é, à luz do que sabemos hoje, sequer possível expressar algo que exista antes disso, também por não haver um claro "antes": o tempo, à semelhança do espaço, também estava infinitamente curvado. É confuso? Sem dúvida. Acho que até para as maiores figuras da área o é...






Obviamente, se quisermos derivar para outros lados, podemos perguntar de onde veio toda aquela matéria inicial, de onde veio o Espaço-Tempo, porque é que as leis que o regem são o que são, e tudo isso. Mas aí já recaímos no âmbito das Discussões Filosóficas.



Eu não sou uma autoridade nesta matéria. Por favor, tomem tudo o que disse com as devidas reservas, houve simplificações e imprecisões que cometi numa tentativa de ser o mais claro possível, e provavelmente a minha compreensão, sobretudo da Relatividade Geral, pode estar aquém do necessário para providenciar uma explicação absolutamente correcta.



Estou disponível para corrigir todos e quaisquer erros que se possam encontrar no meu texto.



Não espero que todos os posts nestas Discussões Científicas tenham esta extensão ou tomem uma abordagem tão pseudo-pedagógica; quis "inaugurar" o tópico da melhor maneira que sei, que é, como sempre, escrevendo em demasia.



Sei que é um post muito comprido. Não sei se não vou mandar abaixo o fórum. Se for o caso, as minhas desculpas, chefe, chefão, chef, ou o que quer que seja, @davis...



EDIT: Felizmente, aguentou-se! Uau!

Meus parabéns caro ateu, adorei o excerto que li da Relatividade e do Big Band outra vez.

Você é um escritor nato, criativo, inteligente, claro, eloquente, explicativo, sucinto. Aprender assim é uma delícia e até uma diversão.
 
Algumas vezes vi que diz que na Mecânica Quântica é possível que uma partícula esteja em dois estados ao mesmo tempo.
Como é isso?
 
Algumas vezes vi que diz que na Mecânica Quântica é possível que uma partícula esteja em dois estados ao mesmo tempo.
Como é isso?
Excelente questão, que ilustra a abordagem por vezes... um pouco menos construtiva que a divulgação científica toma em relação a coisas um pouco contra-intuitivas, exacerbando o "mistério" numa tentativa (compreensível) de cativar o interesse do público, mesmo que isso prejudique um pouco a compreensão.

A questão base é que a descrição do Universo, no âmbito da Mecânica Quântica, se faz por intermédio da função de onda, comummente representada pela letra grega psi, [imath]\Psi[/imath]. Esta função de onda por sua vez dependerá de parâmetros como coordenadas espaciais e temporais, podendo nós ter, portanto, [imath]\Psi \left (x, y, z, t \right )[/imath] para descrever um sistema quântico a três dimensões que evolua no tempo. Ou, enfim, exprimi-la em quaisquer outras coordenadas que nos convenham (sendo talvez o uso de funções de onda parametrizadas com base no momento em vez de na posição o caso mais óbvio).

E o que é esta função de onda? Bem... para o que interessa explicar aqui, podemos vê-la como uma precursora da distribuição de probabilidades, na medida em que, para uma determinada propriedade, [imath]\Xi[/imath], o seu valor esperado pode ser dado por:

[math]\int \Psi^{*} \left ( \vec{r} \right ) \Xi \left ( \vec{r} \right ) \Psi \left ( \vec{r} \right ) \mathrm{d} \vec{r}[/math]
Onde [imath]\vec{r}[/imath] é o conjunto de parâmetros que escolhemos para representar a função de onda.

Claro que existem muitos outros refinamentos em termos da tecnologia matemática que podemos aplicar a isto, espaços de Hilbert, notação de bra-ket, valores e vectores próprios de um operador e por aí fora, mas a ideia base continua a ser esta: a função de onda (ou, mais correctamente, o seu "módulo quadrado") reflecte a distribuição de probabilidades do sistema subjacente.

Como é óbvio, se queremos estudar uma determinada propriedade, que continuarei a designar [imath]\Xi[/imath] porque gosto desta letra, podemos querer exprimir esta função de onda de uma forma que seja mais confortável, nomeadamente tratando-a como uma combinação linear das funções de onda que correspondem a um determinado valor da propriedade (isto nem sempre é trivial para todas as propriedades, mas, não querendo complicar, podemos pensar na energia associada a um determinado estado do sistema). Ou seja, na verdade, vamos ter:

[math]\Psi \left ( \vec{r} \right ) = c_1 \psi_{\Xi_1} \left ( \vec{r} \right ) + c_2 \psi_{\Xi_2} \left ( \vec{r} \right ) + \ldots[/math]
Onde [imath]\psi_{\Xi_j}[/imath] é o estado tal que o valor esperado de [imath]\Xi[/imath] seria [imath]\Xi_j[/imath].

Assumindo que os vários [imath]c_j[/imath] estão adequadamente normalizados para que a função de onda de facto satisfaça as condições de uma distribuição de probabilidade (o que nem sempre é trivial no caso de sistemas infinitos...), e assumindo que a propriedade que escolhemos é suficientemente simpática para que [imath]\psi_{\Xi_j}^{*} \psi_{\Xi_k} = \delta_{j,k}[/imath] (o que é uma forma abreviada de dizer, é 1 se [imath]j = k[/imath] e 0 caso contrário), podemos facilmente ver que a probabilidade de o sistema apresentar o valor [imath]\Xi_j[/imath] para a propriedade [imath]\Xi[/imath] será de [imath]\left | c_j \right| ^2[/imath]. (Sim, para todos os efeitos estamos mais ou menos a decompor [imath]\Psi[/imath] em coordenadas que, em vez de serem vectores unitários num espaço como será mais comum pensarmos neles, são funções num espaço de dimensão infinita: é basicamente isto o Espaço de Hilbert que mencionei. Com mais alguns refinamentos matemáticos, claro, mas o @Alfa já me ia matar de qualquer dos modos.)

Assim, podemos ver que a função de onda pode exprimir a possibilidade de um dado sistema se encontrar em múltiplos estados. O que provavelmente é fonte de confusão é o dito "colapso da função de onda", ou, enfim, as consequências de se efectuar uma medição do estado quântico de um sistema. Isto é, ainda, tema para algum debate científico e, sobretudo filosófico, devido a uma variedade de implicações, mas o que sucede é que a medição, quanticamente falando, é um processo destrutivo: para saberes alguma coisa sobre uma dada propriedade de um sistema, tens de interagir com ele de algum modo, e isto, por sua vez, vai alterar a sua função de onda; uma vez feita a medição de uma determinada propriedade, diz-se que a função de onda colapsa para o estado que corresponde ao valor da propriedade que obtiveste.

Vamos dar um exemplo ligeiramente mais concreto. Vamos supor que tens um sistema cuja função de onda é dada por:

[math]\Psi = \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_{E_1} + \frac{1}{\sqrt{3}} \psi_{E_2} + \frac{i}{\sqrt{6}} \psi_{E_3}[/math]
(É mais claro, em muitos casos, não apresentar as fracções com raízes daquela forma "bonitinha" que nos ensinam lá pelo terceiro ciclo, porque as vamos ter de pôr ao quadrado a seguir...)

Portanto, tens probabilidade [imath]\frac{1}{2}[/imath] de o sistema ter a energia [imath]E_1[/imath], [imath]\frac{1}{3}[/imath] de ter a energia [imath]E_2[/imath] e [imath]\frac{1}{6}[/imath] de ter a energia [imath]E_3[/imath], e probabilidade 0 de ter qualquer outra energia. Supõe que fazes uma medição da energia do sistema e te dá [imath]E_2[/imath]. A partir desse momento em diante, e admitindo que o sistema está, de outro modo, completamente isolado e portanto não vai ganhar nem perder energia, sabes que o único valor possível para a energia do sistema vai continuar a ser [imath]E_2[/imath], o que quer dizer que a sua função de onda passou a ser [imath]\Psi = \psi_{E_2}[/imath].

(Isto, na prática, é ligeiramente complicado pelo facto de haver variáveis conjugadas, como a posição e o momento, cuja determinação, por motivos matemáticos bastante claros, não pode ser feita com absoluta precisão. É daqui que provém o conhecido Princípio da Incerteza de Heisenberg, por exemplo. No caso da energia, a variável conjugada é a frequência [e, portanto, alguma espécie de "taxa de transição" entre estados], mas nós assumimos que o sistema iria estar isolado e, portanto, que não haveria transição entre estados de energia.)

Espero ter ajudado. Confesso que estou um bocadinho com falta de prática na escrita deste género, pelo que fica à vontade (e quaisquer outros eventuais leitores também) de colocar questões para clarificar. (E àqueles cof @Marco L. cof, ou outros físicos que andem por estas bandas que sabem tanto ou mais disto do que eu, fiquem à vontade de me chamar urso ou qualquer outro insulto-não-suficientemente-grave-para-me-pôr-a-chorar-mas-suficientemente-mauzinho-para-me-castigar-pela-idiotice se detectarem alguma coisa de menos correcto ou menos pedagógico aqui.)
 
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Excelente questão, que ilustra a abordagem por vezes... um pouco menos construtiva que a divulgação científica toma em relação a coisas um pouco contra-intuitivas, exacerbando o "mistério" numa tentativa (compreensível) de cativar o interesse do público, mesmo que isso prejudique um pouco a compreensão.

A questão base é que a descrição do Universo, no âmbito da Mecânica Quântica, se faz por intermédio da função de onda, comummente representada pela letra grega psi, [imath]\Psi[/imath]. Esta função de onda por sua vez dependerá de parâmetros como coordenadas espaciais e temporais, podendo nós ter, portanto, [imath]\Psi \left (x, y, z, t \right )[/imath] para descrever um sistema quântico a três dimensões que evolua no tempo. Ou, enfim, exprimi-la em quaisquer outras coordenadas que nos convenham (sendo talvez o uso de funções de onda parametrizadas com base no momento em vez de na posição o caso mais óbvio).

E o que é esta função de onda? Bem... para o que interessa explicar aqui, podemos vê-la como uma precursora da distribuição de probabilidades, na medida em que, para uma determinada propriedade, [imath]\Xi[/imath], o seu valor esperado pode ser dado por:

[math]\int \Psi^{*} \left ( \vec{r} \right ) \Xi \left ( \vec{r} \right ) \Psi \left ( \vec{r} \right ) \mathrm{d} \vec{r}[/math]
Onde [imath]\vec{r}[/imath] é o conjunto de parâmetros que escolhemos para representar a função de onda.

Claro que existem muitos outros refinamentos em termos da tecnologia matemática que podemos aplicar a isto, espaços de Hilbert, notação de bra-ket, valores e vectores próprios de um operador e por aí fora, mas a ideia base continua a ser esta: a função de onda (ou, mais correctamente, o seu "módulo quadrado") reflecte a distribuição de probabilidades do sistema subjacente.

Como é óbvio, se queremos estudar uma determinada propriedade, que continuarei a designar [imath]\Xi[/imath] porque gosto desta letra, podemos querer exprimir esta função de onda de uma forma que seja mais confortável, nomeadamente tratando-a como uma combinação linear das funções de onda que correspondem a um determinado valor da propriedade (isto nem sempre é trivial para todas as propriedades, mas, não querendo complicar, podemos pensar na energia associada a um determinado estado do sistema). Ou seja, na verdade, vamos ter:

[math]\Psi \left ( \vec{r} \right ) = c_1 \psi_{\Xi_1} \left ( \vec{r} \right ) + c_2 \psi_{\Xi_2} \left ( \vec{r} \right ) + \ldots[/math]
Onde [imath]\psi_{\Xi_j}[/imath] é o estado tal que o valor esperado de [imath]\Xi[/imath] seria [imath]\Xi_j[/imath].

Assumindo que os vários [imath]c_j[/imath] estão adequadamente normalizados para que a função de onda de facto satisfaça as condições de uma distribuição de probabilidade (o que nem sempre é trivial no caso de sistemas infinitos...), e assumindo que a propriedade que escolhemos é suficientemente simpática para que [imath]\psi_{\Xi_j}^{*} \psi_{\Xi_k} = \delta_{j,k}[/imath] (o que é uma forma abreviada de dizer, é 1 se [imath]j = k[/imath] e 0 caso contrário), podemos facilmente ver que a probabilidade de o sistema apresentar o valor [imath]\Xi_j[/imath] para a propriedade [imath]\Xi[/imath] será de [imath]\left | c_j \right| ^2[/imath]. (Sim, para todos os efeitos estamos mais ou menos a decompor [imath]\Psi[/imath] em coordenadas que, em vez de serem vectores unitários num espaço como será mais comum pensarmos neles, são funções num espaço de dimensão infinita: é basicamente isto o Espaço de Hilbert que mencionei. Com mais alguns refinamentos matemáticos, claro, mas o @Alfa já me ia matar de qualquer dos modos.)

Assim, podemos ver que a função de onda pode exprimir a possibilidade de um dado sistema se encontrar em múltiplos estados. O que provavelmente é fonte de confusão é o dito "colapso da função de onda", ou, enfim, as consequências de se efectuar uma medição do estado quântico de um sistema. Isto é, ainda, tema para algum debate científico e, sobretudo filosófico, devido a uma variedade de implicações, mas o que sucede é que a medição, quanticamente falando, é um processo destrutivo: para saberes alguma coisa sobre uma dada propriedade de um sistema, tens de interagir com ele de algum modo, e isto, por sua vez, vai alterar a sua função de onda; uma vez feita a medição de uma determinada propriedade, diz-se que a função de onda colapsa para o estado que corresponde ao valor da propriedade que obtiveste.

Vamos dar um exemplo ligeiramente mais concreto. Vamos supor que tens um sistema cuja função de onda é dada por:

[math]\Psi = \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_{E_1} + \frac{1}{\sqrt{3}} \psi_{E_2} + \frac{i}{\sqrt{6}} \psi_{E_3}[/math]
(É mais claro, em muitos casos, não apresentar as fracções com raízes daquela forma "bonitinha" que nos ensinam lá pelo terceiro ciclo, porque as vamos ter de pôr ao quadrado a seguir...)

Portanto, tens probabilidade [imath]\frac{1}{2}[/imath] de o sistema ter a energia [imath]E_1[/imath], [imath]\frac{1}{3}[/imath] de ter a energia [imath]E_2[/imath] e [imath]\frac{1}{6}[/imath] de ter a energia [imath]E_3[/imath], e probabilidade 0 de ter qualquer outra energia. Supõe que fazes uma medição da energia do sistema e te dá [imath]E_2[/imath]. A partir desse momento em diante, e admitindo que o sistema está, de outro modo, completamente isolado e portanto não vai ganhar nem perder energia, sabes que o único valor possível para a energia do sistema vai continuar a ser [imath]E_2[/imath], o que quer dizer que a sua função de onda passou a ser [imath]\Psi = \psi_{E_2}[/imath].

(Isto, na prática, é ligeiramente complicado pelo facto de haver variáveis conjugadas, como a posição e o momento, cuja determinação, por motivos matemáticos bastante claros, não pode ser feita com absoluta precisão. É daqui que provém o conhecido Princípio da Incerteza de Heisenberg, por exemplo. No caso da energia, a variável conjugada é a frequência [e, portanto, alguma espécie de "taxa de transição" entre estados], mas nós assumimos que o sistema iria estar isolado e, portanto, que não haveria transição entre estados de energia.)

Espero ter ajudado. Confesso que estou um bocadinho com falta de prática na escrita deste género, pelo que fica à vontade (e quaisquer outros eventuais leitores também) de colocar questões para clarificar. (E àqueles cof @Marco L. cof, ou outros físicos que andem por estas bandas que sabem tanto ou mais disto do que eu, fiquem à vontade de me chamar urso ou qualquer outro insulto-não-suficientemente-grave-para-me-pôr-a-chorar-mas-suficientemente-mauzinho-para-me-castigar-pela-idiotice se detectarem alguma coisa de menos correcto ou menos pedagógico aqui.)
Obrigado por tentares elucidar. Confesso que muita coisa passou-me por cima, ignoro vários dos conceitos matemáticos que mencionaste.

Fiquei com esta dúvida: como é que "a função de onda pode exprimir a possibilidade de um dado sistema se encontrar em múltiplos estados"?

(Parece-me que as partículas estão(?) num estado (presumivelmente) praticamente indeterminável, pelo menos com a tecnologia atual, e que daí se tenta inferir que a tal partícula está em todos os estados mensuráveis. Tal como na história do gato do Schroedinger, que diz que o gato está vivo e morto, mas tanto quanto sei, não se saber o estado do gato não implica que ele esteja em dois estados ao mesmo tempo, tal como eu não saber o estado do fígado do putin não significa que o fígado está bom e mau ao mesmo tempo.)
 
Obrigado por tentares elucidar. Confesso que muita coisa passou-me por cima, ignoro vários dos conceitos matemáticos que mencionaste.
Se quiseres, em momento posterior, podemos tentar ir mais a fundo nessa parte, mas confesso que provavelmente também não serei a melhor pessoa para te ajudar com isso.
Fiquei com esta dúvida: como é que "a função de onda pode exprimir a possibilidade de um dado sistema se encontrar em múltiplos estados"?

(Parece-me que as partículas estão(?) num estado (presumivelmente) praticamente indeterminável, pelo menos com a tecnologia atual, e que daí se tenta inferir que a tal partícula está em todos os estados mensuráveis. Tal como na história do gato do Schroedinger, que diz que o gato está vivo e morto, mas tanto quanto sei, não se saber o estado do gato não implica que ele esteja em dois estados ao mesmo tempo, tal como eu não saber o estado do fígado do putin não significa que o fígado está bom e mau ao mesmo tempo.)
Eu sabia que, em determinda altura, irias querer meter o gato ao barulho. 😉 (Uma afirmação que tem interpretações alternativas mais ou menos interessantes, mas com pouco cabimento para a discussão séria que queremos ter aqui. Controlem-se.)

A questão central não é tecnológica, é mesmo fundamental: tu só sabes o estado de um sistema depois de o medires, isto é, de interagires de algum modo com o sistema, o que é, como tentei explicar, destrutivo. Isto não é tão relevante a nível macroscópico porque a perturbação que a medição acarreta não é relevante para as propriedades do sistema (por exemplo, se eu for medir o comprimento de uma tábua, a eventual interacção entre os átomos da fita métrica e os da tábua, bem como a absorção e reflexão de fotões por parte da tábua, etc., etc., não vão alterar as suas propriedades de modo significativo), mas a nível quântico é. Reforço que, mais uma vez, as implicações filosóficas e (meta)físicas disto ainda são objecto de discussão, mas a questão central é que, ao efectuares a medição de uma propriedade, basicamente perdes a informação em relação à probabilidade anterior de o sistema apresentar um valor diferente daquela propriedade. No entanto, antes de efectuares essa medição, a única coisa que podes saber acerca dessa propriedade é que tem probabilidade [imath]p_1[/imath] de ter o valor [imath]\Xi_1[/imath], [imath]p_2[/imath] de ter o valor [imath]\Xi_2[/imath] e por aí fora. Ou seja, quanticamente falando, não podes dizer que o sistema está num determinado estado (a menos que efectivamente só tenhas mesmo aquele estado), antes numa sobreposição de estados.

Onde é que entra o gato? Bem, toda essa história foi desenhada como uma gedankenexperiment (experiência de pensamento) com vista a destacar precisamente as limitações, ou as potenciais contradições, da descrição quântica do Universo. A Mecânica Quântica prevê que a única coisa que um observador externo pode dizer até ao momento da observação é que a função de onda que descreve o sistema contém a sobreposição dos estados "gato vivo" e "gato morto". Claro, até que ponto esta previsão faz sentido faz alguma comichão filosófica e (meta)física, mas, mais uma vez, acaba por ser uma questão ainda em debate mais ou menos activo.

No entanto, importa destacar mais uma vez, não se trata de limitações técnicas, trata-se efectivamente da própria natureza da teoria e, por extensão, da forma como esta descreve o Universo. Não me atrevo a especular até que ponto esta descrição se aproxima daquilo que o Universo realmente (não) é, mas o que é certo é que, à parte paradoxos deste género, as previsões da Mecânica Quântica (ou, eventualmente, dos seus desenvolvimentos posteriores, como Teoria Quântica de Campos e afins) têm sido experimentalmente verificadas com regularidade e consistência suficientes para que esta continue a ser, por agora e tanto quanto sabemos, a melhor forma de descrever o Universo...

Ajudou?
 
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Acho que sim.

No entanto, antes de efectuares essa medição, a única coisa que podes saber acerca dessa propriedade é que tem probabilidade p1p_1p1 de ter o valor Ξ1\Xi_1Ξ1, p2p_2p2 de ter o valor Ξ2\Xi_2Ξ2 e por aí fora. Ou seja, quanticamente falando, não podes dizer que o sistema está num determinado estado (a menos que efectivamente só tenhas mesmo aquele estado), antes numa sobreposição de estados.
Então a sobreposição de estados é a ideia do conjunto de estados possíveis, sendo o estado «real» indeterminável?

Por outro lado, não é possível haver um conhecimento mais «profundo» do «espaço» quântico pelo qual se consiga interagir com as partículas quânticas de maneira praticamente «indestrutível» do equilíbrio anterior? Por exemplo, eu posso tentar medir mecanicamente a distância entre mim e um objeto levíssimo ou então posso tentar medir por radar. Não será possível um novo salto no entendimento do cosmos e na tecnologia que permita um avanço deste tipo?
 
Então a sobreposição de estados é a ideia do conjunto de estados possíveis, sendo o estado «real» indeterminável?
A questão é mais que o "estado" em que o sistema se encontra, antes da medição, é o estado resultante da combinação (com as probabilidades respectivas) dos estados possíveis de se obter aquando da medição. Esse estado é tão real e determinável quanto os estados individuais, apenas acontece que, até à medição, a propriedade não tem um valor bem definido.

Por outro lado, não é possível haver um conhecimento mais «profundo» do «espaço» quântico pelo qual se consiga interagir com as partículas quânticas de maneira praticamente «indestrutível» do equilíbrio anterior? Por exemplo, eu posso tentar medir mecanicamente a distância entre mim e um objeto levíssimo ou então posso tentar medir por radar. Não será possível um novo salto no entendimento do cosmos e na tecnologia que permita um avanço deste tipo?
É impossível efectuar uma medição sem interagir, de algum modo, com o sistema. Um sistema isolado, por definição, não troca informação com o exterior; portanto, um sistema que vamos medir não pode ser isolado, o que implica que o colapso da função de onda vai continuar a ter de acontecer. Não é um problema técnico, é uma propriedade fundamental da teoria.

Agora, se me perguntas se seria possível desenvolver uma interpretação alternativa da teoria que torne isto menos problemático? Talvez. A many worlds interpretation, por exemplo, ou algum tipo de superdeterminismo, entre outros, que pretendem varrer para debaixo do tapete os potenciais problemas filosóficos ou conceptuais com a natureza aparentemente aleatória e não-determinística da Mecânica Quântica.
 
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A questão é mais que o "estado" em que o sistema se encontra, antes da medição, é o estado resultante da combinação (com as probabilidades respectivas) dos estados possíveis de se obter aquando da medição. Esse estado é tão real e determinável quanto os estados individuais, apenas acontece que, até à medição, a propriedade não tem um valor bem definido.


É impossível efectuar uma medição sem interagir, de algum modo, com o sistema. Um sistema isolado, por definição, não troca informação com o exterior; portanto, um sistema que vamos medir não pode ser isolado, o que implica que o colapso da função de onda vai continuar a ter de acontecer. Não é um problema técnico, é uma propriedade fundamental da teoria.

Agora, se me perguntas se seria possível desenvolver uma interpretação alternativa da teoria que torne isto menos problemático? Talvez. A many worlds interpretation, por exemplo, ou algum tipo de superdeterminismo, entre outros, que pretendem varrer para debaixo do tapete os potenciais problemas filosóficos ou conceptuais com a natureza aparentemente aleatória e não-determinística da Mecânica Quântica.
Ok, parece-me que estou a tentar entender algo mais complexo do que o que entendo agora com uma maneira limitada de ver as coisas.

Ainda assim, gostaria de tentar entender um pouco melhor como "a função de onda pode exprimir a possibilidade de um dado sistema se encontrar em múltiplos estados".
 
Ainda assim, gostaria de tentar entender um pouco melhor como "a função de onda pode exprimir a possibilidade de um dado sistema se encontrar em múltiplos estados".
Confesso que se torna difícil responder à pergunta quando não a entendo. O que te preocupa? Isto é, quais são os obstáculos conceptuais que te estão a incomodar?

Não me quero estar simplesmente a repetir, pelo que penso que ajudaria se me tentasses dizer o que é que, do teu ponto de vista, está mais longe de ser claro do que o resto disto tudo, que, sendo sincero, nem para quem o estuda é verdadeiramente claro. 😉
 
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Confesso que se torna difícil responder à pergunta quando não a entendo. O que te preocupa? Isto é, quais são os obstáculos conceptuais que te estão a incomodar?

Não me quero estar simplesmente a repetir, pelo que penso que ajudaria se me tentasses dizer o que é que, do teu ponto de vista, está mais longe de ser claro do que o resto disto tudo, que, sendo sincero, nem para quem o estuda é verdadeiramente claro. 😉
A função de onda pode exprimir a possibilidade de um sistema ou uma partícula estar em mais do que um estado simultaneamente?
 
A função de onda pode exprimir a possibilidade de um sistema ou uma partícula estar em mais do que um estado simultaneamente?
Conforme tudo o que tentei explicar antes... sim. Aliás, em geral, é precisamente a forma como a função de onda pode ser decomposta nesses vários estados que nos permite obter informação e previsões úteis a partir da Mecânica Quântica.

No entanto, suspeito que esta resposta, só assim, não te satisfaça. Fica à vontade para continuar a questionar em mais pormenor se achas que isso te ajudará a compreender melhor. 😉
 
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Conforme tudo o que tentei explicar antes... sim. Aliás, em geral, é precisamente a forma como a função de onda pode ser decomposta nesses vários estados que nos permite obter informação e previsões úteis a partir da Mecânica Quântica.

No entanto, suspeito que esta resposta, só assim, não te satisfaça. Fica à vontade para continuar a questionar em mais pormenor se achas que isso te ajudará a compreender melhor. 😉

Acho que preciso de aprender mais matemática para poder entender melhor.
 

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Acho que preciso de aprender mais matemática para poder entender melhor.
Vou só descrever o que quis dizer com isto. Depois, se precisares, posso elaborar qualquer um destes aspectos. (Como é de ver, o mais difícil no tentar explicar a outro é perceber o que é que ele não percebe. Desculpa-me a falta de experiência pedagógica.)

[imath]\int[/imath] é, como talvez saibas, o símbolo de integral, que corresponde, entre outras propriedades interessantes, à área do gráfico de uma função (com sinal negativo se os valores da função forem negativos, etc., etc., mas não interessa para agora...).

[imath]\Psi[/imath] é a função de onda.

[imath]\vec{r}[/imath] é suposto ser um conjunto de coordenadas (um vector) que parametrizam o sistema. Podemos ter [imath]\vec{r} = \left(t, x, y, z[/imath]\) a três dimensões espaciais e uma temporal, por exemplo. EDIT relevante para o que está lá em cima também: dada a forma como o fórum representa as setas por cima das letras, fica um bocadinho... estranho.

[imath]\Xi[/imath] foi a letra que escolhi para representar o parâmetro.

[imath]\alpha^{*}[/imath] corresponde ao conjugado do número complexo [imath]\alpha[/imath], isto é, trocar o sinal da parte imaginária: [imath]\left ( 1 + 2 i \right)^{*} = 1 - 2 i[/imath].
 
Última edição:
Vou só descrever o que quis dizer com isto. Depois, se precisares, posso elaborar qualquer um destes aspectos. (Como é de ver, o mais difícil no tentar explicar a outro é perceber o que é que ele não percebe. Desculpa-me a falta de experiência pedagógica.)

[imath]\int[/imath] é, como talvez saibas, o símbolo de integral, que corresponde, entre outras propriedades interessantes, à área do gráfico de uma função (com sinal negativo se os valores da função forem negativos, etc., etc., mas não interessa para agora...).

[imath]\Psi[/imath] é a função de onda.

[imath]\vec{r}[/imath] é suposto ser um conjunto de coordenadas (um vector) que parametrizam o sistema. Podemos ter [imath]\vec{r} = \left(t, x, y, z[/imath]\) a três dimensões espaciais e uma temporal, por exemplo. EDIT relevante para o que está lá em cima também: dada a forma como o fórum representa as setas por cima das letras, fica um bocadinho... estranho.

[imath]\Xi[/imath] foi a letra que escolhi para representar o parâmetro.

[imath]\alpha\ ^{*\}[/imath] corresponde ao conjugado do número complexo [imath]alpha[/imath], isto é, trocar o sinal da parte imaginária: \(\left ( 1 + 2 i \right)^{*} = 1 - 2 i \right).
Eu já conheço integrais e conheço vetores, só nunca vi integral de vetores (e não sei o que isso representa).

[Apagado] - Edit: Oh, Ψ∗ é que é o conjugado de Ψ, né?

Eu estou habituado a ver na matemática uma explicação racional para a realidade, mas depois há o plano complexo, imaginário. Tenho ideia que a equação de Schroedinger e a função de onda estão relacionadas e que são realizáveis apenas considerando os números complexos, mas não percebo nada das duas.

O que não concebo é a possibilidade de dois estados ao mesmo tempo. Eu entenderia se fosse apenas uma limitação em que uma partícula está provavelmente num estado X praticamente indeterminável. Mas uma função que indica a possibilidade de uma partícula estar em dois estados ao mesmo tempo é incrível. É isso que procuro entender. Mas talvez precise de aprender mais para poder perceber essa função.
 

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Eu já conheço integrais e conheço vetores, só nunca vi integral de vetores (e não sei o que isso representa) e não sei o que significa Ψ∗ (com o asterisco).
Tecnicamente, estás a fazer o integral de uma função cujos valores são unidimensionais, mas que depende de parâmetros vectoriais. A ideia básica (para funções suficientemente simpáticas, o que é sempre um pressuposto assumido em tudo quanto seja Física) é que, em vez de integrares só ao longo de uma variável, integras ao longo de cada uma delas (tratando as outras como constantes durante essa integração).

O asterisco, como tentei explicar, é o conjugado: [imath]\Psi[/imath] pode ter (e em geral tem) valores complexos, logo podemos tomar o seu conjugado.

A última frase aparece-me assim:
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e não percebi o que era suposto estar representado nos 'imath's. Conheço complexos e conjugados.
Resolvido, obrigado e desculpa. Devia ter reparado.

Eu estou habituado a ver na matemática uma explicação racional para a realidade, mas depois há o plano complexo, imaginário. Tenho ideia que a equação de Schroedinger e a função de onda estão relacionadas e que são realizáveis apenas considerando os números complexos, mas não percebo nada das duas.
A função de onda de um sistema será aquela que satisfaça a Equação de Schrödinger para esse mesmo sistema, precisamente. E, como disse, a função de onda pode ser complexa, e tens o [imath]i[/imath] na equação de Schrödinger só para chatear ainda mais, pelo que toda a teoria depende dos complexos.

Mas (como o @Alfa sabe explicar infinitamente melhor do que eu) já havia razões muito razoáveis para admitir que os números imaginários "existem", devido à solução de algumas equações polinomiais.

O que não concebo é a possibilidade de dois estados ao mesmo tempo. Eu entenderia se fosse apenas uma limitação em que uma partícula está provavelmente num estado X praticamente indeterminável. Mas uma função que indica a possibilidade de uma partícula estar em dois estados ao mesmo tempo é incrível. É isso que procuro entender. Mas talvez precise de aprender mais para poder perceber essa função.
Eu penso que o principal problema que falta ultrapassar é no definires "estado". Só o podes fazer a partir de um conjunto de propriedades que vais medir, certo? Tipicamente, quanticamente falando, chamamos observáveis a essas propriedades mensuráveis de um sistema. Antes de efectuar a medição, a questão é que em geral essas propriedades mensuráveis não têm valores definidos, apenas tens acesso à probabilidade de apresentar cada um dos valores possíveis, e é precisamente aquando do "colapso da função de onda" que o sistema passa a ter um valor definido.

(Obviamente que, no tratamento matemático da Mecânica Quântica, acabamos por definir estado como o estado próprio - eigenstate - correspondente a um determinado valor próprio - eigenvalue - de um operador, o equivalente aos valores e vectores próprios de uma matriz para operadores que actuam sobre as funções do espaço de Hilbert que usamos para descrever as coisas quânticas.)

Penso que não deves ficar demasiado preso à função em si, a função apenas representa, se quisermos, a dinâmica do sistema. É o equivalente quântico de [imath]x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2[/imath]. O que a medição faz, para todos os efeitos, é decompô-la numa sobreposição dos estados próprios da propriedade que queremos medir e "escolher" um deles. É nesta "escolha" que jaz a aparente aleatoriedade e a estranheza do mundo quântico, mas esta é a tal parte que já disse que ainda é alvo de debate.
 
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Antes de efectuar a medição, a questão é que em geral essas propriedades mensuráveis não têm valores definidos, apenas tens acesso à probabilidade de apresentar cada um dos valores possíveis, e é precisamente aquando do "colapso da função de onda" que o sistema passa a ter um valor definido.
Está certo considerar que as propriedades são mensuráveis se aparentemente só o são a partir do momento em que se «colapsa a onda»? Parece-me que a mensurabilidade vem apenas após a definição, que acontece quando se tenta medir, e ao fazê-lo, quebra-se a dinâmica anterior, tornando-se impossível perceber o que lá estava antes. Ou seja, essas propriedades não eram realmente mensuráveis, talvez nem sequer fossem propriamente propriedades antes da medição, talvez fossem meramente projeções concebidas pelo observador, que se realizam apenas porque houve a tentativa de medição, ao jeito que o observador conhece.

O que a medição faz, para todos os efeitos, é decompô-la numa sobreposição dos estados próprios da propriedade que queremos medir e "escolher" um deles. É nesta "escolha" que jaz a aparente aleatoriedade e a estranheza do mundo quântico, mas esta é a tal parte que já disse que ainda é alvo de debate.
Como assim, decompõe numa sobreposição de estados?
A "escolha" é a definição do estado? (do qual tínhamos apenas as probabilidades para cada estado possível)
 
Está certo considerar que as propriedades são mensuráveis se aparentemente só o são a partir do momento em que se «colapsa a onda»? Parece-me que a mensurabilidade vem apenas após a definição, que acontece quando se tenta medir, e ao fazê-lo, quebra-se a dinâmica anterior, tornando-se impossível perceber o que lá estava antes. Ou seja, essas propriedades não eram realmente mensuráveis, talvez nem sequer fossem propriamente propriedades antes da medição, talvez fossem meramente projeções concebidas pelo observador, que se realizam apenas porque houve a tentativa de medição, ao jeito que o observador conhece.


Como assim, decompõe numa sobreposição de estados?
A "escolha" é a definição do estado? (do qual tínhamos apenas as probabilidades para cada estado possível)
OK, penso que posso responder às tuas questões sendo um pouco mais detalhado na explicação dos fundamentos teóricos.

Um sistema quântico pode ser descrito, como disse desde o início, pela sua função de onda, [imath]\Psi[/imath]. Vamos, por uma questão de simplicidade, dizer que se trata de um sistema a uma dimensão, embora a generalização seja mais ou menos óbvia, e portanto vamos ter [imath]\Psi \left (x, t \right )[/imath]. Se conhecermos o Hamiltoniano (que descreve a energia total de um sistema, isto é, incluindo termos cinéticos e termos potenciais), [imath]H[/imath], podemos determinar as possíveis funções de onda que descrevem esse sistema através da Equação de Schrödinger,

[math]i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi \left (x, t \right ) = H\left (x, t \right ) \Psi \left (x, t \right )[/math]
Ora, isto implica que a Mecânica Quântica acaba por ter de lidar com funções, e coisas que actuam sobre funções (os ditos operadores). Não quero mergulhar muito a fundo na Matemática aqui, mas a ideia principal é que, para todos os efeitos, podemos encontrar espaços vectoriais onde os elementos da base são funções, os tais espaços de Hilbert. E, como em todos os espaços vectoriais, pode dar jeito encontrar uma base. Para uma determinada transformação linear nesse espaço vectorial (o tal dito operador), se certas condições forem cumpridas, podemos encontrar estados próprios, isto é, funções tais que:

[math]\hat{T} \psi_v \left (x, t \right ) = v \psi_v \left (x, t \right )[/math]
Onde [imath]\hat{T}[/imath] é o operador e [imath]v[/imath] é um número complexo. Cada um destes [imath]\psi_v[/imath] vai ser um estado próprio (eigenstate) do operador e os [imath]v[/imath] vão ser valores próprios (eigenvalues) que lhe correspondem.

Ora, se determinadas condições forem satisfeitas, os eigenstates de um operador podem ser suficientes para servir de base a todo o espaço de Hilbert. Nesse caso, como acontece com qualquer espaço vectorial, podemos descrever a função de onda nessas coordenadas:

[math]\Psi \left (x, t \right ) = \sum_{v} c_v \psi_v \left (x, t \right )[/math]
Onde [imath]c_v[/imath] é um valor complexo.

Supõe, agora, que nós escolhemos operadores cujos valores próprios são reais (uma condição suficiente, mas creio que não necessária, é que o operador seja hermítico, isto é, igual ao seu conjugado transposto, a. k. a. conjugado hermítico, que é fácil de definir para matrizes, e cujas propriedades podem ser estendidas depois para os espaços de Hilbert com naturalidade). E supõe, aliás, que associamos a estes operadores um observável físico, dizendo que a cada valor próprio do operador corresponderá um valor possível para o observável. Por exemplo, a energia do sistema (correspondente ao hamiltoniano), ou o momento linear, ou seja o que for.

Assim, quando expressamos a função de onda na base correspondente aos estados próprios do operador, sabemos automaticamente a probabilidade de obter cada um dos valores possíveis para uma determinada propriedade física do sistema. Só falta o refinamento adicional de dizer que a operação de medir o valor desse mesmo observável (que penso não ser exactamente traduzível na formulação matemática) corresponde a projectar a função de onda num dos estados próprios do operador correspondente, escolhido "aleatoriamente" com a probabilidade dada por [imath]\left |c_v \right |^2[/imath] conforme aparece na decomposição da função de onda na base do estados próprios.

Ajudou ou só complicou mais?