Matemática A - Dúvidas e Exercícios

Desde já, muito obrigado por teres respondido! :D
Mas tenho uma outra dúvida, porque é que estamos a fazer combinações de 3, três a três? Porque não escolher três dos 5 lugares (5C3)?
De nada, está a vontade! :)

Essas partes que puseste a negrito eram basicamente "desnecessárias" (são iguais a 1), pois estávamos só a "escolher" os amigos que tinham sobrado.
A ordem pela qual eles se sentam nos carros é indiferente, só interessa os diferentes conjuntos de amigos. Por exemplo, no primeiro caso, dos 8 amigos escolhemos 5 amigos para ir para o carro 1 e depois dos 3 amigos restantes tivemos de escolher 3 para o carro 2 (ou seja, acabamos por nem escolher como disse acima, são apenas os restantes). Nas outras duas hipóteses é exatamente a mesma coisa.

Se não perceberes alguma coisa diz. :)
 
Boas pessoal,

Alguém me pode ajudar com este exercício (o 45)?
Eu sei utilizar o teorema das sucessões enquadradas, o meu problema está em descobrir o termo geral de un para conseguir enquadrar a sucessão!

Obrigado!

 
Última edição:
Boas pessoal,

Alguém me pode ajudar com este exercício (o 45)?
Eu sei utilizar o teorema das sucessões enquadradas, o meu problema está em descobrir o termo geral de un para conseguir enquadrar a sucessão!

Obrigado!

--- Post atualizado ---
Variando de 1 a n, temos n parcelas.

A expressão dada é inferior a n vezes a maior das parcelas [latex]n\times \frac{n}{n^{2}+1}[/latex] e é superior a n vezes a menor das parcelas [latex]n\times \frac{n}{n^{2}+n}[/latex].

Obtiveste assim um enquadramento e é só aplicar o respetivo teorema.
 
Boas,
Tava a treinar para a questão aula que vou ter em que sai geometria analítica de 11 ano e não percebi bem este exercício, eu sei que tenho que achar o centro mas não tou a ver como chego lá. Agradeço explicações pf... É o 72 b)
 

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Boas,
Tava a treinar para a questão aula que vou ter em que sai geometria analítica de 11 ano e não percebi bem este exercício, eu sei que tenho que achar o centro mas não tou a ver como chego lá. Agradeço explicações pf... É o 72 b)
Olá! Olha, tbh não sei se te devia estar a responder porque ainda não cheguei lá mas... conclui o seguinte:
  • O raio [CA] tem a direção da normal do vetor CA (sendo C o centro de s).
  • A norma do vetor CA é igual à norma do vetor CB.
  • B não pertence à reta definida pelo vetor CA
  • No entanto, o C poderá ser obtido através da equação vetorial (x,y,z)=(3,-4,2)+k(1,-7,-3).
Eu estou no 12º ano e a minha memória de exercícios de GA está um pouco má xD.
Mas vê se consegues fazer alguma coisa com estes dados (a não ser que tenhas chegado a estas conclusões todas antes de eu te dizer isto).
Nonetheless, I'll keep trying!
 
Olá! Olha, tbh não sei se te devia estar a responder porque ainda não cheguei lá mas... conclui o seguinte:
  • O raio [CA] tem a direção da normal do vetor CA (sendo C o centro de s).
  • A norma do vetor CA é igual à norma do vetor CB.
  • B não pertence à reta definida pelo vetor CA
  • No entanto, o C poderá ser obtido através da equação vetorial (x,y,z)=(3,-4,2)+k(1,-7,-3).
Eu estou no 12º ano e a minha memória de exercícios de GA está um pouco má xD.
Mas vê se consegues fazer alguma coisa com estes dados (a não ser que tenhas chegado a estas conclusões todas antes de eu te dizer isto).
Nonetheless, I'll keep trying!
Sim isso eu tb já cheguei lá o meu problema é descobrir o C...
 
Boas,
Tava a treinar para a questão aula que vou ter em que sai geometria analítica de 11 ano e não percebi bem este exercício, eu sei que tenho que achar o centro mas não tou a ver como chego lá. Agradeço explicações pf... É o 72 b)

O centro C da superfície esférica está à mesma distância dos pontos A e B. Assim, pertence ao plano mediador do segmento de recta [AB]. Para além disso, a recta AC é perpendicular ao plano alfa, uma vez que a superfície esférica é tangente a este plano.

Assim, o centro C é a intersecção do plano mediador do segmento [AB] com a recta perpendicular ao plano alfa que passa por A. As equações destes lugares geométricos podem obter-se a partir dos dados fornecidos e depois é só calcular a intersecção.

EDIT: Fiz as contas e deu-me (2,3,5) para o centro. Não garanto que não tenha cometido erros...
 
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comprei uma calculadora ti-84 no olx...
na parte das apps só aparece 1: Finance...
não sei se é normal...
ja tentei ligá-la ao computador para instalar outras mas dá erro.
hoje ao fazer um exercício com gráfico, apercebi-me que desenhou mal o gráfico.
Coloquei a função noutra calculadora mais antiga e essa desenhou-a bem, no entanto não dá para fazer interseções nessa...

Não sei se não terei sido enganada...
nas minhas apps tambem so aparece finance...
ja experimentas te atualizar o software da calculadora? instalas esta aplicaçao da texas no pc TI Connect™
e depois procuras a atualizaçao do softawe da maquina no site (aqui: https://education.ti.com/software/search/ti-84-plus-family-ti-83-plus-family)
e depois ves se continua sem funcionar....é estranho nao desenhar bem os graficos,será das definiçoes? (ve nas definiçoes de graficos,clica no botao azul,depois clica no que diz zoom em cima e ve se as definiçoes estao todas selecionadas no lado esquerdo)
espero ter ajudado!
 
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nas minhas apps tambem so aparece finance...
ja experimentas te atualizar o software da calculadora? instalas esta aplicaçao da texas no pc TI Connect™
e depois procuras a atualizaçao do softawe da maquina no site (aqui: https://education.ti.com/software/search/ti-84-plus-family-ti-83-plus-family)
e depois ves se continua sem funcionar....é estranho nao desenhar bem os graficos,será das definiçoes? (ve nas definiçoes de graficos,clica no botao azul,depois clica no que diz zoom em cima e ve se as definiçoes estao todas selecionadas no lado esquerdo)
espero ter ajudado!


obrigada :)

não consigo actualizar o software da calculadora, dá erro.
as definições estão bem. Bem, ao menos fico a saber que ter só "finance" na parte das apps é normal...

Estive hoje a tentar encontrar o exercício em questão, mas não consegui encontrá-lo.
Para cálculos menos complicados, ela desenha bem.
 
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obrigada :)

não consigo actualizar o software da calculadora, dá erro.
as definições estão bem. Bem, ao menos fico a saber que ter só "finance" na parte das apps é normal...

Estive hoje a tentar encontrar o exercício em questão, mas não consegui encontrá-lo. Tinha frações de frações...
Para cálculos menos complicados, ela desenha bem.
para atualizar tens de utilizar como intermediário o tal programa ti connect que te mostrei
quanto ao gráfico provavelmente colocas te algo mal
 
2czzr52.jpg


bom, falei com a Mstudent17 e a calculadora dela (mesmo modelo) também não está a desenhar corretamente o gráfico.
O gráfico correto seria aquele à esquerda. Testei numa casio, e desenhou corretamente, por isso o problema não estará na resolução. Mais alguém com uma Ti-84 que possa testar?
 
2czzr52.jpg


bom, falei com a Mstudent17 e a calculadora dela (mesmo modelo) também não está a desenhar corretamente o gráfico.
O gráfico correto seria aquele à esquerda. Testei numa casio, e desenhou corretamente, por isso o problema não estará na resolução. Mais alguém com uma Ti-84 que possa testar?

Faltam parênteses! É (X^3+3X^2-2X-2)/(3X), não (X^3+3X^2-2X-2)/3X - senão a calculadora divide por 3 e depois multiplica por X (a ordem convencional das operações é essa), em vez de dividir por 3X.

Testei numa TI-84 com os parênteses e funcionou! :)
 
Boas,
Alguém me pode explicar estes exercícios? Já tentei tudo e mais alguma coisa e ainda não consegui resolve-los.

Escolha múltipla 1 (a resposta correta é a C) e 2 (a resposta correta é a A)
http://www.prof2000.pt/users/roliveira0/Ano12/2t12º5-1415.pdf

Ex 3.2 e ex 4. No ex 4 apenas não percebi porque é que a resposta não é 5+8*5+5*8*9 (eu pensei assim : se não tem dois algarismos iguais então tem todos os algarismos diferentes ou tem os três algarismos iguais)
http://www.ebsaas.com/grupos/matema...vos/Testes/12 Ano/2014-15/1_Teste12_14-15.pdf

Considere todos os números de seis algarismos que se podem formar com os algarismos 0,1,2,4,5,7,8. Alguns desses números têm apenas um 0,um 5 e um 7, estando estes algarismos em posições consecutivas. Quantos são estes números? R:1408

Desculpem estar a pôr muitas dúvidas. :cry:
 
Boas,
Alguém me pode explicar estes exercícios? Já tentei tudo e mais alguma coisa e ainda não consegui resolve-los.

Escolha múltipla 1 (a resposta correta é a C) e 2 (a resposta correta é a A)
http://www.prof2000.pt/users/roliveira0/Ano12/2t12º5-1415.pdf
Escolha múltipla 1
73,3% dos jovens apresentam sintomas de vício na internet, portanto, na amostra que temos (900) fica: 900 × 0,733 = 659,7
Desses jovens, 13% apresentam vício severo, ou seja: 659,7 × 0,13 = 85,761 ≈ 86
Opção (C)

Escolha múltipla 2
Se reparares, apenas a aresta OV é perpendicular ao eixo Oy. Portanto, nunca poderias escolher duas arestas simultaneamente que sejam ambas perpendiculares ao eixo Oy. Ou seja, a probabilidade é igual a 0.
Opção (A)

Considere todos os números de seis algarismos que se podem formar com os algarismos 0,1,2,4,5,7,8. Alguns desses números têm apenas um 0,um 5 e um 7, estando estes algarismos em posições consecutivas. Quantos são estes números? R:1408
Para formar números, o 0 não pode ser o primeiro o algarismo, portanto temos de fazer dois casos diferentes. Os algarismos 0, 5 e 7 podem ocupar 3 posições consecutivas diferentes (tirando as primeiras três posições de que trataremos mais à frente). Assim, distribuímos a ordem desses algarismos entre si (3!) e para cada um dos três lugares restantes temos 4 opções (4^3).
Se os algarismos ficarem nas primeiras três posições, temos 2 hipóteses para a primeira (já que o 0 não pode ser), 2 para a segunda e o restante algarismo fica na posição sobrante. E depois temos na mesma 4 opções para cada um dos 3 lugares restantes (4^3).
Assim fica: (3!×3×4^3) + (2×2×1×4^3) = 1408
 
Escolha múltipla 1 (a resposta correta é a C) e 2 (a resposta correta é a A)
http://www.prof2000.pt/users/roliveira0/Ano12/2t12º5-1415.pdf

(1) Dos 900 jovens inquiridos, 73,3% apresentam sintomas de viciação na Internet. Desta porção de jovens com sintomas, 13% exibe níveis severos de dependência. O número de jovens com níveis severos de dependência é 900 x 0,733 x 0,13 = 85,761, ou seja, cerca de 86 jovens. Isto corresponde à resposta (C).

(2) Só há uma aresta da pirâmide perpendicular ao plano xOy, a aresta [OV]. Assim, é impossível escolher duas arestas perpendiculares ao plano xOy, pelo que a probabilidade de isso ocorrer é 0. Isto corresponde à resposta (A).

Ex 3.2 e ex 4. No ex 4 apenas não percebi porque é que a resposta não é 5+8*5+5*8*9 (eu pensei assim : se não tem dois algarismos iguais então tem todos os algarismos diferentes ou tem os três algarismos iguais)
http://www.ebsaas.com/grupos/matema...vos/Testes/12 Ano/2014-15/1_Teste12_14-15.pdf

(3.2) Como quaisquer três pontos distintos são não colineares, quaisquer que sejam os três pontos que se escolham, estes formarão um triângulo. Há n+4 pontos na face referida (os 4 vértices da face, juntamente com os n pontos que foram acrescentados). Assim, o número de casos possíveis é
[latex]{}^{n+4}C_{3} = \frac{(n+4)!}{(n+1)!3!}[/latex]
Os casos favoráveis são aqueles em que o ponto B não é escolhido. Temos então de escolher 3 pontos de entre os n+3 que sobram. O número de casos favoráveis é
[latex]{}^{n+3}C_{3} = \frac{(n+3)!}{n!3!}[/latex]
Assim, a probabilidade pedida é
[latex] \frac{\frac{(n+3)!}{n!3!}}{\frac{(n+4)!}{(n+1)!3!}} = \frac{(n+3)!(n+1)!3!}{(n+4)!n!3!} = \frac{n+1}{n+4}[/latex]

(4) Penso que aqui o teu erro foi de interpretação. Acho que "não ter dois algarisms iguais" deve ser interpretado como "ter todos os algarismos diferentes".

Como o número tem de ser inferior a 1000, há três casos a considerar: o número tem 1 algarismo, 2 algarismos ou 3 algarismos.

Caso 1: O número tem 1 algarismo.

Neste caso, só há 5 números ímpares (1, 3, 5, 7, e 9).

Caso 2: O número tem dois algarismos.

Neste caso, o algarismo das unidades tem de ser ímpar (5 possibilidades) e o das dezenas tem de ser um algarismo de 1 a 9 diferente do das unidades (8 possibilidades). Assim, há 5 x 8 possibilidades.

Caso 3: O número tem 3 algarismos.

Mais uma vez, o algarismo das unidades tem de ser ímpar. O algarismo das centenas tem de ser um algarismo de 1 a 9 diferente do das unidades (8 possibilidades). O algarismo das dezenas tem de ser um algarismo de 0 a 9 diferente dos dois algarismos já escolhidos (8 possibilidades). Assim, temos 5 x 8 x 8 possibilidades.

Somando tudo, obtém-se a resposta dada.

Considere todos os números de seis algarismos que se podem formar com os algarismos 0,1,2,4,5,7,8. Alguns desses números têm apenas um 0,um 5 e um 7, estando estes algarismos em posições consecutivas. Quantos são estes números? R:1408

Os algarismos 0, 5 e 7 têm de estar em posições consecutivas. Aqui, a única "rasteira" é que o algarismo 0 não pode estar na primeira posição, para termos de facto um número de 6 algarismos. Assim, temos de separar a resolução em dois casos:

Caso 1: O grupo formado pelos algarismos 0, 5 e 7 aparece nas posições X X X _ _ _

Neste caso, o 0 não pode aparecer primeiro, pelo que há duas posições possíveis para o zero dentro deste grupo. Restam duas formas possíveis de posicionar o 5 e o 7 nas duas posições que sobram. Assim, há 4 possibilidades de arranjo destes três algarismos.

Agora, precisamos de preencher as três posições que sobram com algarismos do conjunto {1,2,4,8}. Não há qualquer restrição sobre estes, por isso há 4^3 possibilidades de os distribuir.

Assim, temos 4 x 4^3 = 4^4 = 256 possibilidades de distribuição neste caso.

Caso 2: O grupo formado pelos algarismos 0, 5 e 7 não aparece nas posições X X X _ _ _

Neste caso, este grupo pode aparecer nas posições:
_ X X X _ _ ou _ _ X X X _ ou _ _ _ X X X
Temos estas três possibilidades e mais 3! = 6 para distribuir o 0, o 5 e o 7 dentro destas posições 8agora o 0 já pode ir para qualquer uma). Logo, temos 3 x 6 = 18 possibilidades de distribuir estes três algarismos.

Como no caso anterior, multiplicamos por 4^3 para obter a resposta 18 x 4^3 = 1152.

Resposta final: Somando o número de possibilidades de cada caso, obtemos 256 + 1152 = 1408.


[A @asofias já respondeu correctamente a algumas coisas, mas eu já tinha escrito e por isso deixei todas as minhas respostas... :)]
 
Em relação à 2, seria para 2 arestas perpendiculares a xOy, mas apenas uma é perpendicular: a OV. Daí que a resposta é 0.

Escolha múltipla 1
73,3% dos jovens apresentam sintomas de vício na internet, portanto, na amostra que temos (900) fica: 900 × 0,733 = 659,7
Desses jovens, 13% apresentam vício severo, ou seja: 659,7 × 0,13 = 85,761 ≈ 86
Opção (C)

Escolha múltipla 2
Se reparares, apenas a aresta OV é perpendicular ao eixo Oy. Portanto, nunca poderias escolher duas arestas simultaneamente que sejam ambas perpendiculares ao eixo Oy. Ou seja, a probabilidade é igual a 0.
Opção (A)


Para formar números, o 0 não pode ser o primeiro o algarismo, portanto temos de fazer dois casos diferentes. Os algarismos 0, 5 e 7 podem ocupar 3 posições consecutivas diferentes (tirando as primeiras três posições de que trataremos mais à frente). Assim, distribuímos a ordem desses algarismos entre si (3!) e para cada um dos três lugares restantes temos 4 opções (4^3).
Se os algarismos ficarem nas primeiras três posições, temos 2 hipóteses para a primeira (já que o 0 não pode ser), 2 para a segunda e o restante algarismo fica na posição sobrante. E depois temos na mesma 4 opções para cada um dos 3 lugares restantes (4^3).
Assim fica: (3!×3×4^3) + (2×2×1×4^3) = 1408

(1) Dos 900 jovens inquiridos, 73,3% apresentam sintomas de viciação na Internet. Desta porção de jovens com sintomas, 13% exibe níveis severos de dependência. O número de jovens com níveis severos de dependência é 900 x 0,733 x 0,13 = 85,761, ou seja, cerca de 86 jovens. Isto corresponde à resposta (C).

(2) Só há uma aresta da pirâmide perpendicular ao plano xOy, a aresta [OV]. Assim, é impossível escolher duas arestas perpendiculares ao plano xOy, pelo que a probabilidade de isso ocorrer é 0. Isto corresponde à resposta (A).



(3.2) Como quaisquer três pontos distintos são não colineares, quaisquer que sejam os três pontos que se escolham, estes formarão um triângulo. Há n+4 pontos na face referida (os 4 vértices da face, juntamente com os n pontos que foram acrescentados). Assim, o número de casos possíveis é
[latex]{}^{n+4}C_{3} = \frac{(n+4)!}{(n+1)!3!}[/latex]
Os casos favoráveis são aqueles em que o ponto B não é escolhido. Temos então de escolher 3 pontos de entre os n+3 que sobram. O número de casos favoráveis é
[latex]{}^{n+3}C_{3} = \frac{(n+3)!}{n!3!}[/latex]
Assim, a probabilidade pedida é
[latex] \frac{\frac{(n+3)!}{n!3!}}{\frac{(n+4)!}{(n+1)!3!}} = \frac{(n+3)!(n+1)!3!}{(n+4)!n!3!} = \frac{n+1}{n+4}[/latex]

(4) Penso que aqui o teu erro foi de interpretação. Acho que "não ter dois algarisms iguais" deve ser interpretado como "ter todos os algarismos diferentes".

Como o número tem de ser inferior a 1000, há três casos a considerar: o número tem 1 algarismo, 2 algarismos ou 3 algarismos.

Caso 1: O número tem 1 algarismo.

Neste caso, só há 5 números ímpares (1, 3, 5, 7, e 9).

Caso 2: O número tem dois algarismos.

Neste caso, o algarismo das unidades tem de ser ímpar (5 possibilidades) e o das dezenas tem de ser um algarismo de 1 a 9 diferente do das unidades (8 possibilidades). Assim, há 5 x 8 possibilidades.

Caso 3: O número tem 3 algarismos.

Mais uma vez, o algarismo das unidades tem de ser ímpar. O algarismo das centenas tem de ser um algarismo de 1 a 9 diferente do das unidades (8 possibilidades). O algarismo das dezenas tem de ser um algarismo de 0 a 9 diferente dos dois algarismos já escolhidos (8 possibilidades). Assim, temos 5 x 8 x 8 possibilidades.

Somando tudo, obtém-se a resposta dada.



Os algarismos 0, 5 e 7 têm de estar em posições consecutivas. Aqui, a única "rasteira" é que o algarismo 0 não pode estar na primeira posição, para termos de facto um número de 6 algarismos. Assim, temos de separar a resolução em dois casos:

Caso 1: O grupo formado pelos algarismos 0, 5 e 7 aparece nas posições X X X _ _ _

Neste caso, o 0 não pode aparecer primeiro, pelo que há duas posições possíveis para o zero dentro deste grupo. Restam duas formas possíveis de posicionar o 5 e o 7 nas duas posições que sobram. Assim, há 4 possibilidades de arranjo destes três algarismos.

Agora, precisamos de preencher as três posições que sobram com algarismos do conjunto {1,2,4,8}. Não há qualquer restrição sobre estes, por isso há 4^3 possibilidades de os distribuir.

Assim, temos 4 x 4^3 = 4^4 = 256 possibilidades de distribuição neste caso.

Caso 2: O grupo formado pelos algarismos 0, 5 e 7 não aparece nas posições X X X _ _ _

Neste caso, este grupo pode aparecer nas posições:
_ X X X _ _ ou _ _ X X X _ ou _ _ _ X X X
Temos estas três possibilidades e mais 3! = 6 para distribuir o 0, o 5 e o 7 dentro destas posições 8agora o 0 já pode ir para qualquer uma). Logo, temos 3 x 6 = 18 possibilidades de distribuir estes três algarismos.

Como no caso anterior, multiplicamos por 4^3 para obter a resposta 18 x 4^3 = 1152.

Resposta final: Somando o número de possibilidades de cada caso, obtemos 256 + 1152 = 1408.


[A @asofias já respondeu correctamente a algumas coisas, mas eu já tinha escrito e por isso deixei todas as minhas respostas... :)]




Obrigado! Já percebi os meus erros. :grinning: