Matemática A - Dúvidas e Exercícios

Ana Noronha

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?????????????
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???????????????????????????
"Estude quanto ao sentido da concavidade e à existência de pontos de inflexão a função a seguir definida:

\[ f(x)=\frac{x-1}{x-2} \] .

A derivada de 2ª ordem deu-me \[ f''(x)=\frac2{(x-2)^3} \] pelo que assim não poderei descobrir quais os pontos de inflexão. Gostaria era de saber como ficaria a tabela dos sinais e da concavidade...
 
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David1154

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"Estude quanto ao sentido da concavidade e à existência de pontos de inflexão a função a seguir definida:

\[ f(x)=\frac{x-1}{x-2} \] .

A derivada de 2ª ordem deu-me \[ f''(x)=\frac2{(x-2)^3} \] pelo que assim não poderei descobrir quais os pontos de inflexão. Gostaria era de saber como ficaria a tabela dos sinais e da concavidade...
Assim, suponho eu.
 

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David1154

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Okay, acho que entendi. Eu ia perguntar do porquê do 2 (o que está entre os infinitos) mas creio que seja por causa do domínio, não é?
Sim, o 2 não pertence ao domínio porque o denominador dá 0, e esse zero tem de vir contemplado na tabela. Eu não sei se é obrigatório estudar numerador e denominador e só depois a dervada, ou se podemos logo colocar só a derivada e estudá-la, contudo acho que é mais fácil numerador e denominador.
 

Ana Noronha

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Sim, o 2 não pertence ao domínio porque o denominador dá 0, e esse zero tem de vir contemplado na tabela. Eu não sei se é obrigatório estudar numerador e denominador e só depois a dervada, ou se podemos logo colocar só a derivada e estudá-la, contudo acho que é mais fácil numerador e denominador.
Pois. Obrigada :) Acho que vai depender um bocado de cada função, não sei...
 
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Alfa

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pelo que assim não poderei descobrir quais os pontos de inflexão.
Podes descobrir: não existem, uma vez que a segunda derivada não tem zeros.

Sim, o 2 não pertence ao domínio porque o denominador dá 0, e esse zero tem de vir contemplado na tabela. Eu não sei se é obrigatório estudar numerador e denominador e só depois a dervada, ou se podemos logo colocar só a derivada e estudá-la, contudo acho que é mais fácil numerador e denominador.
Uma tabela de sinal não é um formulário das finanças. A ideia não é estar tudo nos sítios certos segundo um qualquer modelo ideal; a ideia é a tabela servir de auxiliar para percebermos em que intervalos uma dada função (ou a(s) sua(s) derivada(s)) é positiva ou negativa. Se separamos o denominador e o numerador (ou mesmo eventuais factores de um e de outro) e estudamos os seus sinais separadamente, é porque isso normalmente torna as coisas mais fáceis. Sabemos qual é o sinal de factores mais simples (lineares ou quadráticos, por exemplo) e sabemos como se comportam os sinais quando multiplicamos ou dividimos. A tabela é para ajudar, não é para nos complicar a vida e nos obrigar à chatice de a fazer da "maneira certa".
 

David1154

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Uma tabela de sinal não é um formulário das finanças. A ideia não é estar tudo nos sítios certos segundo um qualquer modelo ideal; a ideia é a tabela servir de auxiliar para percebermos em que intervalos uma dada função (ou a(s) sua(s) derivada(s)) é positiva ou negativa. Se separamos o denominador e o numerador (ou mesmo eventuais factores de um e de outro) e estudamos os seus sinais separadamente disse:
Sim, eu não sabia se podia ser alvo de desconto, por exemplo no exame, ao não apresentarmos o porquê da segunda derivada ter determinados comportamentos, e ao apresentar o numerador e o denomianador estamos meio que a justificar o porquê da derivada se manifestar de deterimada forma.
Já agora, a concavidade está voltada para cima de ]-oo, 2[ porque o 2 não pertence ao D, ou o 2 é fechado?
 

Alfa

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Boa tarde.
Será que alguém me poderia dizer como se calcula este limite?

Ver anexo 6649
Temos:
\[ \lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)+\tan(6x)}{4x^2-\pi^2}=\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)+\tan(6x)}{(2x-\pi)(2x+\pi)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)+\tan(6x)}{(x-\pi/2)(x+\pi/2)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)+\frac{\sin(6x)}{\cos(6x)}}{(x-\pi/2)(x+\pi/2)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)+\frac{2\sin(3x)\cos(3x)}{\cos(6x)}}{(x-\pi/2)(x+\pi/2)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)\left(1+\frac{2\sin(3x)}{\cos(6x)}\right)}{(x-\pi/2)(x+\pi/2)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)}{(x-\pi/2)(x+\pi/2)}\left(1+\frac{2\sin(3x)}{\cos(6x)}\right)=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)}{(x-\pi/2)}\frac{1}{(x+\pi/2)}\left(1+\frac{2\sin(3x)}{\cos(6x)}\right)\]
Agora, para facilitar as coisas, vou só considerar uma parte deste limite (a mais problemática):
\[ \lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)}{(x-\pi/2)} \]
Fazendo a mudança de variável \( y=3(x-\pi/2)\), ficamos com:
\[ \lim_{y\rightarrow 0}\frac{\cos(y+3\pi/2)}{y/3} = 3\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\cos(y+3\pi/2)}{y}=3\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\cos(3\pi/2)\cos y- \sin(3\pi/2)\sin y}{y} = 3\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\sin y}{y} = 3 \]
Assim, o limite original dá
\[ \frac{1}{4} \times 3\times \frac{1}{\pi} \times 3 = \frac{9}{4\pi} \]

EDIT: Desculpem a eventual translineação estranha das fórmulas.
 
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Marco Esperança

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Ciências e Tecnologia - 12.°
Temos:
\[ \lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)+\tan(6x)}{4x^2-\pi^2}=\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)+\tan(6x)}{(2x-\pi)(2x+\pi)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)+\tan(6x)}{(x-\pi/2)(x+\pi/2)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)+\frac{\sin(6x)}{\cos(6x)}}{(x-\pi/2)(x+\pi/2)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)+\frac{2\sin(3x)\cos(3x)}{\cos(6x)}}{(x-\pi/2)(x+\pi/2)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)\left(1+\frac{2\sin(3x)}{\cos(6x)}\right)}{(x-\pi/2)(x+\pi/2)}=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)}{(x-\pi/2)(x+\pi/2)}\left(1+\frac{2\sin(3x)}{\cos(6x)}\right)=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)}{(x-\pi/2)}\frac{1}{(x+\pi/2)}\left(1+\frac{2\sin(3x)}{\cos(6x)}\right)\]
Agora, para facilitar as coisas, vou só considerar uma parte deste limite (a mais problemática):
\[ \lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{\cos(3x)}{(x-\pi/2)} \]
Fazendo a mudança de variável \( y=3(x-\pi/2)\), ficamos com:
\[ \lim_{y\rightarrow 0}\frac{\cos(y+3\pi/2)}{y/3} = 3\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\cos(y+3\pi/2)}{y}=3\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\cos(3\pi/2)\cos y- \sin(3\pi/2)\sin y}{y} = 3\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\sin y}{y} = 3 \]
Assim, o limite original dá
\[ \frac{1}{4} \times 3\times \frac{1}{\pi} \times 3 = \frac{9}{4\pi} \]

EDIT: Desculpem a eventual translineação estranha das fórmulas.
Muito obrigado @Alfa :)
 
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Alfa

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Olá, alguém me poderia explicar este problema de otimização? :
É o 44
Ver anexo 6658
A área impressa ocupará um rectângulo com 25 centímetros quadrados de área. Chamando \(x\) e \(y\) aos comprimentos dos lados deste rectângulo, temos \(xy=25\), ou seja, \(y=25/x\). Aqui vou assumir que \(x\) é o comprimento do lado mais pequeno e \(y\) o comprimento do lado maior. Vou também assumir (isso não é totalmente explícito no enunciado) que o folheto deve ser impresso com a folha em posição vertical, pelo que a folha tem \(x+2+2=x+4\) centímetros de largura e \(y+4+4=25/x+8\) centímetros de comprimento. Logo, a área da folha é igual a
\[A(x)= (x+4)(25/x+8)=8x+100/x+57.\]
Derivando esta função, obtemos
\[ A'(x) = 8-100/x^2 .\]
A função derivada tem um único zero positivo para \(x=5/\sqrt{2}=5\sqrt{2}/2\) e pode verificar-se que se trata de um minimizante. Assim, as dimensões da folha são \(5\sqrt{2}/2+4\) centímetros (para a largura) e \(25/(5\sqrt{2}/2)+8= 5\sqrt{2}+8\) centímetros (para o comprimento).
 

Bremer Pereira

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Candidato a Gestão no ISCTE 😁
A área impressa ocupará um rectângulo com 25 centímetros quadrados de área. Chamando \(x\) e \(y\) aos comprimentos dos lados deste rectângulo, temos \(xy=25\), ou seja, \(y=25/x\). Aqui vou assumir que \(x\) é o comprimento do lado mais pequeno e \(y\) o comprimento do lado maior. Vou também assumir (isso não é totalmente explícito no enunciado) que o folheto deve ser impresso com a folha em posição vertical, pelo que a folha tem \(x+2+2=x+4\) centímetros de largura e \(y+4+4=25/x+8\) centímetros de comprimento. Logo, a área da folha é igual a
\[A(x)= (x+4)(25/x+8)=8x+100/x+57.\]
Derivando esta função, obtemos
\[ A'(x) = 8-100/x^2 .\]
A função derivada tem um único zero positivo para \(x=5/\sqrt{2}=5\sqrt{2}/2\) e pode verificar-se que se trata de um minimizante. Assim, as dimensões da folha são \(5\sqrt{2}/2+4\) centímetros (para a largura) e \(25/(5\sqrt{2}/2)+8= 5\sqrt{2}+8\) centímetros (para o comprimento).
Muito obrigado prof 😁!!
Mensagem fundida automaticamente:

Olá, podem ajudar-me na questão 29?:
57F48DD1-EBBB-40AE-8BDF-7A927B15699E.jpeg
Eu descobri o declive cm os pontos (2,2) e (0,1) e o declive deu-me 1/2
Depois fiz y= x/2 + b
Substitui pelo ponto (0,1) e o b=1
A equação ficou y=(x/2) + 1 que é a opção (A)
Mas nas soluções diz que é a (C) 😅

Tenh uma dúvida no 30:
Eu posso dizer que f(x)=2x +1 ou digo que f’(x)=2x+1??
 
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Ana Noronha

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???????????????????????????
"De uma função f, de domínio IR, duas vezes diferenciável, sabe-se que:
\[ 4f(x)\;+\;f"(x)\;=\;0\;,\;\forall x\in\mathbb{R} \]

Qual das expressões seguintes pode ser a expressão analítica da função f?

(A) f(x) = 2sinx (B) f(x) = sin(2x) (C) f(x) = sin(4x) (D) f(x) = cos(4x)."
 
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Luís Todo Bom

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Engenharia dos juros
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"De uma função f, de domínio IR, duas vezes diferenciável, sabe-se que:
\[ 4f(x)\;+\;f"(x)\;=\;0\;,\;\forall x\in\mathbb{R} \]

Qual das expressões seguintes pode ser a expressão analítica da função f?

(A) f(x) = 2sinx (B) f(x) = sin(2x) (C) f(x) = sin(4x) (D) f(x) = cos(4x)."
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