Matemática A - Dúvidas e Exercícios

Alfa

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Alexandre André

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Astronomia
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I get it!, visualizar com números ajudou.
Muito obrigado @Alfa e @Alexandre André :D
Eu agora derivo sempre transformando a raiz numa potência, por causa do formulário, e até costuma facilitar os cálculos. Enfim, eu cá acho que quantos menos cenas levarmos decoradas para o exame melhor, porque em momentos de stress tudo pode desabar no nosso cérebro :tearsofjoy:
 

Blasty

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29 Abril 2016
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Curso
Medicina
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FMUP
Eu agora derivo sempre transformando a raiz numa potência, por causa do formulário, e até costuma facilitar os cálculos. Enfim, eu cá acho que quantos menos cenas levarmos decoradas para o exame melhor, porque em momentos de stress tudo pode desabar no nosso cérebro :tearsofjoy:
Também fazia isso, nunca soube a fórmula da derivada das raízes. :laughing:
 

David1154

Membro Veterano
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18 Junho 2018
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Eu agora derivo sempre transformando a raiz numa potência, por causa do formulário, e até costuma facilitar os cálculos. Enfim, eu cá acho que quantos menos cenas levarmos decoradas para o exame melhor, porque em momentos de stress tudo pode desabar no nosso cérebro :tearsofjoy:
ahahah se te dizer que faço o mesmo acreditas? É bem mais fácil xxDD Eu nem sei a formula da raiz porque faço sempre em potência :tearsofjoy::tearsofjoy:
 

Ana Noronha

Membro Dux
Colaborador Editorial
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23 Junho 2016
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Curso
Ciências e Tecnologias 12º. Ano
Eu agora derivo sempre transformando a raiz numa potência, por causa do formulário, e até costuma facilitar os cálculos. Enfim, eu cá acho que quantos menos cenas levarmos decoradas para o exame melhor, porque em momentos de stress tudo pode desabar no nosso cérebro :tearsofjoy:
Também fazia isso, nunca soube a fórmula da derivada das raízes. :laughing:
Eu quando via a potência em fração assustava-me e tentava dar uma oportunidade à derivada das raízes. Guess what, faço a da potência, porque aquela porcaria das raízes nunca me bateu certo.
 

Alfa

#pdralfa 🌈
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2 Agosto 2015
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FCUL
A área do hexágono é igual à soma da área do rectângulo [ACDF] com as áreas de cada um dos triângulos [ABC] e [DEF] (que são iguais.

O rectângulo [ACDF] tem lados de comprimentos \( 2\cos(\alpha)\) e \( 2\sin(\alpha)\). Logo, a sua área é
\[ 4\sin(\alpha)\cos(\alpha) .\]

O triângulo [ABC] tem base de comprimento \( 2\cos(\alpha)\) e altura \( 1-\sin(\alpha)\). Logo, a sua área é
\[ \cos(\alpha)-\sin(\alpha)\cos(\alpha) . \]

Assim, a área do hexágono é
\[ A(\alpha)= 4\sin(\alpha)\cos(\alpha) + 2(\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\cos(\alpha))= 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + 2\cos(\alpha) = \sin(2\alpha) +2\cos(\alpha) . \]

Para determinar o valor de \(\alpha\) para o qual a área do hexágono é máxima, começamos por derivar a função \(A\):
\[ A'(\alpha) = 2\cos(2\alpha)-2\sin(\alpha) . \]
Temos
\[ A'(\alpha)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \cos(2\alpha) - \sin(\alpha) = 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ (\cos(\alpha))^2 - (\sin(\alpha))^2 - \sin(\alpha) = 0. \]
Usando a fórmula fundamental da trigonometria e reorganizando a equação, obtemos
\[ 2(\sin(\alpha))^2 +\sin(\alpha) -1 = 0 , \]
que é uma equação quadrática em \(\sin(\alpha)\). Obtemos
\[ \sin(\alpha) = 1/2\ \ \ \text{ou}\ \ \ \sin(\alpha)=-1 ;\]
como \(\alpha \in ]0,\pi/2[\) e a função seno não toma o valor \(-1\) neste intervalo, consideramos apenas a solução positiva. Assim, neste intervalo, temos
\[ \sin(\alpha) = 1/2 \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \alpha = \pi / 6 ,\]
sendo este o valor para o qual a área é máxima.
 

Ana Noronha

Membro Dux
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23 Junho 2016
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Curso
Ciências e Tecnologias 12º. Ano
A área do hexágono é igual à soma da área do rectângulo [ACDF] com as áreas de cada um dos triângulos [ABC] e [DEF] (que são iguais.

O rectângulo [ACDF] tem lados de comprimentos \( 2\cos(\alpha)\) e \( 2\sin(\alpha)\). Logo, a sua área é
\[ 4\sin(\alpha)\cos(\alpha) .\]

O triângulo [ABC] tem base de comprimento \( 2\cos(\alpha)\) e altura \( 1-\sin(\alpha)\). Logo, a sua área é
\[ \cos(\alpha)-\sin(\alpha)\cos(\alpha) . \]

Assim, a área do hexágono é
\[ A(\alpha)= 4\sin(\alpha)\cos(\alpha) + 2(\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\cos(\alpha))= 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + 2\cos(\alpha) = \sin(2\alpha) +2\cos(\alpha) . \]

Para determinar o valor de \(\alpha\) para o qual a área do hexágono é máxima, começamos por derivar a função \(A\):
\[ A'(\alpha) = 2\cos(2\alpha)-2\sin(\alpha) . \]
Temos
\[ A'(\alpha)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \cos(2\alpha) - \sin(\alpha) = 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ (\cos(\alpha))^2 - (\sin(\alpha))^2 - \sin(\alpha) = 0. \]
Usando a fórmula fundamental da trigonometria e reorganizando a equação, obtemos
\[ 2(\sin(\alpha))^2 +\sin(\alpha) -1 = 0 , \]
que é uma equação quadrática em \(\sin(\alpha)\). Obtemos
\[ \sin(\alpha) = 1/2\ \ \ \text{ou}\ \ \ \sin(\alpha)=-1 ;\]
como \(\alpha \in ]0,\pi/2[\) e a função seno não toma o valor \(-1\) neste intervalo, consideramos apenas a solução positiva. Assim, neste intervalo, temos
\[ \sin(\alpha) = 1/2 \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \alpha = \pi / 6 ,\]
sendo este o valor para o qual a área é máxima.
Muitoo obrigada!! Estava a ter dificuldades para provar a área, mais na parte dos triângulos, mas já vi o que foi! Obrigada!! :D
 
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David1154

Membro Veterano
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18 Junho 2018
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Olá alguém pode tentar resolver este limite notável Sff não estou a conseguir msm a solução é +infinito
Ora bem, não sei se pode ser assim, mas cá vai:
\[ \frac{\displaystyle\frac{e^\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt[3]{x^2+1}}}{\displaystyle\frac{2x-4}{\sqrt[3]{x^2+1}}}=\;\frac{\displaystyle e^\sqrt[3]{x^2+1}}{\displaystyle\sqrt[3]{x^2+1}}\ast\frac1{\displaystyle\frac{2x-4}{\sqrt[3]{x^2+1}}}=+00\ast\frac{\sqrt[3]{x^2+1}}{2x-4}=+00\ast\frac{\sqrt[3]{\displaystyle\frac{(x^2+1)x}x}}{2x-4}=+00\ast\frac{x\sqrt[3]{\displaystyle\frac xx}}{2x-4}=+00\ast\frac x{2x-4}=+00\ast\frac12=+00 \]
Desculpa, não coloquei lim.., mas tou meio apressa xD Não sei se podes fazer assim, mas pelo menos deu o mesmo :sweatsmile:
 
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Bremer Pereira

Membro Veterano
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14 Abril 2017
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Curso
Ciências Socioeconómicas: 12° ano
Olá alguém me poderia explicar quanto dá:
\[ \frac1{2\cos({\displaystyle\frac{\mathrm\pi}2})^-} \]
E quanto dá:
\[ 1+\;2sen(\frac{\mathrm\pi}2)^- \]
N percebo como se vê isso do pi/2 com o menos como “””expoente””” em circunferência trigonométrica
 
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Ana Noronha

Membro Dux
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Curso
Ciências e Tecnologias 12º. Ano
Olá alguém me poderia explicar quanto dá:
\[ \frac1{2\cos({\displaystyle\frac{\mathrm\pi}2})^-} \]
E quanto dá:
\[ 1+\;2sen(\frac{\mathrm\pi}2)^- \]
N percebo como se vê isso do pi/2 com o menos como “””expoente””” em circunferência trigonométrica
...espera, mas é um cálculo a fazer? pq ver os pi's assim, normalmente vi-os em limites com mudanças de variáveis...
 

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