Matemática A - Dúvidas e Exercícios

Alfa

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Limite notável do seno? Nunca ouvi falar de tal coisa :tearsofjoy: presumo que seja matéria de trigonometria do 12º e ainda não chegámos lá. Anyway, podia resolver esse limite com uma comparação certo?
Como farias isso?
 
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Alfa

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2 Agosto 2015
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Esquece, pensei que o x fosse para +oo, quando é para zero :tearsofjoy:
Também é possível fazer aqui um enquadramento (a demonstração mais tradicional deste limite faz isso mesmo, partindo de considerações geométricas), mas não é nada óbvio.
 
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Bremer Pereira

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14 Abril 2017
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Candidato a Gestão no ISCTE 😁
Olá a todos! Será que alguém me poderia ajudar na 3.2? não percebo a pergunta... obrigada!
A questão 3.w pede-te para mostrares que existe um x pertencente ao intervalo de ]0,pi/3[ tal que g(x)= g’(x)
Aqui terás de usar Teorema de Bolzano penso eu.
Como tal podes construir uma função h e, que h(x)=g(x) - g’(x)
Primeiro passo será justificares q h é continua no intervalo pedido:
- A função h é continua no intervalo de [0,pi/3] pois diz respeito á soma de funcoes continuas.
Em seguida:
h(0)= g(0) - g’(0)=(ainda n aprendi a calcular a derivada do seno por isso n sei ahah)
h(pi/3)= g(pi/3) - g’(pi/3)=
Depois é só averiguar que segundo o corolário do Teorema de Bolzano (neste caso h(0) * h(pi/3) < 0,isto é, o valor de h(0) e h(pi/3) são simétricos (um é positivo e outro negativo), existe pelo menos uma solução tal que g(x)=g’(x) em ]0,pi/3[.
 

Alexandre André

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29 Outubro 2015
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A questão 3.w pede-te para mostrares que existe um x pertencente ao intervalo de ]0,pi/3[ tal que g(x)= g’(x)
Aqui terás de usar Teorema de Bolzano penso eu.
Como tal podes construir uma função h e, que h(x)=g(x) - g’(x)
Primeiro passo será justificares q h é continua no intervalo pedido:
- A função h é continua no intervalo de [0,pi/3] pois diz respeito á soma de funcoes continuas.
Em seguida:
h(0)= g(0) - g’(0)=(ainda n aprendi a calcular a derivada do seno por isso n sei ahah)
h(pi/3)= g(pi/3) - g’(pi/3)=
Depois é só averiguar que segundo o corolário do Teorema de Bolzano (neste caso h(0) * h(pi/3) < 0,isto é, o valor de h(0) e h(pi/3) são simétricos (um é positivo e outro negativo), existe pelo menos uma solução tal que g(x)=g’(x) em ]0,pi/3[.
O Teorema de Bolzano está a assustar-me um bocado. Sei que no exame da 1ªF deste ano um dos exercícios de "seleção" foi precisamente com ele. Plus, o meu stor disse que o T.B permitia fazer exercícios muito giros (com um um brilho de malvadez nos olhos)... :sob::tearsofjoy: vamos lá ver o que ele põe no teste!
 
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Bremer Pereira

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AF3BC83A-A954-4A3F-91CF-0823F2FBC612.jpeg
Well fui ver ao formulário de exame a fórmula da derivada do seno, mas como n dei n sei se está correto o cálculo, se n estiver pedia ao @Alfa ou outra pessoa que corrigisse...
Mas a estrutra da resposta é essa 🤗
Mensagem fundida automaticamente:

O Teorema de Bolzano está a assustar-me um bocado. Sei que no exame da 1ªF deste ano um dos exercícios de "seleção" foi precisamente com ele. Plus, o meu stor disse que o T.B permitia fazer exercícios muito giros (com um um brilho de malvadez nos olhos)... :sob::tearsofjoy: vamos lá ver o que ele põe no teste!
Por acaso nos meusntestes n tem saído nada por aí além 😁 E nunca fiz um exercício muito difícil do T.B, mas sim houve um do exame 2018 primeira fase q era para usar Bolzano e n fazia ideia ahah mas tmb estava misturado c coisas q ainda não dei...
 

Alfa

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O Teorema de Bolzano está a assustar-me um bocado. Sei que no exame da 1ªF deste ano um dos exercícios de "seleção" foi precisamente com ele. Plus, o meu stor disse que o T.B permitia fazer exercícios muito giros (com um um brilho de malvadez nos olhos)... :sob::tearsofjoy: vamos lá ver o que ele põe no teste!
Tudo pode servir para um exercício de selecção. ;) O teorema de Bolzano em si não é difícil.
 
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A questão 3.w pede-te para mostrares que existe um x pertencente ao intervalo de ]0,pi/3[ tal que g(x)= g’(x)
Aqui terás de usar Teorema de Bolzano penso eu.
Como tal podes construir uma função h e, que h(x)=g(x) - g’(x)
Primeiro passo será justificares q h é continua no intervalo pedido:
- A função h é continua no intervalo de [0,pi/3] pois diz respeito á soma de funcoes continuas.
Em seguida:
h(0)= g(0) - g’(0)=(ainda n aprendi a calcular a derivada do seno por isso n sei ahah)
h(pi/3)= g(pi/3) - g’(pi/3)=
Depois é só averiguar que segundo o corolário do Teorema de Bolzano (neste caso h(0) * h(pi/3) < 0,isto é, o valor de h(0) e h(pi/3) são simétricos (um é positivo e outro negativo), existe pelo menos uma solução tal que g(x)=g’(x) em ]0,pi/3[.
Muito obrigada!
 

Alfa

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Alguém me pode ajudar na 12.6? Obrigada 😋
Limites notáveis fazem de mim chinelo, haha
Temos
\[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\sin(2x)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin(2x)}{x}\right) = 1+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(2x)}{x} .\]
Este último limite pode ser resolvido com recurso à mudança de variável \(y=2x\):
\[ 1+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(2x)}{x} = 1+\lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y/2} = 1+2\lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1+2\times 1 = 3 . \]
 
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BeatrizM

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Temos
\[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\sin(2x)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin(2x)}{x}\right) = 1+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(2x)}{x} .\]
Este último limite pode ser resolvido com recurso à mudança de variável \(y=2x\):
\[ 1+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(2x)}{x} = 1+\lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y/2} = 1+2\lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1+2\times 1 = 3 . \]
Muito obrigada!
 

Beabb3

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Ciências e Tecnologias 11ano
Olá alguém me consegue explicar como eu chego ao contradomínio desta função?
E o 91 e a solução e o intervalo de {2,+infinito {
 

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Alfa

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2 Agosto 2015
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Olá alguém me consegue explicar como eu chego ao contradomínio desta função?
E o 91 e a solução e o intervalo de {2,+infinito {
Há pelo menos duas alternativas.

Método 1

Queremos saber para que valores \(a\in\mathbb{R}\) se tem \( f(x)=a\) para algum \(x\in\mathbb{R}\). Isto corresponde a determinar para que valores de \(a\) tem solução a equação
\[ 2^{-x}+2^x = a . \]
Uma vez que \(2^{-x}+2^x>0\) para qualquer \(x\) real, basta-nos considerar \(a\) positivo.
Multiplicando ambos os membros por \(2^x\), obtemos
\[ 1 + \left( 2^x\right)^2 = a2^x \ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ \left( 2^x\right)^2 -a2^x+1= 0 . \]
Isto é uma equação quadrática em \(2^x\). Fazendo a mudança de variável \(y=2^x\), obtemos
\[ y^2 - ay +1=0 \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ y= \frac{a\pm\sqrt{a^2 - 4}}{2} . \]
Notemos que, sendo \(a>0\), temos
\[ \sqrt{a^2-4} <\sqrt{a^2} = a, \]
pelo que ambas as soluções desta equação são positivas. Regressando à variável \(x\), obtemos
\[ 2^x = \frac{a\pm\sqrt{a^2 - 4}}{2}\ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ x = \log_2\left(\frac{a\pm\sqrt{a^2 - 4}}{2}\right) . \]
Isto faz sentido porque, como observado anteriormente, ambas as soluções da equação quadrática obtida são positivas. Daqui podemos concluir que a equação \(f(x)=a\) se e só se \( a^2 - 4 \geq 0 \), isto é (tendo mais uma vez em conta que \(a>0\)), \(a\geq 2\).

O contradomínio de \(f\) é, portanto, o intervalo \([2,+\infty[\).

Método 2

Uma vez mais, pretendemos saber para que valores \(a\in\mathbb{R}^+\) se tem \( f(x)=a\) para algum \(x\in\mathbb{R}\).

Em primeiro lugar, note-se que a função \(f\) é par:
\[ f(-x) = 2^{-(-x)} + 2^{-x} = 2^x+2^{-x} = f(x).\]
Em segundo lugar, temos
\[ f'(x) = -\ln(2)2^{-x} +\ln(2)2^x = \ln(2)(2^x-2^{-x}). \]
Se \(x\geq 0\), temos \( -x\leq x\), pelo que \(2^{-x}\leq 2^x \). Logo, para \(x\geq 0\), temos \(f'(x)\geq 0\), pelo que \(f\) é crescente em \( \mathbb{R}^+_0\).

Juntando este facto ao facto de a função ser par, concluímos que, para qualquer \(x\in\mathbb{R}\), \(f(x)\geq f(0)=2 \).

Para além disso,
\[ \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty . \]
Logo, o contradomínio de \(f\) é o intervalo \([2,+\infty[\) (para justificar convenientemente este último passo seria necessário apelar ao teorema de Bolzano de uma forma um pouco delicada, mas decidi incluir esta resolução porque me pareceu visualmente mais clara).
 
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Rodrigo Martins

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6 Março 2017
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CT 12º Ano
Boa tarde, alguém sabe como se calcula analiticamente o contradominio dasfunções \[ \sin\left(\alpha\right)+\cos\left(a\right)\;ou\;\sin\left(a\right)+x\cos(a) \] . (OBS: Procuro saber o CD dessas duas funções, elas não são a mesma)
 

Alfa

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2 Agosto 2015
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Boa tarde, alguém sabe como se calcula analiticamente o contradominio dasfunções \[ \sin\left(\alpha\right)+\cos\left(a\right)\;ou\;\sin\left(a\right)+x\cos(a) \] . (OBS: Procuro saber o CD dessas duas funções, elas não são a mesma)
Determinar o contradomínio de uma função nem sempre é uma tarefa fácil. No caso das funções que mencionaste, penso que o melhor é fazer um estudo da função (especialmente no que diz respeito a extremos, monotonia, limites no infinito, assímptotas, ...) para perceber o aspecto do gráfico e assim ter uma noção de como é o contradomínio. Em alguns casos, outros aspectos da função em causa (paridade ou imparidade, periodicidade, ...) podem ajudar a compreender o gráfico e, portanto, o contradomínio. Seja como for, mesmo que te peçam para determinar analiticamente o contradomínio, podes sempre começar por representar a função na calculadora gráfica (se esta estiver disponível) de forma a ficares com uma primeira ideia do aspecto da função que guie o teu trabalho analítico posterior.

Vou começar pela função \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \(f(x) = \sin (x) + \cos (x) \). Em primeiro lugar, é importante observar que \(f\) é uma função periódica de período \( 2\pi\):
\[ f ( x + 2\pi ) = \sin (x + 2\pi) + \cos ( x+2\pi) = \sin (x) + \cos(x) = f(x) . \]
Assim, basta estudar a função num qualquer intervalo de comprimento \(2\pi\) para perceber como ela se comporta em todo o domínio. Em particular, o contradomínio de \(f\) será igual ao contradomínio da restrição de \(f\) a qualquer intervalo de comprimento \(2\pi\). Por esta razão, vou limitar-me a considerar o intervalo \( [0,2\pi]\) no que se segue.

Vamos agora estudar a monotonia e extremos de \(f\) no intervalo \( [0,2\pi]\). Temos \( f'(x) = \cos (x) -\sin(x)\). Assim,
\[ f'(x) = 0 \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \cos(x) = \sin(x) . \]
Em \( [0,2\pi]\), existem exactamente duas soluções desta equação: \( \pi/4\) e \( 5\pi/4 \). Temos:
  • em \([0,\pi/4[\), \(\cos(x) > \sin(x)\), pelo que \(f'(x) >0\); assim, \(f\) é estritamente crescente neste intervalo;
  • em \(]\pi/4, 5\pi/4[\), \(\cos(x) < \sin(x)\), pelo que \(f'(x) < 0\); assim, \(f\) é estritamente decrescente neste intervalo;
  • em \(]5\pi/4,2\pi]\), \(\cos(x) > \sin(x)\), pelo que \(f'(x) >0\); assim, \(f\) é estritamente crescente neste intervalo.
Atendendo à continuidade da função \(f\) e ao teorema de Bolzano, podemos concluir que:
  • no intervalo \([0,\pi/4[\), a função \(f\) toma todos os valores entre \(f(0) = 1\) e \(f(\pi/4) = \sqrt{2}\);
  • no intervalo \(]\pi/4, 5\pi/4[\), a função \(f\) toma todos os valores entre \(f(5\pi/4) = -\sqrt{2}\) e \(f(\pi/4) = \sqrt{2}\);
  • no intervalo \(]5\pi/4,2\pi]\), a função \(f\) toma todos os valores entre \(f(5\pi/4) = -\sqrt{2}\) e \(f(2\pi) = 1\).
Assim, o contradomínio da restrição de \(f\) ao intervalo \([0,2\pi]\) (e, portanto, o contradomínio de \(f\)) é igual a \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\).

A função \(g : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(g(x) = \sin (x) + x \cos (x) \) é mais complicada. Por um lado, já não é periódica. Por outro lado, duvido que se consiga exprimir analiticamente os zeros da derivada de forma a fazer um estudo esclarecedor da monotonia da função (e a derivada tem uma infinidade de zeros). Por outro lado ainda, não existem limites de \(g\) para \(+\infty\) ou \(-\infty\). Tudo isto dificulta o estudo analítico da função. Tenho sérias dúvidas que te peçam para determinar analiticamente o contradomínio desta função; como disse antes, existem situações nas quais isto pode ser bastante difícil. (Se usares uma calculadora gráfica, podes ver (ou pelo menos ficar com a ideia de) que o gráfico de \(g\) "oscila com amplitude cada vez maior" quando nos aproximamos de infinito, pelo que o contradomínio de \(g\) é \(\mathbb{R}\).)

EDIT: Voltando ao exemplo da função \( g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \(g(x) = \sin(x)+x\cos(x)\), estive a pensar e tenho uma forma relativamente simples de provar que o contradomínio é \(\mathbb{R}\) (mas é um método um pouco "improvisado" para esta função em particular).

Repara que, dado \( n \in\mathbb{Z} \), temos
\[ \sin(n\pi) =0 \ \ \ \ \text{e}\ \ \ \ \cos(n\pi) = (-1)^n . \]
Assim,
\[ g(n\pi) = n\pi(-1)^n . \]

Considerando números inteiros \(n\) pares, vemos que \(g\) toma todos os valores
\[ 0, 2\pi, 4\pi, 6\pi, 8\pi, \ldots \]
Pela continuidade de \(g\), toma também qualquer valor real entre estes. Isto significa que \(g\) toma qualquer valor real não negativo. Por outro lado, considerando números inteiros \(n\) ímpares, vemos que \(g\) toma todos os valores
\[ -\pi, -3\pi, -5\pi, -7\pi, \ldots \]
Uma vez mais, a continuidade de \(g\) permite-nos concluir que esta função toma qualquer valor real não positivo. Juntando estas conclusões, podemos afirmar que o contradomínio de \(g\) é \(\mathbb{R}\).

(Volto a salientar que é improvável que venhas a encontrar este tipo de raciocínio em exame, por exemplo.)
 
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Estudante96

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9 Novembro 2018
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Boa tarde! Será que alguém me poderia ajudar na 5.1? obrigada!
Atendendo a que estamos perante o círculo trigonométrico e que a reta AC é paralela ao eixo Ox podemos escrever que (vou substituir o alfa (mas não este @Alfa !! xD) por x):
B(0,1)
A (cos x, sen x)
C (cos 180-x , sen 180-x) , ou seja, C ( -cos x , sen x)

Sabemos que d(B,C) = d (A,B) = d e consideremos o ponto I como o ponto de interseção entre as retas BO e AC, devendo ser notado que o ponto I tem de coordenadas (0, sen x). Desta forma, d(B,I) = 1-sen x e d(A,I) = cos x.

Podemos aplicar o teorema de Pitágoras, por exemplo, ao triângulo retângulo [ABI]:
[d(A,B)]^2 = [d(B,I)]^2 + [d(A, I)]^2
[d(A,B)]^2 = (1- sen x)^2 + (cos x)^2
[d(A, B)] ^2 = 1 - 2sen x + (sen x) ^2 + (cos x)^2
[d(A,B)]^2 = 1 - 2sen x + 1
[d(A,B)]^2 = 2 - 2 sen x
\[ d=\;d(A,B)\;=\;\sqrt{2-\;2sen\;x} \]

d(A, C) = abcissa de A - abcissa de C = cos x - (- cos x) = cos x + cos x = 2 cos x

O perímetro do triângulo é dado pela seguinte soma: P = 2d + d (A, C)
Escrevendo o perímetro em função de x, temos:
\[ f(x)\;=\;2\sqrt{2-2sen\;x}+\;2\;\cos\;x\;=\;2\;\cos\;x\;+\;2\sqrt{2-2sen\;x} \]
 
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Rodrigo Martins

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6 Março 2017
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CT 12º Ano
Determinar o contradomínio de uma função nem sempre é uma tarefa fácil. No caso das funções que mencionaste, penso que o melhor é fazer um estudo da função (especialmente no que diz respeito a extremos, monotonia, limites no infinito, assímptotas, ...) para perceber o aspecto do gráfico e assim ter uma noção de como é o contradomínio. Em alguns casos, outros aspectos da função em causa (paridade ou imparidade, periodicidade, ...) podem ajudar a compreender o gráfico e, portanto, o contradomínio. Seja como for, mesmo que te peçam para determinar analiticamente o contradomínio, podes sempre começar por representar a função na calculadora gráfica (se esta estiver disponível) de forma a ficares com uma primeira ideia do aspecto da função que guie o teu trabalho analítico posterior.

Vou começar pela função \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \(f(x) = \sin (x) + \cos (x) \). Em primeiro lugar, é importante observar que \(f\) é uma função periódica de período \( 2\pi\):
\[ f ( x + 2\pi ) = \sin (x + 2\pi) + \cos ( x+2\pi) = \sin (x) + \cos(x) = f(x) . \]
Assim, basta estudar a função num qualquer intervalo de comprimento \(2\pi\) para perceber como ela se comporta em todo o domínio. Em particular, o contradomínio de \(f\) será igual ao contradomínio da restrição de \(f\) a qualquer intervalo de comprimento \(2\pi\). Por esta razão, vou limitar-me a considerar o intervalo \( [0,2\pi]\) no que se segue.

Vamos agora estudar a monotonia e extremos de \(f\) no intervalo \( [0,2\pi]\). Temos \( f'(x) = \cos (x) -\sin(x)\). Assim,
\[ f'(x) = 0 \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \cos(x) = \sin(x) . \]
Em \( [0,2\pi]\), existem exactamente duas soluções desta equação: \( \pi/4\) e \( 5\pi/4 \). Temos:
  • em \([0,\pi/4[\), \(\cos(x) > \sin(x)\), pelo que \(f'(x) >0\); assim, \(f\) é estritamente crescente neste intervalo;
  • em \(]\pi/4, 5\pi/4[\), \(\cos(x) < \sin(x)\), pelo que \(f'(x) < 0\); assim, \(f\) é estritamente decrescente neste intervalo;
  • em \(]5\pi/4,2\pi]\), \(\cos(x) > \sin(x)\), pelo que \(f'(x) >0\); assim, \(f\) é estritamente crescente neste intervalo.
Atendendo à continuidade da função \(f\) e ao teorema de Bolzano, podemos concluir que:
  • no intervalo \([0,\pi/4[\), a função \(f\) toma todos os valores entre \(f(0) = 1\) e \(f(\pi/4) = \sqrt{2}\);
  • no intervalo \(]\pi/4, 5\pi/4[\), a função \(f\) toma todos os valores entre \(f(5\pi/4) = -\sqrt{2}\) e \(f(\pi/4) = \sqrt{2}\);
  • no intervalo \(]5\pi/4,2\pi]\), a função \(f\) toma todos os valores entre \(f(5\pi/4) = -\sqrt{2}\) e \(f(2\pi) = 1\).
Assim, o contradomínio da restrição de \(f\) ao intervalo \([0,2\pi]\) (e, portanto, o contradomínio de \(f\)) é igual a \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\).

A função \(g : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(g(x) = \sin (x) + x \cos (x) \) é mais complicada. Por um lado, já não é periódica. Por outro lado, duvido que se consiga exprimir analiticamente os zeros da derivada de forma a fazer um estudo esclarecedor da monotonia da função (e a derivada tem uma infinidade de zeros). Por outro lado ainda, não existem limites de \(g\) para \(+\infty\) ou \(-\infty\). Tudo isto dificulta o estudo analítico da função. Tenho sérias dúvidas que te peçam para determinar analiticamente o contradomínio desta função; como disse antes, existem situações nas quais isto pode ser bastante difícil. (Se usares uma calculadora gráfica, podes ver (ou pelo menos ficar com a ideia de) que o gráfico de \(g\) "oscila com amplitude cada vez maior" quando nos aproximamos de infinito, pelo que o contradomínio de \(g\) é \(\mathbb{R}\).)

EDIT: Voltando ao exemplo da função \( g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \(g(x) = \sin(x)+x\cos(x)\), estive a pensar e tenho uma forma relativamente simples de provar que o contradomínio é \(\mathbb{R}\) (mas é um método um pouco "improvisado" para esta função em particular).

Repara que, dado \( n \in\mathbb{Z} \), temos
\[ \sin(n\pi) =0 \ \ \ \ \text{e}\ \ \ \ \cos(n\pi) = (-1)^n . \]
Assim,
\[ g(n\pi) = n\pi(-1)^n . \]

Considerando números inteiros \(n\) pares, vemos que \(g\) toma todos os valores
\[ 0, 2\pi, 4\pi, 6\pi, 8\pi, \ldots \]
Pela continuidade de \(g\), toma também qualquer valor real entre estes. Isto significa que \(g\) toma qualquer valor real não negativo. Por outro lado, considerando números inteiros \(n\) ímpares, vemos que \(g\) toma todos os valores
\[ -\pi, -3\pi, -5\pi, -7\pi, \ldots \]
Uma vez mais, a continuidade de \(g\) permite-nos concluir que esta função toma qualquer valor real não positivo. Juntando estas conclusões, podemos afirmar que o contradomínio de \(g\) é \(\mathbb{R}\).

(Volto a salientar que é improvável que venhas a encontrar este tipo de raciocínio em exame, por exemplo.)
Muito Obrigado Alpha! A sério! Fiquei a perceber tudo! A segunda função foi só mesmo curiosidade :) Gostei do modo de como determinaste o CD da segunda função!!!!!
 
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