Matemática A - Dúvidas e Exercícios

Alfa

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Pois, mas em exame é necessário fazer isso?
Não tem sido comum em exame aparecerem limites que necessitem de mudanças de variável. No entanto, caso aparecesse este limite, eu diria que seria preferível explicitar a mudança de variável para reduzir este limite ao limite notável conhecido.
 
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Blasty

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Não tem sido comum em exame aparecerem limites que necessitem de mudanças de variável. No entanto, caso aparecesse este limite, eu diria que seria preferível explicitar a mudança de variável para reduzir este limite ao limite notável conhecido.
Apareceu nos exames de 2017 e penso que em anos anteriores também. :p
 
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Alfa

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Apareceu nos exames de 2017 e penso que em anos anteriores também. :p
Os limites dos exames de 2017 podiam ser resolvidos sem mudança de variável, apenas com manipulações algébricas que os transformavam em limites notáveis. É provável que aconteça o mesmo com limites em exames de anos anteriores.
 

Alexandre André

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Se quisermos justificar isso como deve ser temos mesmo de fazer uma mudança de variável (\(y=5x\))e usar o limite notável do seno:
\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1. \]
Limite notável do seno? Nunca ouvi falar de tal coisa :tearsofjoy: presumo que seja matéria de trigonometria do 12º e ainda não chegámos lá. Anyway, podia resolver esse limite com uma comparação certo?
 

Alfa

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Limite notável do seno? Nunca ouvi falar de tal coisa :tearsofjoy: presumo que seja matéria de trigonometria do 12º e ainda não chegámos lá. Anyway, podia resolver esse limite com uma comparação certo?
Como farias isso?
 
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Alfa

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Esquece, pensei que o x fosse para +oo, quando é para zero :tearsofjoy:
Também é possível fazer aqui um enquadramento (a demonstração mais tradicional deste limite faz isso mesmo, partindo de considerações geométricas), mas não é nada óbvio.
 
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Bremer Pereira

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Olá a todos! Será que alguém me poderia ajudar na 3.2? não percebo a pergunta... obrigada!
A questão 3.w pede-te para mostrares que existe um x pertencente ao intervalo de ]0,pi/3[ tal que g(x)= g’(x)
Aqui terás de usar Teorema de Bolzano penso eu.
Como tal podes construir uma função h e, que h(x)=g(x) - g’(x)
Primeiro passo será justificares q h é continua no intervalo pedido:
- A função h é continua no intervalo de [0,pi/3] pois diz respeito á soma de funcoes continuas.
Em seguida:
h(0)= g(0) - g’(0)=(ainda n aprendi a calcular a derivada do seno por isso n sei ahah)
h(pi/3)= g(pi/3) - g’(pi/3)=
Depois é só averiguar que segundo o corolário do Teorema de Bolzano (neste caso h(0) * h(pi/3) < 0,isto é, o valor de h(0) e h(pi/3) são simétricos (um é positivo e outro negativo), existe pelo menos uma solução tal que g(x)=g’(x) em ]0,pi/3[.
 

Alexandre André

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A questão 3.w pede-te para mostrares que existe um x pertencente ao intervalo de ]0,pi/3[ tal que g(x)= g’(x)
Aqui terás de usar Teorema de Bolzano penso eu.
Como tal podes construir uma função h e, que h(x)=g(x) - g’(x)
Primeiro passo será justificares q h é continua no intervalo pedido:
- A função h é continua no intervalo de [0,pi/3] pois diz respeito á soma de funcoes continuas.
Em seguida:
h(0)= g(0) - g’(0)=(ainda n aprendi a calcular a derivada do seno por isso n sei ahah)
h(pi/3)= g(pi/3) - g’(pi/3)=
Depois é só averiguar que segundo o corolário do Teorema de Bolzano (neste caso h(0) * h(pi/3) < 0,isto é, o valor de h(0) e h(pi/3) são simétricos (um é positivo e outro negativo), existe pelo menos uma solução tal que g(x)=g’(x) em ]0,pi/3[.
O Teorema de Bolzano está a assustar-me um bocado. Sei que no exame da 1ªF deste ano um dos exercícios de "seleção" foi precisamente com ele. Plus, o meu stor disse que o T.B permitia fazer exercícios muito giros (com um um brilho de malvadez nos olhos)... :sob::tearsofjoy: vamos lá ver o que ele põe no teste!
 
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Bremer Pereira

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Well fui ver ao formulário de exame a fórmula da derivada do seno, mas como n dei n sei se está correto o cálculo, se n estiver pedia ao @Alfa ou outra pessoa que corrigisse...
Mas a estrutra da resposta é essa 🤗
Mensagem fundida automaticamente:

O Teorema de Bolzano está a assustar-me um bocado. Sei que no exame da 1ªF deste ano um dos exercícios de "seleção" foi precisamente com ele. Plus, o meu stor disse que o T.B permitia fazer exercícios muito giros (com um um brilho de malvadez nos olhos)... :sob::tearsofjoy: vamos lá ver o que ele põe no teste!
Por acaso nos meusntestes n tem saído nada por aí além 😁 E nunca fiz um exercício muito difícil do T.B, mas sim houve um do exame 2018 primeira fase q era para usar Bolzano e n fazia ideia ahah mas tmb estava misturado c coisas q ainda não dei...
 

Alfa

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O Teorema de Bolzano está a assustar-me um bocado. Sei que no exame da 1ªF deste ano um dos exercícios de "seleção" foi precisamente com ele. Plus, o meu stor disse que o T.B permitia fazer exercícios muito giros (com um um brilho de malvadez nos olhos)... :sob::tearsofjoy: vamos lá ver o que ele põe no teste!
Tudo pode servir para um exercício de selecção. ;) O teorema de Bolzano em si não é difícil.
 
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DanielaGuerreiro

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A questão 3.w pede-te para mostrares que existe um x pertencente ao intervalo de ]0,pi/3[ tal que g(x)= g’(x)
Aqui terás de usar Teorema de Bolzano penso eu.
Como tal podes construir uma função h e, que h(x)=g(x) - g’(x)
Primeiro passo será justificares q h é continua no intervalo pedido:
- A função h é continua no intervalo de [0,pi/3] pois diz respeito á soma de funcoes continuas.
Em seguida:
h(0)= g(0) - g’(0)=(ainda n aprendi a calcular a derivada do seno por isso n sei ahah)
h(pi/3)= g(pi/3) - g’(pi/3)=
Depois é só averiguar que segundo o corolário do Teorema de Bolzano (neste caso h(0) * h(pi/3) < 0,isto é, o valor de h(0) e h(pi/3) são simétricos (um é positivo e outro negativo), existe pelo menos uma solução tal que g(x)=g’(x) em ]0,pi/3[.
Muito obrigada!
 

Alfa

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Alguém me pode ajudar na 12.6? Obrigada 😋
Limites notáveis fazem de mim chinelo, haha
Temos
\[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\sin(2x)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin(2x)}{x}\right) = 1+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(2x)}{x} .\]
Este último limite pode ser resolvido com recurso à mudança de variável \(y=2x\):
\[ 1+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(2x)}{x} = 1+\lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y/2} = 1+2\lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1+2\times 1 = 3 . \]
 
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BeatrizM

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2 Dezembro 2016
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12º - Ciências e Tecnologias
Temos
\[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\sin(2x)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin(2x)}{x}\right) = 1+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(2x)}{x} .\]
Este último limite pode ser resolvido com recurso à mudança de variável \(y=2x\):
\[ 1+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(2x)}{x} = 1+\lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y/2} = 1+2\lim_{y\rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1+2\times 1 = 3 . \]
Muito obrigada!
 

Beabb3

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6 Janeiro 2018
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Ciências e Tecnologias 11ano
Olá alguém me consegue explicar como eu chego ao contradomínio desta função?
E o 91 e a solução e o intervalo de {2,+infinito {
 

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Alfa

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Olá alguém me consegue explicar como eu chego ao contradomínio desta função?
E o 91 e a solução e o intervalo de {2,+infinito {
Há pelo menos duas alternativas.

Método 1

Queremos saber para que valores \(a\in\mathbb{R}\) se tem \( f(x)=a\) para algum \(x\in\mathbb{R}\). Isto corresponde a determinar para que valores de \(a\) tem solução a equação
\[ 2^{-x}+2^x = a . \]
Uma vez que \(2^{-x}+2^x>0\) para qualquer \(x\) real, basta-nos considerar \(a\) positivo.
Multiplicando ambos os membros por \(2^x\), obtemos
\[ 1 + \left( 2^x\right)^2 = a2^x \ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ \left( 2^x\right)^2 -a2^x+1= 0 . \]
Isto é uma equação quadrática em \(2^x\). Fazendo a mudança de variável \(y=2^x\), obtemos
\[ y^2 - ay +1=0 \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ y= \frac{a\pm\sqrt{a^2 - 4}}{2} . \]
Notemos que, sendo \(a>0\), temos
\[ \sqrt{a^2-4} <\sqrt{a^2} = a, \]
pelo que ambas as soluções desta equação são positivas. Regressando à variável \(x\), obtemos
\[ 2^x = \frac{a\pm\sqrt{a^2 - 4}}{2}\ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ x = \log_2\left(\frac{a\pm\sqrt{a^2 - 4}}{2}\right) . \]
Isto faz sentido porque, como observado anteriormente, ambas as soluções da equação quadrática obtida são positivas. Daqui podemos concluir que a equação \(f(x)=a\) se e só se \( a^2 - 4 \geq 0 \), isto é (tendo mais uma vez em conta que \(a>0\)), \(a\geq 2\).

O contradomínio de \(f\) é, portanto, o intervalo \([2,+\infty[\).

Método 2

Uma vez mais, pretendemos saber para que valores \(a\in\mathbb{R}^+\) se tem \( f(x)=a\) para algum \(x\in\mathbb{R}\).

Em primeiro lugar, note-se que a função \(f\) é par:
\[ f(-x) = 2^{-(-x)} + 2^{-x} = 2^x+2^{-x} = f(x).\]
Em segundo lugar, temos
\[ f'(x) = -\ln(2)2^{-x} +\ln(2)2^x = \ln(2)(2^x-2^{-x}). \]
Se \(x\geq 0\), temos \( -x\leq x\), pelo que \(2^{-x}\leq 2^x \). Logo, para \(x\geq 0\), temos \(f'(x)\geq 0\), pelo que \(f\) é crescente em \( \mathbb{R}^+_0\).

Juntando este facto ao facto de a função ser par, concluímos que, para qualquer \(x\in\mathbb{R}\), \(f(x)\geq f(0)=2 \).

Para além disso,
\[ \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty . \]
Logo, o contradomínio de \(f\) é o intervalo \([2,+\infty[\) (para justificar convenientemente este último passo seria necessário apelar ao teorema de Bolzano de uma forma um pouco delicada, mas decidi incluir esta resolução porque me pareceu visualmente mais clara).
 
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Rodrigo Martins

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6 Março 2017
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Curso
Ciências e Tecnologias 12º Ano
Boa tarde, alguém sabe como se calcula analiticamente o contradominio dasfunções \[ \sin\left(\alpha\right)+\cos\left(a\right)\;ou\;\sin\left(a\right)+x\cos(a) \] . (OBS: Procuro saber o CD dessas duas funções, elas não são a mesma)