Matemática A - Dúvidas e Exercícios

David1154

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Olá, conseguem-me dizer, como é que sabemos o comportamento da primeira derivada, sabendo única e exclusivamente a segunda , sem recorrer ao cálculo da mesma? Sei que é algo como, se f''(x)=y é máx, e se f''(x)=-y é mín, mas não estou a entender muito bem, especialmente na função x^2 ( peguei nesta por pensar ser mais fácil).
P.S: Peço desculpa se estou a dizer alguma barbaridade, mas tinha isso apontado e já não me recordo em que situações se usa :/
 
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Alexandre André

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Hoje na minha QA saiu uma função definida por ramos:
\( f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{x^2+3}\;se\;x\leq0\\...\;se\;x>0\end{array}\right. \)
E pedia-se para estudar as concavidades do gráfico em \( \mathbb{R}^- \)
A segunda derivada para \( \mathbb{R}^- \) é \[ \frac3{\sqrt{(x^2+3)^3}} \], que é positiva para qualquer x pertencente a \( \mathbb{R}^- \) e não tem zeros... na aula isto baralhou-me um pouco pois não sabia muito bem como fazer a tabela...anyway, eu apresentei assim:


x


\( -\infty \)​


0​



f''​



+​



ND​



f​


\[ \bigcup \]


ND​

Isto está certo? Eu pus ND em zero porque o enunciado diz para fazer só em \( \mathbb{R}^- \)...







Depois pedia para provar que uma certa equação era possível num intervalo fechado... eu fiquei tb um pouco à nora, visto o teorema de Bolzano diz que o intervalo é aberto... mas depois no manual tem um ex. em que justificam que o intervalo fechado está contido dentro do aberto... mas se o intervalo é ]a,b[ significa que a e b não fazem parte, logo como é que [a,b] ( que contém o a e o b) pode estar incluído em ]a,b[ (que não contém nem a nem b ?
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Olá, conseguem-me dizer, como é que sabemos o comportamento da segunda derivada, sabendo única e exclusivamente a segunda , sem recorrer ao cálculo da mesma? Sei que é algo como, se f''(x)=y é máx, e se f''(x)=-y é mín, mas não estou a entender muito bem, especialmente na função x^2 ( peguei nesta por pensar ser mais fácil).
P.S: Peço desculpa se estou a dizer alguma barbaridade, mas tinha isso apontado e já não me recordo em que situações se usa :/
Eu acho que nós não demos nada disso, e já acabámos esse capítulo... está a escapar-me algum teorema importante? :fearscream::fearscream:
 
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Rodrigo Martins

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Hoje na minha QA saiu uma função definida por ramos:
\( f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{x^2+3}\;se\;x\leq0\\...\;se\;x>0\end{array}\right. \)
E pedia-se para estudar as concavidades do gráfico em \( \mathbb{R}^- \)
A segunda derivada para \( \mathbb{R}^- \) é \[ \frac3{\sqrt{(x^2+3)^3}} \], que é positiva para qualquer x pertencente a \( \mathbb{R}^- \) e não tem zeros... na aula isto baralhou-me um pouco pois não sabia muito bem como fazer a tabela...anyway, eu apresentei assim:


x




\( -\infty \)​



0​



f''​



+​



ND​



f​


\[ \bigcup \]


ND​

Isto está certo? Eu pus ND em zero porque o enunciado diz para fazer só em \( \mathbb{R}^- \)...









Depois pedia para provar que uma certa equação era possível num intervalo fechado... eu fiquei tb um pouco à nora, visto o teorema de Bolzano diz que o intervalo é aberto... mas depois no manual tem um ex. em que justificam que o intervalo fechado está contido dentro do aberto... mas se o intervalo é ]a,b[ significa que a e b não fazem parte, logo como é que [a,b] ( que contém o a e o b) pode estar incluído em ]a,b[ (que não contém nem a nem b ?
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Eu acho que nós não demos nada disso, e já acabámos esse capítulo... está a escapar-me algum teorema importante? :fearscream::fearscream:
Por acaso não tens foto da pergunta para situar-me melhor? No Bolzano descreves que a função é contínua sempre num intervalo fechado, quando disseres que "segundo o TBC existe pelo menos um c pertencente ao intervalo] a, b[..." o intervalo é aberto.
 
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David1154

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Hoje na minha QA saiu uma função definida por ramos:
\( f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{x^2+3}\;se\;x\leq0\\...\;se\;x>0\end{array}\right. \)
E pedia-se para estudar as concavidades do gráfico em \( \mathbb{R}^- \)
A segunda derivada para \( \mathbb{R}^- \) é \[ \frac3{\sqrt{(x^2+3)^3}} \], que é positiva para qualquer x pertencente a \( \mathbb{R}^- \) e não tem zeros... na aula isto baralhou-me um pouco pois não sabia muito bem como fazer a tabela...anyway, eu apresentei assim:


x




\( -\infty \)​



0​



f''​



+​



ND​



f​


\[ \bigcup \]


ND​

Isto está certo? Eu pus ND em zero porque o enunciado diz para fazer só em \( \mathbb{R}^- \)...








Depois pedia para provar que uma certa equação era possível num intervalo fechado... eu fiquei tb um pouco à nora, visto o teorema de Bolzano diz que o intervalo é aberto... mas depois no manual tem um ex. em que justificam que o intervalo fechado está contido dentro do aberto... mas se o intervalo é ]a,b[ significa que a e b não fazem parte, logo como é que [a,b] ( que contém o a e o b) pode estar incluído em ]a,b[ (que não contém nem a nem b ?
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Eu acho que nós não demos nada disso, e já acabámos esse capítulo... está a escapar-me algum teorema importante? :fearscream::fearscream:
Teorema penso que não é, mas também não tenho a certeza :(

 

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Olá, conseguem-me dizer, como é que sabemos o comportamento da segunda derivada, sabendo única e exclusivamente a segunda , sem recorrer ao cálculo da mesma? Sei que é algo como, se f''(x)=y é máx, e se f''(x)=-y é mín, mas não estou a entender muito bem, especialmente na função x^2 ( peguei nesta por pensar ser mais fácil).
P.S: Peço desculpa se estou a dizer alguma barbaridade, mas tinha isso apontado e já não me recordo em que situações se usa :/
Podes explicar melhor o que pretendes saber e com que informações sff? Não percebi muito bem
 
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David1154

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Podes explicar melhor o que pretendes saber e com que informações sff? Não percebi muito bem
Reparei agora que me enganei a escrever. f''(x)=y, sendo y<0, é minimo da função f, e f''(x)= y, sendo y>0, é máxmo, supostamente com estas informações conseguimos saber se a primeira derivada tem máximos e mínimos, certo? Mas eu não consigo entender o porquê, pois por exemplo, na função f(x)=x^2, a segunda derivada é 2. E tendo em conta aquelas informações, como é que sabemos se a função f tem máx e mínimo?
Sry, eu não consigo explicar mt bem o que quero perguntar :(
 
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Por acaso não tens foto da pergunta para situar-me melhor? No Bolzano descreves que a função é contínua sempre num intervalo fechado, quando disseres que "segundo o TBC existe pelo menos um c pertencente ao intervalo] a, b[..." o intervalo é aberto.
Exato, mas pedia-se para mostrar que a equação era possível num intervalo [a,b] e não ]a,b[ (não eram pontos genéricos, tinham valores reais). Já tive a ver em outros livros de ex's e este pedido é comum...
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Reparei agora que me enganei a escrever. f''(x)=y, sendo y<0, é minimo da função f, e f''(x)= y, sendo y>0, é máxmo, supostamente com estas informações conseguimos saber se a primeira derivada tem máximos e mínimos, certo? Mas eu não consigo entender o porquê, pois por exemplo, na função f(x)=x^2, a segunda derivada é 2. E tendo em conta aquelas informações, como é que sabemos se a função f tem máx e mínimo?
Sry, eu não consigo explicar mt bem o que quero perguntar :(
Ah sim, se a primeira derivada for zero num ponto e a segunda derivada for negativa então esse ponto é um máximo, se a primeira derivada for zero num ponto e a segunda derivada for positiva então esse ponto é um mínimo... pensa numa parábola \( ax^{2\;}+\;bx\;+c \)
Se a>0 a concavidade é voltada para cima: \( \cup \) e no vértice da parábola (que é um mínimo) a sua primeira derivada é zero e a sua segunda derivada >0
primeira derivada: \( ax+b \)
segunda derivada: a (é negativa ou positiva segundo o sinal do coeficiente do termo de 2º grau da parábola)
 
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Reparei agora que me enganei a escrever. f''(x)=y, sendo y<0, é minimo da função f, e f''(x)= y, sendo y>0, é máxmo, supostamente com estas informações conseguimos saber se a primeira derivada tem máximos e mínimos, certo? Mas eu não consigo entender o porquê, pois por exemplo, na função f(x)=x^2, a segunda derivada é 2. E tendo em conta aquelas informações, como é que sabemos se a função f tem máx e mínimo?
Sry, eu não consigo explicar mt bem o que quero perguntar :(
Já percebi!
Interpreta da seguinte forma: Se te derem uma função e tu calculares a primeira derivada e depois fores calcular a segunda derivada, o que tu estás a fazer para obter a segunda derivada da função que te foi dada é, basicamente, derivar a primeira derivada, obtendo, assim, a segunda derivada.
Desta forma, se tiveres uma função f cuja primeira derivada é f' e a segunda derivada é f'' isso é uma "nomenclatura" para as funções que tem por base o facto da tua função "referência" ser a função f (Nota que as funções (algumas vá, mas a maioria das que conhecemos no secundário) podem ser derivadas o número de vezes que te apetecer). Se eu te der a função f' que falei acima, mas lhe chamar função g e te pedir a sua derivada, tu vais cacular g' que vai ser igual à função f'' que referi acima. Neste caso, tu percebes que o estudo do sinal de g' te informa sobre a monotonia de g, isto é, o estudo do sinal de f'' informa sobre a monotonia de f' (pois, de facto, a funçao f'' é primeira derivada da função f').
Recorrendo a um exemplo, se te derem uma função f(x) = 2x+1, a sua primeira derivada é f'(x) = 2 e a sua segunda derivada é f''(x) = 0.
Nota que se eu te disser que g(x) =2, então g'(x)=0.
Em suma, para qualquer função, a segunda derivada dela é a primeira derivada da primeira derivada dessa função, sendo o estudo do sinal da segunda derivada da função informativo da monotonia da primeira derivada da função.
Espero que não tenha ficado confuso.
 
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David1154

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Já percebi!
Interpreta da seguinte forma: Se te derem uma função e tu calculares a primeira derivada e depois fores calcular a segunda derivada, o que tu estás a fazer para obter a segunda derivada da função que te foi dada é, basicamente, derivar a primeira derivada, obtendo, assim, a segunda derivada.
Desta forma, se tiveres uma função f cuja primeira derivada é f' e a segunda derivada é f'' isso é uma "nomenclatura" para as funções que tem por base o facto da tua função "referência" ser a função f (Nota que as funções (algumas vá, mas a maioria das que conhecemos no secundário) podem ser derivadas o número de vezes que te apetecer). Se eu te der a função f' que falei acima, mas lhe chamar função g e te pedir a sua derivada, tu vais cacular g' que vai ser igual à função f'' que referi acima. Neste caso, tu percebes que o estudo do sinal de g' te informa sobre a monotonia g, isto é, o estudo do sinal de f'' informa sobre a monotonia de f' (pois, de facto, a funçao f'' é primeira derivada da função f').
Recorrendo a um exemplo, se te derem uma função f(x) = 2x+1, a sua primeira derivada é f'(x) = 2 e a sua segunda derivada é f''(x) = 0.
Nota que se eu te disser que g(x) =2, então g'(x)=0.
Em suma, para qualquer função que tenhas a segunda derivada dela é a primeira derivada da primeira derivada dessa função, sendo o estudo do sinal da segunda derivada da função informativo da monotonia da primeira derivada da função.
Espero que não tenh ficado confuso.
Então, por exemplo, tendo uma função f(x), e sabendo que f''(x)=y, e sendo este y um valor positivo, ele vai ser máximo da função f ou da função f' ?
 

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Então, por exemplo, tendo uma função f(x), e sabendo que f''(x)=y, e sendo este y um valor positivo, ele vai ser máximo da função f ou da função f' ?
Se tiveres f''(a)= b, sendo a um número real e b um número real positivo, o que tu sabes é que b é o declive da reta tangente à função f' no ponto de abcissa a (é o significado que a derivada num ponto tem).
Para tu saberes que a função f' tem um máximo (relativo) num determinado ponto de abcissa a, o que tem de acontecer é que f' tem de ser crescente (desde um ponto qualquer) até chegar ao ponto de abcissa a e tem de ser decrescente depois do ponto de abcissa a (até chegar a qualquer outro ponto), o que significa que a função f'' será positiva (desde um qualquer ponto) até chegar ao ponto de abcissa a e será negativa a partir do ponto a (até qualquer outro ponto), tendo-se f''(a)=0. Isto que descrevi por texto é o tipo de informação que retiras dos quadros de monotonia e de sinal de uma função e da sua primeira derivada (respetivamente).
Espero, de novo, que não tenha criado mais confusão xD
 
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David1154

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Se tiveres f''(a)= b, sendo a um número real e b um número real positivo, o que tu sabes é que b é o declive da reta tangente à função f' no ponto de abcissa a (é o significado que a derivada num ponto tem).
Para tu saberes que a função f' tem um máximo (relativo) num determinado ponto de abcissa a, o que tem de acontecer é que f' tem de ser crescente (desde um ponto qualquer) até chegar ao ponto de abcissa a e tem de ser decrescente depois do ponto de abcissa a (até chegar a qualquer outro ponto), o que significa que a função f'' será positiva (desde um qualquer ponto) até chegar ao ponto de abcissa a e será negativa a partir do ponto a (até qualquer outro ponto), tendo-se f''(a)=0. Isto que descrevi por texto é o tipo de informação que retiras dos quadros de monotonia e de sinal de uma função e da sua primeira derivada (respetivamente).
Espero, de novo, que não tenha criado mais confusão xD
Vou bater de novo nesta função xD
f(x)=x^2 f'(x)=2x f''(x)=2
Sem calcular a monotonia de f(x), como é que descobrimos se a função admite máx/min, isto é, se for possível, com as informações da segunda derivada?
 
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Vou bater de novo nesta função xD
f(x)=x^2 f'(x)=2x f''(x)=2
Sem calcular a monotonia de f(x), como é que descobrimos se a função admite máx/min, isto é, se for possível, com as informações da segunda derivada?
Acho que não viste o meu comentário em cima, calculas o zero da segunda derivada e vês o sinal da segunda para esse zero. A explicação está no meu outro comentário xD
 
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Vou bater de novo nesta função xD
f(x)=x^2 f'(x)=2x f''(x)=2
Sem calcular a monotonia de f(x), como é que descobrimos se a função admite máx/min, isto é, se for possível, com as informações da segunda derivada?
Respondendo especificamente à tua pergunta, para saber se f(x) tem máximos ou mínimos tens de estudar a sua monotonia e isso só é possível com o estudo do sinal da sua primeira derivada (a segunda derivada de uma função apenas informa sobre o sentido da concavidade e os pontos e inflexão dessa função).

O que fui tentando também transmitir nas minhas outras mensagens é que, tal como o estudo do sinal da primeira derivada de uma função informa sobre a monotonia dessa função, também o estudo do sinal da segunda derivada informa sobre a monotonia da primeira derivada.

EDIT: Vi agora o que o @Alexandre André disse numa mensagem anterior, talvez seja isso que tens nos teus apontamentos e queres descodificar, mas essa situação implica alguma informação da primeira derivada também.
 
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David1154

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Acho que não viste o meu comentário em cima, calculas o zero da segunda derivada e vês o sinal da segunda para esse zero. A explicação está no meu outro comentário xD
Não vi!! Quando as mensagens são fundidas, não notifica, não sei se é só a mim, ou se a toda a gente. Já percebi, muito obrigado! :)

Respondendo especificamente à tua pergunta, para saber se f(x) tem máximos ou mínimos tens de estudar a sua monotonia e isso só é possível com o estudo do sinal da sua primeira derivada (a segunda derivada de uma função apenas informa sobre o sentido da concavidade e os pontos e inflexão dessa função).

O que fui tentando também transmitir nas minhas outras mensagens é que, tal como o estudo do sinal da primeira derivada de uma função informa sobre a monotonia dessa função, também o estudo do sinal da segunda derivada informa sobre a monotonia da primeira derivada.

EDIT: Vi agora o que o @Alexandre André disse numa mensagem anterior, talvez seja isso que tenhas nos teus apontamentos e queres descodificar, mas essa situação implica alguma informação da primeira derivada também.
Ah, sim isso eu já sabia, estava era meio confundido. Então se para sabermos os máx e mínimos é obrigatório sabermos a monotonia, ou seja, a primeira derivada, não há nenhuma vantagem em saber que se f''(x) for menor que 0, etc.. ?
 
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Não vi!! Quando as mensagens são fundidas, não notifica, não sei se é só a mim, ou se a toda a gente. Já percebi, muito obrigado! :)


Ah, sim isso eu já sabia, estava era meio confundido. Então se para sabermos os máx e mínimos é obrigatório sabermos a monotonia, ou seja, a primeira derivada, não há nenhuma vantagem em saber que se f''(x) for menor que 0, etc.. ?
No que diz respeito a descobrir extremos da função original, saber somente o sinal da segunda derivada não é suficiente.

Porém, é importante ter a noção de que o valor e sinal da segunda derivada (juntamente com a primeira derivada) tem influência na forma como a função original se comporta (as derivadas são funções que informam sobre a taxa de variação instantânea da sua função correspondente, pelo que a 2ª derivada representar essa taxa em relação à 1ª derivada, significa que a 2ª derivada tem algum tipo de influência sobre a/reflete de alguma forma o comportamento da função original). Tentar perceber graficamente essa influência da 2ª derivada (juntamente com a 1ª derivada) sobre a função original nos vários casos possíveis (com funções simples e conhecidas) é muito útil no que diz respeito a compreender intrinsecamente o significado de uma derivada (pelo menos, no meu caso foi importante) e só não vou tentar explicar isso porque não sei se o conseguiria fazer de uma forma minimamente decente e sem cair em incorreções (além disso, tenho ideia que este exercício que falo até ocorre no 11º em F.Q. quando se estuda o deslocamento, a velocidade e a aceleração instantâneas graficamente)
 

David1154

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No que diz respeito a descobrir extremos da função original, saber somente o sinal da segunda derivada não é suficiente.

Porém, é importante ter a noção de que o valor e sinal da segunda derivada (juntamente com a primeira derivada) tem influência na forma como a função original se comporta (as derivadas são funções que informam sobre a taxa de variação instantânea da sua função correspondente, pelo que a 2ª derivada representar essa taxa em relação à 1ª derivada, significa que a 2ª derivada tem algum tipo de influência sobre a/reflete de alguma forma o comportamento da função original). Tentar perceber graficamente essa influência da 2ª derivada (juntamente com a 1ª derivada) sobre a função original nos vários casos possíveis (com funções simples e conhecidas) é muito útil no que diz respeito a compreender intrinsecamente o significado de uma derivada (pelo menos, no meu caso foi importante) e só não vou tentar explicar isso porque não sei se o conseguiria fazer de uma forma minimamente decente e sem cair em incorreções (além disso, tenho ideia que este exercício que falo até ocorre no 11º em F.Q. quando se estuda o deslocamento, a velocidade e a aceleração instantâneas graficamente)
Muito obrigado @Estudante96 , já percebi :) Desculpa pelas confusões pelo meio xD
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Nova dúvida:
Considere em IR, a equação \[ \frac{-x^3+6}{x^3-2}=x \]
Mostra que esta equação tem exatamente uma solução no intervalo ]1,2[.
Na tua resolução, usa o facto de y= (-x^3+6)/(x^3-2) -x definir uma função decrescente em IR^+.
 
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Bremer Pereira

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Candidato a Gestão no ISCTE 😁
Respondendo especificamente à tua pergunta, para saber se f(x) tem máximos ou mínimos tens de estudar a sua monotonia e isso só é possível com o estudo do sinal da sua primeira derivada (a segunda derivada de uma função apenas informa sobre o sentido da concavidade e os pontos e inflexão dessa função).

O que fui tentando também transmitir nas minhas outras mensagens é que, tal como o estudo do sinal da primeira derivada de uma função informa sobre a monotonia dessa função, também o estudo do sinal da segunda derivada informa sobre a monotonia da primeira derivada.

EDIT: Vi agora o que o @Alexandre André disse numa mensagem anterior, talvez seja isso que tens nos teus apontamentos e queres descodificar, mas essa situação implica alguma informação da primeira derivada também.
Uma questão para descobrir máximos e mimos de uma função sem ter de recorrer á tabela do sinal da função derivada e da variação da função, podemos apenas fazer a primeira derivada; calcular os zeros da primeira derivada; calcular a segunda derivada e substituir os zeros da primeira derivada na segunda derivada, certo? E, sendo a um zeros de f’(x):
Se f”(a)<0 dizemos que tem máximo relativo e se f”(a)>0 dizemos que tem mínimo relativo, certo?
É que saiu no meu teste só q eu n me lembrava se era assim q se fazia...
 

Alfa

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Uma questão para descobrir máximos e mimos de uma função sem ter de recorrer á tabela do sinal da função derivada e da variação da função, podemos apenas fazer a primeira derivada; calcular os zeros da primeira derivada; calcular a segunda derivada e substituir os zeros da primeira derivada na segunda derivada, certo? E, sendo a um zeros de f’(x):
Se f”(a)<0 dizemos que tem máximo relativo e se f”(a)>0 dizemos que tem mínimo relativo, certo?
É que saiu no meu teste só q eu n me lembrava se era assim q se fazia...
Isto é verdade, sim. Pode é acontecer que o zero da derivada seja também zero da segunda derivada. E aqui não se pode concluir nada, temos mesmo de ir estudar o sinal da derivada.