Matemática A - Dúvidas e Exercícios

Rodrigo Martins

Membro Veterano
Matrícula
6 Março 2017
Mensagens
403
Curso
CT 12º Ano
Muito obrigado @Alfa. Para além disso, como é que fazia o 14.2 para o primeiro ramo?
Queres dizer *a função do 1º ramo? Defines a derivada da função sobre ramos. Uma função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto. O recíproco não se aplica por isso cuidado. Então defines a função derivada, calculas em x=0 (calculando à esquerda, à direita e no meio Acho que é isso, corrijam-me se estiver errado.)
Mensagem fundida automaticamente:

51290667_1097606693733405_2815131654123683840_n.jpg
Eu fiz isso mas não me parece assim tão simples. Está a faltar algo...
P.S. Eu não simplifiquei a expressão das derivadas porque apenas queria provar que era derivável/diferenciável naquele intervalo pelo que para evitar erros desnecessários e potenciais perdas de pontos não desenvolvi mais. Acho que no exame não penalizam neste cenário por fazer isto.
Acho que me falta ver se a função derivada é continua em x=0, pois se for continua então g é diferenciável nesse ponto. Então o dominio de g e de g' são iguais, logo g é diferenciável em x=0. Alguém pode confirmar?
 
Última edição:

David1154

Membro Dux
Matrícula
18 Junho 2018
Mensagens
641
Curso
error 404--not found
Instituição
502 Bad Gateway
Queres dizer *a função do 1º ramo? Defines a derivada da função sobre ramos. Uma função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto. O recíproco não se aplica por isso cuidado. Então defines a função derivada, calculas em x=0 (calculando à esquerda, à direita e no meio Acho que é isso, corrijam-me se estiver errado.)
Mensagem fundida automaticamente:

Ver anexo 6790
Eu fiz isso mas não me parece assim tão simples. Está a faltar algo...
P.S. Eu não simplifiquei a expressão das derivadas porque apenas queria provar que era derivável/diferenciável naquele intervalo pelo que para evitar erros desnecessários e potenciais perdas de pontos não desenvolvi mais. Acho que no exame não penalizam neste cenário por fazer isto.
Para provar que é diferenciável, basta averiguar que g'(0^-)=g'(0^+), certo?
 
  • Like
Reactions: Bremer Pereira

Marco Esperança

Membro Veterano
Matrícula
28 Maio 2017
Mensagens
151
Curso
Ciências e Tecnologia - 12.°
\[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x-\pi)}{x^2+x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x-\pi)-\sin(\pi)}{x(x+1)} = \lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{\sin(x-\pi)-\sin(\pi)}{x-0} \cdot \frac{1}{x+1}\right) = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x-\pi)-\sin(\pi)}{x-0} \]
Este último limite é a derivada de \( \sin(x-\pi)\) em 0, isto é, -1.
Para provar que é diferenciável, basta averiguar que g'(0^-)=g'(0^+), certo?
Certo, e como a função está definida por ramos temos que aplicar a definição de derivada a cada um dos ramos. O problema é que eu não consigo chegar ao valor correto para o primeiro ramo. Eles nas soluções dizem que a função é diferenciável em x=o, sendo g'(0)=-1
 

Rodrigo Martins

Membro Veterano
Matrícula
6 Março 2017
Mensagens
403
Curso
CT 12º Ano
Certo, e como a função está definida por ramos temos que aplicar a definição de derivada a cada um dos ramos. O problema é que eu não consigo chegar ao valor correto para o primeiro ramo. Eles nas soluções dizem que a função é diferenciável em x=o, sendo g'(0)=-1
Ui então eles devem estar errados. A derivada de uma constante é 0. Amanhã pergunto ao meu prof.
 

Alfa

#pdralfa 🌈
Equipa Uniarea
Moderador
Matrícula
2 Agosto 2015
Mensagens
7,975
Curso
Matemática
Instituição
FCUL
Muito obrigado @Alfa. Para além disso, como é que fazia o 14.2 para o primeiro ramo?
Tens de usar a definição de derivada lateral para cada um dos ramos, como disseste mais abaixo. Para o primeiro ramo, isto seria:
\[ \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} = \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{\sin(x-\pi)}{x^2+x}+1}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sin(x-\pi)+x^2+x}{x^3+x^2} . \]
Este limite não é fácil de calcular recorrendo apenas a matéria de secundário. Penso que é necessário fazer um enquadramento pouco usual (o mesmo tipo de enquadramento que se usa para provar que o limite de \(\sin(x)/x\) em 0 é 1). De onde veio este exercício?
 
  • Like
Reactions: Alexandre André

Alfa

#pdralfa 🌈
Equipa Uniarea
Moderador
Matrícula
2 Agosto 2015
Mensagens
7,975
Curso
Matemática
Instituição
FCUL
@Alfa Apenas curioso, sempre foste o génio a matemática que és agora? Ou foi, através de muito estudo ao longo de anos ? xd
Tudo requer trabalho, esforço e dedicação. Durante muito tempo, nem sequer liguei muito a Matemática, era só mais uma disciplina; gostava, mas não adorava. Só no 12.º ano é que comecei a ter mais interesse pelo assunto. Se pareço um "génio" é porque gosto muito de Matemática, gosto muito de falar sobre Matemática e passei os últimos anos a dedicar-me a isto, lendo muito, aprendendo muito, pensando muito. Nada disto seria possível se não gostasse de Matemática, claro.

Não acho que seja um génio; tenho se calhar uma visão mais alargada da Matemática obtida ao longo de muito tempo de estudo e esforço-me sempre por ser o mais claro possível. Mas isto tudo vem maioritariamente de treino e dedicação, como disse.
 

Alfa

#pdralfa 🌈
Equipa Uniarea
Moderador
Matrícula
2 Agosto 2015
Mensagens
7,975
Curso
Matemática
Instituição
FCUL
Este limite não é fácil de calcular recorrendo apenas a matéria de secundário. Penso que é necessário fazer um enquadramento pouco usual (o mesmo tipo de enquadramento que se usa para provar que o limite de sin(x)/x\sin(x)/x em 0 é 1).
Não gosto muito de deixar perguntas por responder só porque a resposta é "demasiado complicada" ou "não faz parte do programa". Para os mais interessados, deixo aqui uma resolução mais completa.

O ingrediente essencial é o seguinte facto: dado \( x\in ]0,\pi/2[\),
\[ \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 \ \ \ \ \ \ (\ast) \]
(Isto pode ser provado usando argumentos geométricos. Inclui uma demonstração deste tipo no fim desta mensagem para não fazer um desvio muito grande do objectivo principal.) Na realidade, \((\ast)\) é verdade também para \(x\in ]-\pi/2,0[\); dado um tal \(x\), podemos aplicar \((\ast)\) a \(-x\in ]0,\pi/2[\), obtendo
\[ \cos(-x) < \frac{\sin(-x)}{-x} < 1\ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 , \]
provando assim \((\ast)\) para \(x\in ]-\pi/2,0[\).

As desigualdades em \((\ast)\) podem ser usadas para provar que
\[ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \]
por enquadramento. A partir daqui, podemos calcular um outro limite importante:
\[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0 }\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x(1+\cos x)} = \lim_{x\rightarrow 0 }\frac{1-(\cos x)^2}{x(1+\cos x)} = \lim_{x\rightarrow 0 }\frac{(\sin x)^2}{x(1+\cos x)} = \lim_{x\rightarrow 0 }\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{1+\cos x} = 1\cdot 0=0.\]
Podemos agora calcular o limite
\[ \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\sin(x-\pi)+x^2+x}{x^3+x^2} .\]
Em primeiro lugar, note-se que \( \sin(x-\pi)=-\sin(x)\) (isto pode ser visto a partir do círculo trigonométrico ou usando a fórmula do seno da diferença de dois ângulos). Assim, o limite anterior é igual a
\[ \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x^2+x-\sin x}{x^3+x^2} = \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x\left(x+1-\frac{\sin x}{x}\right)}{x^3+x^2} = \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x+1-\frac{\sin x}{x}}{x^2+x} .\]
O enquadramento \((\ast)\) implica que
\[ -1<-\frac{\sin x}{x}<-\cos x . \]
Aplicando isto à expressão anterior, temos
\[ \frac{x+1-1}{x^2+x}<\frac{x+1-\frac{\sin x}{x}}{x^2+x}< \frac{x+1-\frac{\sin x}{x}}{x^2+x}< \frac{x+1-\cos x}{x^2+x} .\]
E agora é só calcular os limites das expressões que enquadram a expressão do limite pretendido:
\[ \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x+1-1}{x^2+x} =\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x+1}=1\]
e
\[ \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x+1-\cos x}{x^2+x}= \lim_{x\rightarrow 0^+} \left( \frac{1}{x+1}+\frac{1-\cos x}{x}\cdot \frac{1}{x+1} \right)= 1+0\times 1=1.\]
Logo, o limite pretendido é 1, pelo teorema do enquadramento.

***​

Demonstração de \((\ast)\):

Como disse acima, a demonstração de \((\ast)\) baseia-se em argumentos geométricos. Consideremos a seguinte figura:
IMG_20190129_171258.jpg
A área do triângulo [OAP] é menor que a área do sector circular correspondente ao ângulo x, que por sua vez é menor que a área do triângulo [OAQ].

A área do triângulo [OAP] é igual a \(\sin x/ 2\). A área do sector circular correspondente ao ângulo \(x\) é igual a \(x/2\). A área do triângulo [OAQ] é igual a \(\tan x/2\). Logo,
\[ \frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\tan x}{2} . \]
Multiplicando os membros destas desigualdades por \(2/\sin x\), obtemos
\[ 1< \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} . \]
Logo,
\[ \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 . \]
 
Última edição:

Estudante96

Membro Veterano
Matrícula
9 Novembro 2018
Mensagens
102
Antes de mais, é preciso notar que um vetor diretor de r é (3,-4, 0).
Como a reta r contém a altura do cone, verificamos que a reta r é perpendicular ao plano que contém a base do cone, sendo perpendicular a todas as retas contidas neste plano. Considerando que os pontos C e P pertencem à base do cone, a reta CP pertence ao plano que contém a base do cone, o que significa que esta reta é perpendicular a r. Desta forma, um vetor diretor de CP pode ser (0, 0, 4) e, como C pertence a esta reta, temos:

CP: (x, y, z) = (4,3,5) + k (0,0,4), sendo k um número real

O ponto P pertence ao plano xOy, tendo como coordenadas (x,y,0), e pertence à reta CP, pelo que:

(x,y,0) = (4,3,5) + k (0,0,4)
(x,y,0) = (4,3, 5+ 4k)
x= 4 /\ y= 3 /\ 0 = 5+4k
x=4 /\ y=3 /\ k=-(5/4)

As coordenadas de P são, então, (4,3,0)

Nota: Na realidade, o vetor diretor de CP pode ser o mesmo vetor diretor da reta que determinaste em 1.2, pois estas duas retas têm a mesma direção (são ambas perpendiculares a r!). Eu precisei daquele passo inicial porque não tinha feito a alíneas anteriores.
 

Estudante96

Membro Veterano
Matrícula
9 Novembro 2018
Mensagens
102
Boa tarde,
alguém me pode ajudar com este exercício?
Obrigado.
8.1

x^2 - 4x + y^2 - 4y + z^2 - 16z = 0
x^2 - 4x + 4 - 4 + y^2 - 4y + 4 - 4 + z^2 - 16z +64 - 64 = 0
(x - 2)^2 + (y-2)^2 + (z - 8)^2 - 4 - 4 - 64 = 0
(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-8)^2 = 72

V(2,2,8) e \[ r=\sqrt{72}=6\sqrt2 \]

8.2
A projeção ortogonal de V sobre a base da pirâmide é o ponto V' (2,2,0)
Como a pirâmide quadrangular é regular e os lados da base desta são paralelos aos eixos coordenados Ox e Oy temos que o lado do quadrado corresponde ao dobro da abcissa (ou ao dobro da ordenada) de V', isto é, o lado do quadrado que corresponde à base da pirâmide tem 4 unidades de lado. Com base no conhecimento desta medida (e no facto de A,B e C pertencerem à base da pirâmide, pertencendo ao plano xOy que pode ser definido pela condição z=0), podemos escrever que:
A (4,0,0)
B(4,4,0)
C(0,4,0)

8.3

Volume da pirâmide [ABCOV] = Área da base . altura = 4. 4 . 8 = 128
Volume da pirâmide [DEFGV] = (1/8) . Volume da pirâmide [ABCOV] = 128/8 = 16

Consideremos o lado da base da pirâmide menor por l e altura dessa pirâmide por h.

Volume da pirâmide [DEFGV] = Área da base . altura
16 = (l^2) . h

Pelo teorema de Tales, podes escrever: 8/2= h/ (l/2) <=> 8 . (l/2) = 2h <=> 2h = 4l <=> h=2l

Temos, então, um sistema de equações:
16= l^2 . h
h= 2l

Substituindo h=2l na primeira equação:
16=l^2 . 2l <=> 16=2l^3 <=> l^3 = 8 <=> l = 2
Recuperando a segunda equação: h= 2l = 2.2 = 4

De tudo isto concluímos que:
altura da pirâmide maior - altura da pirâmide menor = 8-4 = 4, pelo que todos os pontos da base da pirâmide [DEFGV] pertencem ao plano z=4.

Essa pirâmide tem como base um quadrado com 2 de lado e, como já tinhamos visto, a pirâmide maior tem como base um quadrado de lado 4, pelo que a diferença entre as abcissas (e a diferença entre as ordenadas) dos vêrtices correspondentes das bases das duas pirâmides em estudo será um valor x tal que 4 = 2 + 2x <=> x=1. Com base nisto podemos escrever:
D(3,1,4)
E(3,3,4)
F(1,3,4)
G(1,1,4)

@Nuno Carreira , Isto foi um exercício completo pelo que, se cometi algum erro pelo meio, peço desde já desculpa e alerta-me para o poder corrigir sff. Se quiseres que eu coloque um esquema a explicar de que forma apliquei o teorema de Tales e como descobri o valor de x diz que coloco sem problema, pois não tenho a certeza se é algo evidente para quem está a olhar apenas para a resolução que coloquei.
Aproveito ainda para dizer que, na última alínea, talvez seja possível resolver com base na razão de semelhança, pois consegues saber o valor dos volumes de ambas as pirâmides, mas, pronto, eu acabei por seguir esta linha de raciocínio.
 
  • Like
Reactions: David1154 and Alfa

Nuno Carreira

Membro
Matrícula
27 Julho 2015
Mensagens
99
8.1

x^2 - 4x + y^2 - 4y + z^2 - 16z = 0
x^2 - 4x + 4 - 4 + y^2 - 4y + 4 - 4 + z^2 - 16z +64 - 64 = 0
(x - 2)^2 + (y-2)^2 + (z - 8)^2 - 4 - 4 - 64 = 0
(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-8)^2 = 72

V(2,2,8) e \[ r=\sqrt{72}=6\sqrt2 \]

8.2
A projeção ortogonal de V sobre a base da pirâmide é o ponto V' (2,2,0)
Como a pirâmide quadrangular é regular e os lados da base desta são paralelos aos eixos coordenados Ox e Oy temos que o lado do quadrado corresponde ao dobro da abcissa (ou ao dobro da ordenada) de V', isto é, o lado do quadrado que corresponde à base da pirâmide tem 4 unidades de lado. Com base no conhecimento desta medida (e no facto de A,B e C pertencerem à base da pirâmide, pertencendo ao plano xOy que pode ser definido pela condição z=0), podemos escrever que:
A (4,0,0)
B(4,4,0)
C(0,4,0)

8.3

Volume da pirâmide [ABCOV] = Área da base . altura = 4. 4 . 8 = 128
Volume da pirâmide [DEFGV] = (1/8) . Volume da pirâmide [ABCOV] = 128/8 = 16

Consideremos o lado da base da pirâmide menor por l e altura dessa pirâmide por h.

Volume da pirâmide [DEFGV] = Área da base . altura
16 = (l^2) . h

Pelo teorema de Tales, podes escrever: 8/2= h/ (l/2) <=> 8 . (l/2) = 2h <=> 2h = 4l <=> h=2l

Temos, então, um sistema de equações:
16= l^2 . h
h= 2l

Substituindo h=2l na primeira equação:
16=l^2 . 2l <=> 16=2l^3 <=> l^3 = 8 <=> l = 2
Recuperando a segunda equação: h= 2l = 2.2 = 4

De tudo isto concluímos que:
altura da pirâmide maior - altura da pirâmide menor = 8-4 = 4, pelo que todos os pontos da base da pirâmide [DEFGV] pertencem ao plano z=4.

Essa pirâmide tem como base um quadrado com 2 de lado e, como já tinhamos visto, a pirâmide maior tem como base um quadrado de lado 4, pelo que a diferença entre as abcissas (e a diferença entre as ordenadas) dos vêrtices correspondentes das bases das duas pirâmides em estudo será um valor x tal que 4 = 2 + 2x <=> x=1. Com base nisto podemos escrever:
D(3,1,4)
E(3,3,4)
F(1,3,4)
G(1,1,4)

@Nuno Carreira , Isto foi um exercício completo pelo que, se cometi algum erro pelo meio, peço desde já desculpa e alerta-me para o poder corrigir sff. Se quiseres que eu coloque um esquema a explicar de que forma apliquei o teorema de Tales e como descobri o valor de x diz que coloco sem problema, pois não tenho a certeza se é algo evidente para quem está a olhar apenas para a resolução que coloquei.
Aproveito ainda para dizer que, na última alínea, talvez seja possível resolver com base na razão de semelhança, pois consegues saber o valor dos volumes de ambas as pirâmides, mas, pronto, eu acabei por seguir esta linha de raciocínio.
Obrigado por me teres resolvido o exercício e teres explicado o teu raciocínio, no entanto poderias colocar o esquema como aplicaste o teorema de tales e como chegaste ao valor de x=1?
Como é que chegaste aos valores que eu coloquei a negrito?
 

Estudante96

Membro Veterano
Matrícula
9 Novembro 2018
Mensagens
102
Obrigado por me teres resolvido o exercício e teres explicado o teu raciocínio, no entanto poderias colocar o esquema como aplicaste o teorema de tales e como chegaste ao valor de x=1?
Como é que chegaste aos valores que eu coloquei a negrito?
Relativamente ao teorema de Tales, com base na figura que apresentei acho que não haverá muito mais para esclarecer, pois basicamente apliquei o que o teorema de Tales enuncia à situação referida.
Relativamente ao "valor de x", o que eu representei na figura refere-se ao que ocorre numa das faces laterais da pirâmide, mas verifica-se exatamente a mesma coisa nas restantes faces laterais. Atendendo a que cada vértice da base da pirâmide maior "corresponde" a um vértice da base da pirâmide menor (isto é, A corresponde a D , B corresponde a E e por aí fora...) e sabendo o valor de x, tu consegues determinar a abcissa e a ordenada dos vértices da base da pirâmide menor, pois essas coordenadas terão mais uma unidade ou menos uma unidade (pois o valor de x é uma unidade!) do que a mesma coordenada no vértice correspondente da base da pirâmide maior (se tens de adicionar 1 unidade ou se tens de subtrair uma unidade, por exemplo, à abcissa de A para obter a abcissa de D é algo que tens de interpretar geometricamente ao olhar para a representação da pirâmide, ocorrendo exatamente o mesmo para ordenada).
Analisa esta "explicação" adicional juntamente com a resolução que coloquei na outra mensagem!

Relativamente à primeira alínea, o que eu fiz foi adicionar (e depois subtrair, para manter a igualdade da equação) um número que me iria dar jeito para conseguir, depois, incluir na expressão o quadrado de um binómio (um caso notável da multiplicação). E fiz isto porque, seja no plano seja no espaço, a circunferência/círculo e a superfície esférica/esfera têm uma forma típica de estar escritas e devemos, sempre que possível, tentar escrever as condições que definem esses conjuntos de pontos na forma típica para que seja possível retirar imediatamente as coordenadas do centro e o raio.
Isto que escrevi é especialmente verdade quando encontras expressões que, além de termos com variável em x^2 e y^2, têm também termos com variável em x e em y, o que nos faz lembrar logo uma expressão que pode bem ser um quadrado do binómio já desenvolvido.
Recorrendo a um exemplo e só com uma variável, depois facilmente consegues perceber como procedi na primeira alínea:

Se tivermos x^2 + 10x = 0 e quisermos escrever o primeiro membro como um quadrado de um binómio podemos fazer o seguinte:
x^2 + 10x + 25 - 25=0 <=> (x+5)^2 -25 = 0 <=> (x+5)^2= 25
Truque rápido: Para saberes rapidamente que número tens de adicionar e que número tens de subtrair (tens de fazer ambas as coisas para manter a igualdade da equação!!!!!), basicamente divide o coeficiente do termo em x por 2 e tens de adicionar e substrair o quadrado do resultado desta divisão à expressão. O valor que vai fazer parte do binómio (juntamente com o x) é o resultado da divisão referida (antes de teres elevado ao quadrado!!!). Aconselho SEMPRE a desenvolveres mentalmente o quadrado do binómio que escreveste para ver se chegas à expressão que tinhas antes! Este truque pode ser percebido ao fazer umas manipulações com o caso notável (a+b)^2= a^2 + 2ab + b^2

Espero que tenha sido suficientemente claro e, quando e se tiveres as soluções, confirma se bate tudo certo e não cometi nenhum erro sff

EDIT: Reparei agora que parece que o fim da página ficou um pouco cortado:
Na página com o teorema de Tales, basicamente vou simplificando a expressão até chegar à equação final, a qual não foi cortada.
Na página com o "valor de x", o que ficou cortado era a indicação do comprimento do segmento de reta AB, o qual mede 4 unidades.
 

Attachments

Última edição:
  • Like
Reactions: David1154 and Alfa

Alfa

#pdralfa 🌈
Equipa Uniarea
Moderador
Matrícula
2 Agosto 2015
Mensagens
7,975
Curso
Matemática
Instituição
FCUL
Olá! As soluções estão mal. Não tem derivada nesse ponto.
Tem sim, \(g'(0)=1\).

Quanto à derivada lateral direita, vê as minhas mensagens anteriores sobre o assunto; é aquele limite difícil que calculei e deu 1. A derivada lateral esquerda é mais fácil de calcular e dá também 1.
 
  • Like
Reactions: Rodrigo Martins