Matemática A - Dúvidas e Exercícios

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Olá, preciso de ajuda no seguinte limite:
lim x-> +00 ((e^x)/(x-1)/x)
lim x-> +oo [ [e^x] / [ (x-1)/x] ]
(dividindo numerador e denominador por x)
lim x-> +oo [ [ (e^x)/x] / [(x-1)/(x^2)] ]
lim x-> +oo [ (e^x)/x] / lim x->+oo [ (x-1)/(x^2)]
[ +oo ] / lim x->+oo [ x/(x^2) ]
[ +oo ] / lim x->+oo [ 1/x ]
[ +oo ] / [ 1/+oo]
[+oo]/ [ 0 ] (note-se que trata-se de um "zero mais")
+oo

Espero ter percebido bem o limite e não ter cometido nenhum erro na resolução!
 
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lim x-> +oo [ [e^x] / [ (x-1)/x] ]
(dividindo numerador e denominador por x)
lim x-> +oo [ [ (e^x)/x] / [(x-1)/(x^2)] ]
lim x-> +oo [ (e^x)/x] / lim x->+oo [ (x-1)/(x^2)]
[ +oo ] / lim x->+oo [ x/(x^2) ]
[ +oo ] / lim x->+oo [ 1/x ]
[ +oo ] / [ 1/+oo]
[+oo]/ [ 0 ] (note-se que trata-se de um "zero mais")
+oo

Espero ter percebido bem o limite e não ter cometido nenhum erro na resolução!
Vou questionar isto, porque não sei se é equivalente ou não. O lim é f(x)/x, em que f(x)= e^x/x-1, e como juntaste o x-1 com o x, não sei se dá o mesmo. Eu tentei dividir por x, mas depois no numerador ficava sempre com o x-1, ou seja, com indeterminação de 00/00.
P.S: Desculpa, podia ter posto logo a info do f(x)/x 😅
EDIT: a solução é +00
 

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Vou questionar isto, porque não sei se é equivalente ou não. O lim é f(x)/x, em que f(x)= e^x/x-1, e como juntaste o x-1 com o x, não sei se dá o mesmo. Eu tentei dividir por x, mas depois no numerador ficava sempre com o x-1, ou seja, com indeterminação de 00/00.
P.S: Desculpa, podia ter posto logo a info do f(x)/x 😅
EDIT: a solução é +00
Não é o mesmo, acho que tu até escreveste corretamente o limite, mas eu pensei que quisesses dizer outra coisa! Vou tentar resolver esse xD
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Vou questionar isto, porque não sei se é equivalente ou não. O lim é f(x)/x, em que f(x)= e^x/x-1, e como juntaste o x-1 com o x, não sei se dá o mesmo. Eu tentei dividir por x, mas depois no numerador ficava sempre com o x-1, ou seja, com indeterminação de 00/00.
P.S: Desculpa, podia ter posto logo a info do f(x)/x 😅
EDIT: a solução é +00
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2 - x]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2]
lim x->+oo [ (e^x) / (x^2) ]
+oo

A única forma que me consegui lembrar para levantar a indeterminação foi esta, mas não tenho a certeza absoluta se estará realmente correto assim (estou um bocado enferrujado nisto xD). Pedia, então, ao @Alfa que, quando pudesse, verificasse se aquilo que fiz nas linhas 5, 6 e 7 da resolução é possivel sff.
 
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Não é o mesmo, acho que tu até escreveste corretamente o limite, mas eu pensei que quisesses dizer outra coisa! Vou tentar resolver esse xD
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lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2 - x]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2]
lim x->+oo [ (e^x) / (x^2) ]
+oo

A única forma que me consegui lembrar para levantar a indeterminação foi esta, mas não tenho a certeza absoluta se estará realmente correto assim (estou um bocado enferrujado nisto xD). Pedia, então, ao @Alfa que, quando pudesse, verificasse se aquilo que fiz nas linhas 5, 6 e 7 da resolução é possivel sff.
Eu tinha feito até à parte 4, apartir daí ja não percebi xD Como é que o -x desaparece? Já agora, eu até tentei multiplicar pelo conjugado, mas não me deu nada de jeito xD
 

Alfa

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Não é o mesmo, acho que tu até escreveste corretamente o limite, mas eu pensei que quisesses dizer outra coisa! Vou tentar resolver esse xD
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lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2 - x]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2]
lim x->+oo [ (e^x) / (x^2) ]
+oo

A única forma que me consegui lembrar para levantar a indeterminação foi esta, mas não tenho a certeza absoluta se estará realmente correto assim (estou um bocado enferrujado nisto xD). Pedia, então, ao @Alfa que, quando pudesse, verificasse se aquilo que fiz nas linhas 5, 6 e 7 da resolução é possivel sff.
Eu não faria isso. A melhor forma é usar a estratégia frequentemente eficaz de pôr em evidência o termo de maior grau no denominador.
 

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Eu tinha feito até à parte 4, apartir daí ja não percebi xD Como é que o -x desaparece? Já agora, eu até tentei multiplicar pelo conjugado, mas não me deu nada de jeito xD
Eu não faria isso. A melhor forma é usar a estratégia frequentemente eficaz de pôr em evidência o termo de maior grau no denominador.
@David1154 , Basicamente separei o limite para poder ficar, atendendo a que x está a tender para mais infinito, só com o termo de maior grau do polinómio (e depois voltei a juntar os limites), mas a estratégia do @Alfa também me parece melhor, simplesmente não me ocorreu quando estava a resolver xD

Obrigado, @Alfa !
 
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@David1154 , Basicamente separei o limite para poder ficar, atendendo a que x está a tender para mais infinito, só com o termo de maior grau (e depois voltei a juntar os limites), mas a estratégia do @Alfa também me parece melhor, simplesmente não me ocorreu quando estava a resolver xD

Obrigado, @Alfa !
A questão é que não podes separar o limite. O facto de ser uma indeterminação é precisamente sinónimo de a regra habitual de cálculo não ser aplicável. O quociente de infinitos não tem significado. Para além disso, a substituição de uma expressão num limite por outra que tenha limite igual nem sempre está correcta, daí que seja uma manobra perigosa.
 

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Segundo a estratégia do alfa, como é que ficaria?🧐
A estratégia do Alfa, se percebi bem, era isto:
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
(colocando o x^2 em evidência no denominador)
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 ( 1 - (1/x))] ]
lim x->+oo [ [ (e^x) / x^2 ] . [ 1 / ( 1 - (1/x)) ] ]
lim x->+oo [ (e^x)/ x^2 ] . lim x->+oo [ 1/ ( 1- (1/x))]
[+oo] . [ 1/ (1 - (1/+00)]
+oo . [1/ (1-0)]
+oo . [1/1]
+oo.1
+oo

A questão é que não podes separar o limite. O facto de ser uma indeterminação é precisamente sinónimo de a regra habitual de cálculo não ser aplicável. O quociente de infinitos não tem significado. Para além disso, a substituição de uma expressão num limite por outra que tenha limite igual nem sempre está correcta, daí que seja uma manobra perigosa.
Percebo. Estava só a responder à pergunta de qual tinha sido o meu raciocínio, pois, mal vi a tua sugestão, pareceu-me logo o caminho correto. Aliás, a prova de que não achei a minha resolução inicial satisfatória é o facto de te ter identificado 😝
 
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A estratégia do Alfa, se percebi bem, era isto:
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
(colocando o x^2 em evidência no denominador)
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 ( 1 - (1/x))]
lim x->+oo [ [ (e^x) / x^2 ] . [ 1 / ( 1 - (1/x)) ] ]
lim x->+oo [ (e^x)/ x^2 ] . lim x->+oo [ 1/ ( 1- (1/x))]
[+oo] . [ 1/ (1 - (1/+00)]
+oo . [1/ (1-0)]
+oo . [1/1]
+oo.1
+oo



Percebo. Estava só a responder à pergunta de qual tinha sido o meu raciocínio, pois, mal vi a tua sugestão, pareceu-me logo o caminho correto. Aliás, a prova que não achei a minha resolução inicial satisfatória é o facto de te ter identificado 😝
Percebi!! Muito obrigado! 😄
 
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A estratégia do Alfa, se percebi bem, era isto:
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
(colocando o x^2 em evidência no denominador)
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 ( 1 - (1/x))]
lim x->+oo [ [ (e^x) / x^2 ] . [ 1 / ( 1 - (1/x)) ] ]
lim x->+oo [ (e^x)/ x^2 ] . lim x->+oo [ 1/ ( 1- (1/x))]
[+oo] . [ 1/ (1 - (1/+00)]
+oo . [1/ (1-0)]
+oo . [1/1]
+oo.1
+oo
Exacto.

Percebo. Estava só a responder à pergunta de qual tinha sido o meu raciocínio, pois, mal vi a tua sugestão, pareceu-me logo o caminho correto. Aliás, a prova que não achei a minha resolução inicial satisfatória é o facto de te ter identificado 😝
A capacidade de "sentir" quando alguma coisa não está bem é bastante importante em Matemática. Se não conseguimos convencer-nos a nós mesmos...
 

David1154

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Bom dia, nova dúvida:
"Seja f a função definida por f(x)=x^2 + 3.
Determina as coordenadas do ponto do gráfico de f mais próximo do ponto de coordenadas (3,3)."
 

Alfa

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Bom dia, nova dúvida:
"Seja f a função definida por f(x)=x^2 + 3.
Determina as coordenadas do ponto do gráfico de f mais próximo do ponto de coordenadas (3,3)."
Um ponto genérico do gráfico de f tem a forma (x,x^2+3), com x real. A distância de um tal ponto ao ponto (3,3) é dada por
[(x-3)^2 + (x^2+3-3)^2 ]^(1/2) = ( x^4 + x^2 - 6x + 9 )^(1/2).​
(Escrevi a raiz como uma potência de expoente 1/2 apenas porque não temos fórmulas.) Pretendemos minimizar esta distância, o que consiste em derivar a expressão anterior e determinar o seu mínimo.

A derivada da expressão anterior é
(1/2)(x^4 + x^2 - 6x + 9)^(-1/2)(4x^3 + 2x - 6),​
que é igual a zero se e só se 4x^3 + 2x - 6 = 0. Com algum poder de observação constatamos que 1 é um zero deste polinómio, o que nos permite factorizá-lo como
4x^3 + 2x - 6 = (x - 1)(4x^2 + 4x + 6).​
O polinómio 4x^2 + 4x + 6 não tem raízes, pelo que o único zero da derivada é 1. Um estudo do sinal da derivada permite concluir que 1 é um minimizante da função dada por ( x^4 + x^2 - 6x + 9 )^(1/2).

Assim, o ponto do gráfico de f mais próximo de (3,3) é o ponto de abcissa 1, isto é, o ponto (1,4).
 

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Um ponto genérico do gráfico de f tem a forma (x,x^2+3), com x real. A distância de um tal ponto ao ponto (3,3) é dada por
[(x-3)^2 + (x^2+3-3)^2 ]^(1/2) = ( x^4 + x^2 - 6x + 9 )^(1/2).​
(Escrevi a raiz como uma potência de expoente 1/2 apenas porque não temos fórmulas.) Pretendemos minimizar esta distância, o que consiste em derivar a expressão anterior e determinar o seu mínimo.

A derivada da expressão anterior é
(1/2)(x^4 + x^2 - 6x + 9)^(-1/2)(4x^3 + 2x - 6),​
que é igual a zero se e só se 4x^3 + 2x - 6 = 0. Com algum poder de observação constatamos que 1 é um zero deste polinómio, o que nos permite factorizá-lo como
4x^3 + 2x - 6 = (x - 1)(4x^2 + 4x + 6).​
O polinómio 4x^2 + 4x + 6 não tem raízes, pelo que o único zero da derivada é 1. Um estudo do sinal da derivada permite concluir que 1 é um minimizante da função dada por ( x^4 + x^2 - 6x + 9 )^(1/2).

Assim, o ponto do gráfico de f mais próximo de (3,3) é o ponto de abcissa 1, isto é, o ponto (1,4).
Muito Obrigado @Alfa ! :D
 
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Olá!
Alguém pode ajudar?
O código de um cofre é uma sequência de 2 algarismos e 3 letras(seja o alfabeto com 26 letras). Quantos códigos é possível formar se:
a) se os algarismos são diferentes e as letras vogais?
b) se os algarismos são iguais e as letras diferentes?

Por favor, respondam! ☺
 
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David1154

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Olá!
Alguém pode ajudar?
O código de um cofre é uma sequência de 2 algarismos e 3 letras(seja o alfabeto com 26 letras). Quantos códigos é possível formar se:
a) se os algarismos são diferentes e as letras vogais?
b) se os algarismos são iguais e as letras diferentes?

Por favor, respondam! ☺
O que me deu, foi:
a) 9x10x5x5x 5 10x9 corresponde a escolher 2 algarismos diferentes, e 5^3 corresponde a escolher 5 vogais
b)10x1x26x25x24 corresponde a escolher 1 algarismo dos 10, e x1 porque o algarismo tem de ser igual. Depois 26x25x24 corresponde aos 3 algarismos dos 26, sendo que têm de ser diferentes
 
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Olá!
Alguém pode ajudar?
O código de um cofre é uma sequência de 2 algarismos e 3 letras(seja o alfabeto com 26 letras). Quantos códigos é possível formar se:
a) se os algarismos são diferentes e as letras vogais?
b) se os algarismos são iguais e as letras diferentes?

Por favor, respondam! ☺
O que me deu, foi:
a) 9x10x5x5x 5 10x9 corresponde a escolher 2 algarismos diferentes, e 5^3 corresponde a escolher 5 vogais
b)10x1x26x25x24 corresponde a escolher 1 algarismo dos 10, e x1 porque o algarismo tem de ser igual. Depois 26x25x24 corresponde aos 3 algarismos dos 26, sendo que têm de ser diferentes
@David1154 , no enunciado, ao que me parece, não há restrição relativamente à ordem pela qual os algarismos e as letras ocorrem, pelo que aparecerem primeiro os 2 algarismos e depois as 3 letras é só um dos cenários possíveis, há muitos outros que têm de ser contabilizados (primeiro as letras e depois os algarismos, letras e algarismos alternados, etc...)

@David Lopes eu julgo que será assim:

a) 10x9x5x5x5x[5 C 3]
b) 10x1x26x25x24x[5 C 3]

No último fator de ambos os exercícios recorri a combinações para incluir no meu cálculo os diferentes cenários possíveis para o código do cofre no que diz respeito à posição dos algarismos e das letras na sequência. Espero não me ter enganado e, se tiveres a solução, confirma sff!
 

Alexandre André

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N sei se ainda precisas mas fiz assim:
Ver anexo 6896
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WTF, eu não tenho nenhuma expressão deste género no meu manual (novo espaço)... e já acabámos as exponenciais... o stôr também nunca nos mostrou nada do género. estou bue à nora... será que isto sai no exame @Alfa ? Estas expressões com uma base diferente de e, elevadas a n dentro do limite... (?????) e limites elevados a limites (nunca vi tal coisa), só me apetece chorar com os ex's que vcs metem aqui de exponenciais... estava tao confiante para o teste, mas vim dar um vista de olhos aqui e o decrescimento da confiança foi exponencial 😂
 
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WTF, eu não tenho nenhuma expressão deste género no meu manual (novo espaço)... e já acabámos as exponenciais... o stôr também nunca nos mostrou nada do género. estou bue à nora... será que isto sai no exame @Alfa ? Estas expressões com uma base diferente de e, elevadas a n dentro do limite... (?????) e limites elevados a limites (nunca vi tal coisa), só me apetece chorar com os ex's que vcs metem aqui de exponenciais... estava tao confiante para o teste, mas vim dar um vista de olhos aqui e o decrescimento da confiança foi exponencial 😂
É normal que os exercícios que aqui são colocados sejam mais difíceis, são esses que suscitam dúvidas. Claro que esse grau de dificuldade não é necessariamente representativo do de um teste de um professor particular ou de um exame.
 

David1154

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@David1154 , no enunciado, ao que me parece, não há restrição relativamente à ordem pela qual os algarismos e as letras ocorrem, pelo que aparecerem primeiro os 2 algarismos e depois as 3 letras é só um dos cenários possíveis, há muitos outros que têm de ser contabilizados (primeiro as letras e depois os algarismos, letras e algarismos alternados, etc...)

@David Lopes eu julgo que será assim:

a) 10x9x5x5x5x[5 C 3]
b) 10x1x26x25x24x[5 C 3]

No último fator de ambos os exercícios recorri a combinações para incluir no meu cálculo os diferentes cenários possíveis para o código do cofre no que diz respeito à posição dos algarismos e das letras na sequência. Espero não me ter enganado e, se tiveres a solução, confirma sff!
Tive essa dúvida na hora de resolver 😅 Mas depois acabei por optar por não contabilizar as trocas. Obrigado :)