Matemática A - Dúvidas e Exercícios

[Ana Noronha]

Podemos estar todos errados, mas é possível o exercício ter um erro qualquer na expressão do 1º ramo.. Ao menos, como é escolha múltipla, sabemos a resposta, pois a resolução do @Bremer Pereira e as opções de resposta apenas permitem que seja a opção B xD

EDIT: Aliás, se o k da potência for x, bate tudo certo quando consideras k=2 !

Pois, é que eu fiz igual ao @Bremer Pereira e com a primeira expressão acho que há erro. Nas soluções fazem limite e substituem o k, quando devia ser no x, que na expressão não está... Agora, não sei se é erro do livro ou... não sei!

 

[Sérgio S]

Muito obrigado Bremer! As minhas contas estavam uma confusão. Valeu muito a ajuda .
Um abraço.

 

[David1154]

Help!
"Prove que, para qualquer função quadrática g, existe um e um só ponto do gráfico onde a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares."

 

[Estudante96]

Help!
"Prove que, para qualquer função quadrática g, existe um e um só ponto do gráfico onde a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares."

Uma função quadrática g é uma função do tipo g(x)=ax^2 + bx + c , sendo a,b e c números reais. A derivada desta função será g'(x)=2ax + b e a bissetriz dos quadrantes ímpares corresponde à reta de equação y=x, sendo o seu declive m=1.
Atendendo a que a derivada de uma função num ponto corresponde, geometricamente, ao declive da reta tangente a essa função no ponto referido, ao resolver a equação g'(x)= 1 vamos determinar as abcissas dos pontos da função g nos quais a reta tangente à função referida (nesses pontos) tem como declive o declive da bissetriz dos quadrantes ímpares (isto é, as retas tangentes em questão são paralelas à bissetriz dos quadrantes ímpares).

g'(x)=1
2ax+b=1
2ax= 1-b
x= (1-b)/ 2a
Como a e b são números reais, o quociente obtido corresponde a um número real, existindo um e um só ponto de uma qualquer função quadrática g onde a reta tangente ao gráfico desta função referida é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares (sendo esse ponto o ponto da função g que tem de abcissa (1-b)/2a), tal como queríamos provar.

 

[David1154]

Uma função quadrática g é uma função do tipo g(x)=ax^2 + bx + c , sendo a,b e c números reais. A derivada desta função será g'(x)=2ax + b e a bissetriz dos quadrantes ímpares corresponde à reta de equação y=x, sendo o seu declive m=1.
Atendendo a que a derivada de uma função num ponto corresponde, geometricamente, ao declive da reta tangente a essa função no ponto referido, ao resolver a equação g'(x)= 1 vamos determinar as abcissas dos pontos da função g nos quais a reta tangente à função referida (nesses pontos) tem como declive o declive da bissetriz dos quadrantes ímpares (isto é, as retas tangentes em questão são paralelas à bissetriz dos quadrantes ímpares).

g'(x)=1
2ax+b=1
2ax= 1-b
x= (1-b)/ 2a
Como a e b são números reais, o quociente obtido corresponde a um número real, existindo um e um só ponto de uma qualquer função quadrática g onde a reta tangente ao gráfico desta função referida é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares (sendo esse ponto o ponto da função g que tem de abcissa (1-b)/2a), tal como queríamos provar.

Muito bem explicado, mais uma vez! Muito obrigado!

 

[David1154]

Olá, preciso de ajuda no seguinte limite:
lim x-> +00 ((e^x)/(x-1)/x)

 

[Estudante96]

Olá, preciso de ajuda no seguinte limite:
lim x-> +00 ((e^x)/(x-1)/x)

lim x-> +oo [ [e^x] / [ (x-1)/x] ]
(dividindo numerador e denominador por x)
lim x-> +oo [ [ (e^x)/x] / [(x-1)/(x^2)] ]
lim x-> +oo [ (e^x)/x] / lim x->+oo [ (x-1)/(x^2)]
[ +oo ] / lim x->+oo [ x/(x^2) ]
[ +oo ] / lim x->+oo [ 1/x ]
[ +oo ] / [ 1/+oo]
[+oo]/ [ 0 ] (note-se que trata-se de um "zero mais")
+oo

Espero ter percebido bem o limite e não ter cometido nenhum erro na resolução!

 

[David1154]

lim x-> +oo [ [e^x] / [ (x-1)/x] ]
(dividindo numerador e denominador por x)
lim x-> +oo [ [ (e^x)/x] / [(x-1)/(x^2)] ]
lim x-> +oo [ (e^x)/x] / lim x->+oo [ (x-1)/(x^2)]
[ +oo ] / lim x->+oo [ x/(x^2) ]
[ +oo ] / lim x->+oo [ 1/x ]
[ +oo ] / [ 1/+oo]
[+oo]/ [ 0 ] (note-se que trata-se de um "zero mais")
+oo

Espero ter percebido bem o limite e não ter cometido nenhum erro na resolução!

Vou questionar isto, porque não sei se é equivalente ou não. O lim é f(x)/x, em que f(x)= e^x/x-1, e como juntaste o x-1 com o x, não sei se dá o mesmo. Eu tentei dividir por x, mas depois no numerador ficava sempre com o x-1, ou seja, com indeterminação de 00/00.
P.S: Desculpa, podia ter posto logo a info do f(x)/x
EDIT: a solução é +00

 

[Estudante96]

Vou questionar isto, porque não sei se é equivalente ou não. O lim é f(x)/x, em que f(x)= e^x/x-1, e como juntaste o x-1 com o x, não sei se dá o mesmo. Eu tentei dividir por x, mas depois no numerador ficava sempre com o x-1, ou seja, com indeterminação de 00/00.
P.S: Desculpa, podia ter posto logo a info do f(x)/x
EDIT: a solução é +00

Não é o mesmo, acho que tu até escreveste corretamente o limite, mas eu pensei que quisesses dizer outra coisa! Vou tentar resolver esse xD

Mensagem fundida automaticamente: 15 Fevereiro 2019

Vou questionar isto, porque não sei se é equivalente ou não. O lim é f(x)/x, em que f(x)= e^x/x-1, e como juntaste o x-1 com o x, não sei se dá o mesmo. Eu tentei dividir por x, mas depois no numerador ficava sempre com o x-1, ou seja, com indeterminação de 00/00.
P.S: Desculpa, podia ter posto logo a info do f(x)/x
EDIT: a solução é +00

lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2 - x]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2]
lim x->+oo [ (e^x) / (x^2) ]
+oo

A única forma que me consegui lembrar para levantar a indeterminação foi esta, mas não tenho a certeza absoluta se estará realmente correto assim (estou um bocado enferrujado nisto xD). Pedia, então, ao @Alfa que, quando pudesse, verificasse se aquilo que fiz nas linhas 5, 6 e 7 da resolução é possivel sff.

 

[David1154]

Não é o mesmo, acho que tu até escreveste corretamente o limite, mas eu pensei que quisesses dizer outra coisa! Vou tentar resolver esse xD

Mensagem fundida automaticamente: 15 Fevereiro 2019

lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2 - x]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2]
lim x->+oo [ (e^x) / (x^2) ]
+oo

A única forma que me consegui lembrar para levantar a indeterminação foi esta, mas não tenho a certeza absoluta se estará realmente correto assim (estou um bocado enferrujado nisto xD). Pedia, então, ao @Alfa que, quando pudesse, verificasse se aquilo que fiz nas linhas 5, 6 e 7 da resolução é possivel sff.

Eu tinha feito até à parte 4, apartir daí ja não percebi xD Como é que o -x desaparece? Já agora, eu até tentei multiplicar pelo conjugado, mas não me deu nada de jeito xD

 

[Alfa]

Não é o mesmo, acho que tu até escreveste corretamente o limite, mas eu pensei que quisesses dizer outra coisa! Vou tentar resolver esse xD

Mensagem fundida automaticamente: 15 Fevereiro 2019

lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2 - x]
lim x->+oo [e^x] / lim x->+oo [x^2]
lim x->+oo [ (e^x) / (x^2) ]
+oo

A única forma que me consegui lembrar para levantar a indeterminação foi esta, mas não tenho a certeza absoluta se estará realmente correto assim (estou um bocado enferrujado nisto xD). Pedia, então, ao @Alfa que, quando pudesse, verificasse se aquilo que fiz nas linhas 5, 6 e 7 da resolução é possivel sff.

Eu não faria isso. A melhor forma é usar a estratégia frequentemente eficaz de pôr em evidência o termo de maior grau no denominador.

 

[Estudante96]

Eu tinha feito até à parte 4, apartir daí ja não percebi xD Como é que o -x desaparece? Já agora, eu até tentei multiplicar pelo conjugado, mas não me deu nada de jeito xD

Eu não faria isso. A melhor forma é usar a estratégia frequentemente eficaz de pôr em evidência o termo de maior grau no denominador.

@David1154 , Basicamente separei o limite para poder ficar, atendendo a que x está a tender para mais infinito, só com o termo de maior grau do polinómio (e depois voltei a juntar os limites), mas a estratégia do @Alfa também me parece melhor, simplesmente não me ocorreu quando estava a resolver xD

Obrigado, @Alfa !

 

[David1154]

@David1154 , Basicamente separei o limite para poder ficar, atendendo a que x está a tender para mais infinito, só com o termo de maior grau (e depois voltei a juntar os limites), mas a estratégia do @Alfa também me parece melhor, simplesmente não me ocorreu quando estava a resolver xD

Obrigado, @Alfa !

Segundo a estratégia do alfa, como é que ficaria?

 

[Alfa]

@David1154 , Basicamente separei o limite para poder ficar, atendendo a que x está a tender para mais infinito, só com o termo de maior grau (e depois voltei a juntar os limites), mas a estratégia do @Alfa também me parece melhor, simplesmente não me ocorreu quando estava a resolver xD

Obrigado, @Alfa !

A questão é que não podes separar o limite. O facto de ser uma indeterminação é precisamente sinónimo de a regra habitual de cálculo não ser aplicável. O quociente de infinitos não tem significado. Para além disso, a substituição de uma expressão num limite por outra que tenha limite igual nem sempre está correcta, daí que seja uma manobra perigosa.

 

[Estudante96]

Segundo a estratégia do alfa, como é que ficaria?

A estratégia do Alfa, se percebi bem, era isto:
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
(colocando o x^2 em evidência no denominador)
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 ( 1 - (1/x))] ]
lim x->+oo [ [ (e^x) / x^2 ] . [ 1 / ( 1 - (1/x)) ] ]
lim x->+oo [ (e^x)/ x^2 ] . lim x->+oo [ 1/ ( 1- (1/x))]
[+oo] . [ 1/ (1 - (1/+00)]
+oo . [1/ (1-0)]
+oo . [1/1]
+oo.1
+oo

A questão é que não podes separar o limite. O facto de ser uma indeterminação é precisamente sinónimo de a regra habitual de cálculo não ser aplicável. O quociente de infinitos não tem significado. Para além disso, a substituição de uma expressão num limite por outra que tenha limite igual nem sempre está correcta, daí que seja uma manobra perigosa.

Percebo. Estava só a responder à pergunta de qual tinha sido o meu raciocínio, pois, mal vi a tua sugestão, pareceu-me logo o caminho correto. Aliás, a prova de que não achei a minha resolução inicial satisfatória é o facto de te ter identificado

 

[David1154]

A estratégia do Alfa, se percebi bem, era isto:
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
(colocando o x^2 em evidência no denominador)
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 ( 1 - (1/x))]
lim x->+oo [ [ (e^x) / x^2 ] . [ 1 / ( 1 - (1/x)) ] ]
lim x->+oo [ (e^x)/ x^2 ] . lim x->+oo [ 1/ ( 1- (1/x))]
[+oo] . [ 1/ (1 - (1/+00)]
+oo . [1/ (1-0)]
+oo . [1/1]
+oo.1
+oo



Percebo. Estava só a responder à pergunta de qual tinha sido o meu raciocínio, pois, mal vi a tua sugestão, pareceu-me logo o caminho correto. Aliás, a prova que não achei a minha resolução inicial satisfatória é o facto de te ter identificado

Percebi!! Muito obrigado!

 

[Alfa]

A estratégia do Alfa, se percebi bem, era isto:
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1) ] / [ x ] ]
lim x->+oo [ [ (e^x)/ (x-1)] / [ x/1] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ (x-1).x ] ]
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 - x ] ]
(colocando o x^2 em evidência no denominador)
lim x->+oo [ [e^x] / [ x^2 ( 1 - (1/x))]
lim x->+oo [ [ (e^x) / x^2 ] . [ 1 / ( 1 - (1/x)) ] ]
lim x->+oo [ (e^x)/ x^2 ] . lim x->+oo [ 1/ ( 1- (1/x))]
[+oo] . [ 1/ (1 - (1/+00)]
+oo . [1/ (1-0)]
+oo . [1/1]
+oo.1
+oo

Exacto.

Percebo. Estava só a responder à pergunta de qual tinha sido o meu raciocínio, pois, mal vi a tua sugestão, pareceu-me logo o caminho correto. Aliás, a prova que não achei a minha resolução inicial satisfatória é o facto de te ter identificado

A capacidade de "sentir" quando alguma coisa não está bem é bastante importante em Matemática. Se não conseguimos convencer-nos a nós mesmos...

 

[David1154]

Bom dia, nova dúvida:
"Seja f a função definida por f(x)=x^2 + 3.
Determina as coordenadas do ponto do gráfico de f mais próximo do ponto de coordenadas (3,3)."

 

[Alfa]

Bom dia, nova dúvida:
"Seja f a função definida por f(x)=x^2 + 3.
Determina as coordenadas do ponto do gráfico de f mais próximo do ponto de coordenadas (3,3)."

Um ponto genérico do gráfico de f tem a forma (x,x^2+3), com x real. A distância de um tal ponto ao ponto (3,3) é dada por

[(x-3)^2 + (x^2+3-3)^2 ]^(1/2) = ( x^4 + x^2 - 6x + 9 )^(1/2).​

(Escrevi a raiz como uma potência de expoente 1/2 apenas porque não temos fórmulas.) Pretendemos minimizar esta distância, o que consiste em derivar a expressão anterior e determinar o seu mínimo.

A derivada da expressão anterior é

(1/2)(x^4 + x^2 - 6x + 9)^(-1/2)(4x^3 + 2x - 6),​

que é igual a zero se e só se 4x^3 + 2x - 6 = 0. Com algum poder de observação constatamos que 1 é um zero deste polinómio, o que nos permite factorizá-lo como

4x^3 + 2x - 6 = (x - 1)(4x^2 + 4x + 6).​

O polinómio 4x^2 + 4x + 6 não tem raízes, pelo que o único zero da derivada é 1. Um estudo do sinal da derivada permite concluir que 1 é um minimizante da função dada por ( x^4 + x^2 - 6x + 9 )^(1/2).

Assim, o ponto do gráfico de f mais próximo de (3,3) é o ponto de abcissa 1, isto é, o ponto (1,4).

​

 

[David1154]

Um ponto genérico do gráfico de f tem a forma (x,x^2+3), com x real. A distância de um tal ponto ao ponto (3,3) é dada por

[(x-3)^2 + (x^2+3-3)^2 ]^(1/2) = ( x^4 + x^2 - 6x + 9 )^(1/2).​

(Escrevi a raiz como uma potência de expoente 1/2 apenas porque não temos fórmulas.) Pretendemos minimizar esta distância, o que consiste em derivar a expressão anterior e determinar o seu mínimo.

A derivada da expressão anterior é

(1/2)(x^4 + x^2 - 6x + 9)^(-1/2)(4x^3 + 2x - 6),​

que é igual a zero se e só se 4x^3 + 2x - 6 = 0. Com algum poder de observação constatamos que 1 é um zero deste polinómio, o que nos permite factorizá-lo como

4x^3 + 2x - 6 = (x - 1)(4x^2 + 4x + 6).​

O polinómio 4x^2 + 4x + 6 não tem raízes, pelo que o único zero da derivada é 1. Um estudo do sinal da derivada permite concluir que 1 é um minimizante da função dada por ( x^4 + x^2 - 6x + 9 )^(1/2).

Assim, o ponto do gráfico de f mais próximo de (3,3) é o ponto de abcissa 1, isto é, o ponto (1,4).

​

Muito Obrigado @Alfa ! :D