Matemática A - Dúvidas e Exercícios

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Please someone que me ajude here please!! É o 48.1
Ver anexo 6967
O trajeto que o Dinis faz entre os pontos A e C divide-se em 2 etapas: de A até P (percurso com a direção da reta AB, sendo perpendicular à linha da costa) e de P até C (percurso com a direção da reta PC, sendo oblíquo em relação à linha da costa).
Designemos a amplitude do ângulo BPC de x e consideremos que a distância (perpendicular à linha da costa) entre P e B é y.
Com os dados fornecidos no problema e sabendo que, de acordo com a terminologia utilizada neste exercício, velocidade = distância/intervalo de tempo temos:

Percurso A-P
A distância percorrida neste percurso corresponde a 20-y.
Atendendo a que este percurso é feito com uma velocidade de 20km/h, temos que este percurso demora um tempo t1 que corresponde, em horas, a:
20= (20-y)/t1 <=> t1= (20-y)/20 = 1 - y/20

Percurso P-C

Relativamente à distância d percorrida neste trajeto temos que sin x = 12/d <=> d = 12 / sin x
Atendendo a que este percurso é feito com uma velocidade de 10km/h, temos que este percurso demora um tempo t2 que corresponde, em horas, a:
10 = (12/ sin x) / t2 <=> t2 = 12/ (10.sin x)

Podemos reparar que tg x = 12/y , pelo que sin x / cos x = 12/y <=> y = (12 cos x) / sin x
Substituindo esta expressão obtida para y em t1, ficamos com:
t1= 1 - [ (12 cos x) / sin x ] / 20 = 1 - (12 cos x) / (20 sin x)

Como o tempo total da viagem corresponde à soma de t1 com t2, o tempo total da viagem é:

[ 1 - ( 12 cos x ) / (20 sin x) ] + [ 12 / (10 sin x) ]
1 - ( 12 cos x ) / (20 sin x) + 12 / (10 sin x)
(dividindo o numerador e o denominador da primeira fração por 4 e o numerador e denominador da segunda fração por 2)
1 - (3 cos x) / (5 sin x) + 6 / (5 sin x)
1 + ( -3 cos x + 6) / ( 5 sin x)
1 - (3 cos x - 6) / ( 5 sin x)
Tal como queríamos mostrar.

Espero que a resolução tenha ficado clara!
Mensagem fundida automaticamente:

Ah ok assim percebi xD, mas acho que te enganaste ao separar o exponente, vê lá se concordas com a minha resolução:
Ver anexo 6955
Ai não sei, olhando assim de relance para a minha resolução não vejo nada mal 🤣😂😂😂 🤪<--- (este emoji é hilariante), dá mesmo e-4?
@Alexandre André , Estava a dar uma vista de olhos e acho que identifiquei o passo que está errado: quando passas da 2ª linha para a 3ª linha, tu separas a potência num produto de potências com a mesma base. Porém, a separação que tu fazes assume que tu tens, na potência original (potência da 2ª linha), o expoente [(2^n) +2] , quando, na realidade, o teu expoente é [2^(n+1)]. Acho que o que quero dizer percebe-se facilmente se pegares na expressão da 3ª linha e multiplicares as potências de igual base de forma a ficares com apenas uma potência, pois aí verifica-se que não obténs o que tinhas na 2ª linha. Nas regras operatórias entre potências, multiplicações no expoente (note-se que o expoente 2^(n+1)=(2^n).2) devem fazer-nos pensar, em geral, em potências de potência e não no produto de potências com a mesma base (pois esta última operação está associada a somas no expoente).
Espero ter consigo explicar aquilo que queria dizer! Depois diz-me se concordas :)
 
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Bremer Pereira

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Ciências Socioeconómicas: 12° ano
O trajeto que o Dinis faz entre os pontos A e C divide-se em 2 etapas: de A até P (percurso com a direção da reta AB, sendo perpendicular à linha da costa) e de P até C (percurso com a direção da reta PC, sendo oblíquo em relação à linha da costa).
Designemos a amplitude do ângulo BPC de x e consideremos que a distância (perpendicular à linha da costa) entre P e B é y.
Com os dados fornecidos no problema e sabendo que, de acordo com a terminologia utilizada neste exercício, velocidade = distância/intervalo de tempo temos:

Percurso A-P
A distância percorrida neste percurso corresponde a 20-y.
Atendendo a que este percurso é feito com uma velocidade de 20km/h, temos que este percurso demora um tempo t1 que corresponde, em horas, a:
20= (20-y)/t1 <=> t1= (20-y)/20 = 1 - y/20

Percurso P-C

Relativamente à distância d percorrida neste trajeto temos que sin x = 12/d <=> d = 12 / sin x
Atendendo a que este percurso é feito com uma velocidade de 10km/h, temos que este percurso demora um tempo t2 que corresponde, em horas, a:
10 = (12/ sin x) / t2 <=> t2 = 12/ (10.sin x)

Podemos reparar que tg x = 12/y , pelo que sin x / cos x = 12/y <=> y = (12 cos x) / sin x
Substituindo esta expressão obtida para y em t1, ficamos com:
t1= 1 - [ (12 cos x) / sin x ] / 20 = 1 - (12 cos x) / (20 sin x)

Como o tempo total da viagem corresponde à soma de t1 com t2, o tempo total da viagem é:

[ 1 - ( 12 cos x ) / (20 sin x) ] + [ 12 / (10 sin x) ]
1 - ( 12 cos x ) / (20 sin x) + 12 / (10 sin x)
(dividindo o numerador e o denominador da primeira fração por 4 e o numerador e denominador da segunda fração por 2)
1 - (3 cos x) / (5 sin x) + 6 / (5 sin x)
1 + ( -3 cos x + 6) / ( 5 sin x)
1 - (3 cos x - 6) / ( 5 sin x)
Tal como queríamos mostrar.

Espero que a resolução tenha ficado clara!
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@Alexandre André , Estava a dar uma vista de olhos e acho que identifiquei o passo que está errado: quando passas da 2ª linha para a 3ª linha, tu separas a potência num produto de potências com a mesma base. Porém, a separação que tu fazes assume que tu tens, na potência original (potência da 2ª linha), o expoente [(2^n) +2] , quando, na realidade, o teu expoente é [2^(n+1)]. Acho que o que quero dizer percebe-se facilmente se pegares na expressão da 3ª linha e multiplicares as potências de igual base de forma a ficares com apenas uma potência, pois aí verifica-se que não obténs o que tinhas na 2ª linha. Nas regras operatórias entre potências, multiplicações no expoente (note-se que o expoente 2^(n+1)=(2^n).2) devem fazer-nos pensar, em geral, em potências de potência e não no produto de potências com a mesma base (pois esta última operação está associada a somas no expoente).
Espero ter consigo explicar aquilo que queria dizer! Depois diz-me se concordas :)
Muito Obrigado!
Já agora podes ajudar neste?:
6968
É o 56, eu fiz todo um processo em que conclui q a área é máxima em x= pi/6,
Mas depois n sei provar q o triângulo é equilátero...
 

Estudante96

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Muito Obrigado!
Já agora podes ajudar neste?:
Ver anexo 6968
É o 56, eu fiz todo um processo em que conclui q a área é máxima em x= pi/6,
Mas depois n sei provar q o triângulo é equilátero...

R (0, -r) , logo, o raio da circunferência é r.
P( P1, P2)
sin x = P2/r <=> P2 = r.sin x
cos x = P1/r <=> P1 = r.cos x
P ( r.cosx , r.sin x) , o que significa que Q ( -r.cos x , r.sin x)

Deduzo que tenhas começado o exercício por aqui, certo? O passo seguinte seria escrever a área do triângulo em função de x (nota que a base do triângulo é (2.P1) e a altura do triângulo é (P2+r) ). Depois derivas a expressão obtida para a área e fazes um quadro de sinal da derivada e um quadro de variação da função original, descobrindo assim o valor de x para o qual a área é máxima. Depois disso, podes substituir esse valor de x nas coordenadas dos pontos P e Q, ficando assim as coordenadas destes definidas para a situação em que a área do triângulo é máxima.
De seguida, como sabes as coordenadas, imagino que possas calcular as distâncias d(P,Q), d(Q,R) e d (R,P) e concluir que são iguais.
Tenta desta forma e diz-me se conseguiste, pois, como não resolvi o exercício na totalidade, pode estar a escapar-me algum detalhe!
 

Bremer Pereira

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R (0, -r) , logo, o raio da circunferência é r.
P( P1, P2)
sin x = P2/r <=> P2 = r.sin x
cos x = P1/r <=> P1 = r.cos x
P ( r.cosx , r.sin x) , o que significa que Q ( -r.cos x , r.sin x)

Deduzo que tenhas começado o exercício por aqui, certo? O passo seguinte seria escrever a área do triângulo em função de x (nota que a base do triângulo é (2.P1) e a altura do triângulo é (P2+r) ). Depois derivas a expressão obtida para a área e fazes um quadro de sinal da derivada e um quadro de variação da função original, descobrindo assim o valor de x para o qual a área é máxima. Depois disso, podes substituir esse valor de x nas coordenadas dos pontos P e Q, ficando assim as coordenadas destes definidas para a situação em que a área do triângulo é máxima.
De seguida, como sabes as coordenadas, imagino que possas calcular as distâncias d(P,Q), d(Q,R) e d (R,P) e concluir que são iguais.
Tenta desta forma e diz-me se conseguiste, pois, como não resolvi o exercício na totalidade, pode estar a escapar-me algum detalhe!
Consegui obrigado! Escapou-me as coordenadas 😂
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6970
Na 13.3 eu faria modelo de x(t)=9
Mas nas resoluções eles n metem módulo, porquê?
E o mesmo acontece na 13.4 em que eu fiz o contradomínio e vi a distância máxima e depois fiz módulo de x(t)= ao valor da distância máxima, mas nas resoluções eles n metem módulo, why?
 
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David1154

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R (0, -r) , logo, o raio da circunferência é r.
P( P1, P2)
sin x = P2/r <=> P2 = r.sin x
cos x = P1/r <=> P1 = r.cos x
P ( r.cosx , r.sin x) , o que significa que Q ( -r.cos x , r.sin x)

Deduzo que tenhas começado o exercício por aqui, certo? O passo seguinte seria escrever a área do triângulo em função de x (nota que a base do triângulo é (2.P1) e a altura do triângulo é (P2+r) ). Depois derivas a expressão obtida para a área e fazes um quadro de sinal da derivada e um quadro de variação da função original, descobrindo assim o valor de x para o qual a área é máxima. Depois disso, podes substituir esse valor de x nas coordenadas dos pontos P e Q, ficando assim as coordenadas destes definidas para a situação em que a área do triângulo é máxima.
De seguida, como sabes as coordenadas, imagino que possas calcular as distâncias d(P,Q), d(Q,R) e d (R,P) e concluir que são iguais.
Tenta desta forma e diz-me se conseguiste, pois, como não resolvi o exercício na totalidade, pode estar a escapar-me algum detalhe!
Podias resolver? Não percebi muito bem :/
Eu para a área do triângulo, considerei a altura como r+(r-senx) e a base como cosx + (-cos x), só que isto dá 0 :/
 
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Podias resolver? Não percebi muito bem :/
Eu para a área do triângulo, considerei a altura como r+(r-senx) e a base como cosx + (-cos x), só que isto dá 0 :/
Eu não cheguei a resolver totalmente, pelo que peço ao @Bremer Pereira, já que ele chegou a resolver na íntegra e tem essa resolução, se pode colocar aqui a resolução desse exercício sff
@David1154 , caso depois tenhas alguma dúvida pergunta !
 

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Ver anexo 6970
Na 13.3 eu faria modelo de x(t)=9
Mas nas resoluções eles n metem módulo, porquê?
E o mesmo acontece na 13.4 em que eu fiz o contradomínio e vi a distância máxima e depois fiz módulo de x(t)= ao valor da distância máxima, mas nas resoluções eles n metem módulo, why?
Eu diria que, na 13.3, utilizar o módulo é correto, tendo de se resolver |x(t)|=9 <=> x(t)=9 V x(t)=-9 (eles não verificam, em nenhum momento, quando é que x(t)= -9 ? )

Na 13.4 eu sugeria calculares a derivada e determinares os máximos e o mínimos da função x(t) e, depois, avaliares os módulos desses máximos e desses mínimos, concluindo depois o instante em que a função esteve a uma distância máxima da origem, lembrando sempre que a nossa função tem uma restrição do seu domínio ao intervalo [0, 10] (Esquecendo os dados em concreto do exercício, se obtiveres como mínimo absoluto nesse intervalo -20 e o máximo absoluto no domínio referido for 17, o instante de maior distância à origem é aquele que corresponde ao mínimo -20! Aliás, esta ideia tem por base exatamente o raciocínio que, em 13.3, tiveste para achares que devias recorrer ao módulo da expressão!)
 
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Bremer Pereira

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Eu diria que, na 13.3, utilizar o módulo é correto, tendo de se resolver |x(t)|=9 <=> x(t)=9 V x(t)=-9 (eles não verificam, em nenhum momento, quando é que x(t)= -9 ? )

Na 13.4 eu sugeria calculares a derivada e determinares os máximos e o mínimos da função x(t) e, depois, avaliares os módulos desses máximos e desses mínimos, concluindo depois o instante em que a função esteve a uma distância máxima da origem, lembrando sempre que a nossa função tem uma restrição do seu domínio ao intervalo [0, 10] (Esquecendo os dados em concreto do exercício, se obtiveres como mínimo absoluto nesse intervalo -20 e o máximo absoluto no domínio referido for 17, o instante de maior distância à origem é aquele que corresponde ao mínimo -20! Aliás, esta ideia tem por base exatamente o raciocínio que, em 13.3, tiveste para achares que devias recorrer ao módulo da expressão!)
N seria mais fácil na 13.4 calcular o contradomínio pelo enquadramento?
Um pergunta então nesse caso se o mínimo fosse -20 e o máximo 17
E pediam a distância máxima eu fazi módulo de x(t)=20?
Ou fazia módulo de x(t)=-20?
 

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N seria mais fácil na 13.4 calcular o contradomínio pelo enquadramento?
Um pergunta então nesse caso se o mínimo fosse -20 e o máximo 17
E pediam a distância máxima eu fazi módulo de x(t)=20?
Ou fazia módulo de x(t)=-20?
Num cenário hipotético, se o mínimo fosse -20, tu querias saber o t para o qual x(t)=-20, aliás, provavelmente ias determina-lo para construir os quadros de sinal e de variação da derivada e da função original, respetivamente, pelo que o módulo não tem influência aqui. Neste cenário, o único interesse que calculares o módulo de um número tem é para saberes a distância a que um ponto com determinada abcissa está da origem, isto é, se x(t)=-20, o ponto, que pertence á reta numérica referida no exercício, com essa abcissa, estará a uma distância que é |-20| = 20 da origem da reta numérica (pois distâncias são sempre valores positivos).

Relativamente a fazer por enquadramento, parece-me possível e, ao que me parece, ficaria qualquer coisa deste género:
-1 < cos [(pi.t)/5 + (2.pi) / 5] < 1
-10 < 10.cos [(pi.t)/5 + (2.pi) / 5] < 10
-6 < 10.cos [(pi.t)/5 + (2.pi) / 5] +4 < 14
(Apesar de ter colocado apenas o sinal "menor do que", o correto é "menor ou igual", apenas não o coloquei por uma questão de facilidade de escrita)

Completando um pouco aquilo que escrevi no parágrafo inicial:
Um ponto pode estar à esquerda da origem da reta numérica (tendo abcissa negativa) ou à direita da origem referida (tendo abcissa positiva), pelo que, no primeiro caso, a distância corresponde ao módulo da abcissa do ponto considerado. Sendo o contradomínio o intervalo [-6, 14] e |-6|=6 ( 6 < 14), a distância máxima do ponto à origem da reta numérica corresponde a 14 unidades , o que ocorre num instante t que corresponde à solução da equação x(t)=14, restando apenas resolver esta equação.

Espero ter-me explicado bem e confirma nas soluções para me dizeres se está correto sff, pois, apesar de neste perceber que não é necessariamente preciso recorrer a módulos, no exercício 13.3 acho que faz sentido e o facto de não incluírem isso na resolução deixa-me reticente e a pensar se não estou a perceber alguma parte do exercício.
 
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Num cenário hipotético, se o mínimo fosse -20, tu querias saber o t para o qual x(t)=-20, aliás, provavelmente ias determina-lo para construir os quadros de sinal e de variação da derivada e da função original, respetivamente, pelo que o módulo não tem influência aqui. Neste cenário, o único interesse que calculares o módulo de um número tem é para saberes a distância a que um ponto com determinada abcissa está da origem, isto é, se x(t)=-20, o ponto, que pertence á reta numérica referida no exercício, com essa abcissa, estará a uma distância que é |-20| = 20 da origem da reta numérica (pois distâncias são sempre valores positivos).

Relativamente a fazer por enquadramento, parece-me possível e, ao que me parece, ficaria qualquer coisa deste género:
-1 < cos [(pi.t)/5 + (2.pi) / 5] < 1
-10 < 10.cos [(pi.t)/5 + (2.pi) / 5] < 10
-6 < 10.cos [(pi.t)/5 + (2.pi) / 5] +4 < 14
(Apesar de ter colocado apenas o sinal "menor do que", o correto é "menor ou igual", apenas não o coloquei por uma questão de facilidade de escrita)

Completando um pouco aquilo que escrevi no parágrafo inicial:
Um ponto pode estar à esquerda da origem da reta numérica (tendo abcissa negativa) ou à direita da origem referida (tendo abcissa positiva), pelo que, no primeiro caso, a distância corresponde ao módulo da abcissa do ponto considerado. Sendo o contradomínio o intervalo [-6, 14] e |-6|=6 ( 6 < 14), a distância máxima do ponto à origem da reta numérica corresponde a 14 unidades , o que ocorre num instante t que corresponde à solução da equação x(t)=14, restando apenas resolver esta equação.

Espero ter-me explicado bem e confirma nas soluções para me dizeres se está correto sff, pois, apesar de neste perceber que não é necessariamente preciso recorrer a módulos, no exercício 13.3 acho que faz sentido e o facto de não incluírem isso na resolução deixa-me reticente e a pensar se não estou a perceber alguma parte do exercício.
Percebi, a cena é q no meu manual (expoente 12) nos exercícios resolvidos relativos a esse tipo de questões em que pedem os instantes em que um ponto P atinge a distância máxima da origem, eles fazem primeiro o contradomínio e depois fazem o módulo de x(t) = valor da distância máxima
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Outra dúvida:
6975
Disseram-me que no quadro de sinal nesse caso, para saber se o q está atrás do zero é positivo ou negativo bastava substituir por um número inferior á função e se desse um numero positivo punha o mais e vice-versa.
A minha questão é, no caso do quadro de sinal na parte em q tenho o (2^x+1) -1
Para ver se o q está atrás do -1 eu meto menos ou mais eu substitui porque número inferior a -1 só na expressão (2^x+1) -1 ou substituo em toda a a expressão ( (2^x+1)-1) / 1 - 2^x))?
 
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Percebi, a cena é q no meu manual (expoente 12) nos exercícios resolvidos relativos a esse tipo de questões em que pedem os instantes em que um ponto P atinge a distância máxima da origem, eles fazem primeiro o contradomínio e depois fazem o módulo de x(t) = valor da distância máxima
Não consigo discutir isso, pois não sabendo os exercícios, não sei as suas particularidades (será que a função dada nesses exercícios tem exatamente as mesmas variáveis que este e não há ligeiras diferenças que têm muito significado?).
Relativamente a este exercício, quando puderes, diz-me se as resoluções e soluções estão de acordo com as minhas sugestões ou se há algo diferente sff, pois quero evitar estar sugerir-te alguma estratégia de resolução que, por um motivo qualquer, está errado para o exercício em questão e eu não me apercebi!
 
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Não consigo discutir isso, pois não sabendo os exercícios, não sei as suas particularidades (será que a função dada nesses exercícios tem exatamente as mesmas variáveis que este e não há ligeiras diferenças que têm muito significado?).
Relativamente a este exercício, quando puderes, diz-me se as resoluções e soluções estão de acordo com as minhas sugestões ou se há algo diferente sff, pois quero evitar estar sugerir-te alguma estratégia de resolução que, por um motivo qualquer, está errado para o exercício em questão e eu não me apercebi!
Sim a tua explicação está de acordo com as resoluções, obrigado 😊
Vou mandar o exemplo do meu manual
6976
Alínea e)
Agr a resolução:
6977
 

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Outra dúvida:
Ver anexo 6975
Disseram-me que no quadro de sinal nesse caso, para saber se o q está atrás do zero é positivo ou negativo bastava substituir por um número inferior á função e se desse um numero positivo punha o mais e vice-versa.
A minha questão é, no caso do quadro de sinal na parte em q tenho o (2^x+1) -1
Para ver se o q está atrás do -1 eu meto menos ou mais eu substitui porque número inferior a -1 só na expressão (2^x+1) -1 ou substituo em toda a a expressão ( (2^x+1)-1) / 1 - 2^x))?
Acho que é importante perceber o significado das diferentes etapas de um exercício e, posto isto, quando tu estás a calcular os zeros do numerador e os zeros do denominador em separado, o que tu estás a fazer é a considerar 2 funções separadamente e descobrir os zeros de cada uma delas. Isto é um processo que simplifica as coisas e nos permite tirar conclusões sobre funções mais complexas e, a partir do momento que tu consideras estas funções isoladamente, tu só as vais "relacionar" de novo no quadro de sinal quando, com base no sinal de cada uma das funções isoladas, tirares o sinal da função quociente (que é, na realidade, a função que te interessa)
Debruçando-me sobre a função 2^(x+1) +1 (e é análogo para a outra, passando-se o mesmo em todos os quadros de sinal, independentemente do número de "linhas", isto é, funções que ele inclua), tu descobriste os zeros dessa função como primeiro passo para estudar o sinal dessa mesma função. Sabendo os zeros, tu sabes os pontos onde a função pode trocar de sinal, isto é, se uma função contínua quiser passar de negativa a positiva num intervalo (que não tenha interrupções!) ou vice-versa, a função terá obrigatoriamente de passar pelo zero (nota que isto não é necessariamente verdade ao contrário, ou seja, uma função, por exemplo, positiva, pode passar por um ponto de ordenada zero e depois voltar a ser positiva). Com isto, tu sabes que se estás num intervalo contido no domínio da função e esse intervalo está entre dois zeros, se tu souberes o sinal de um ponto desse intervalo, então tens a certeza que, entre esses dois zeros, a função terá o mesmo sinal que essa ordenada de um ponto que tu conheces (pois a função só pode mudar de sinal num ponto de ordenada zero, tem de passar neste para isso acontecer, podendo, como já disse, não trocar se, após o zero, voltar a ter o sinal que tinha antes). Em suma, se tu tens a função 2^(x+1) +1 e estás na linha do quadro de sinal referente a esta função, tu apenas te preocupas com o estudo desta função. Como já tens o quadro devidamente organizado, com os zeros das funções identificados e tal, os quais delimitam intervalos, tu sabes que se um determinado ponto tiver uma ordenada de um certo sinal, então a função, nesse intervalo delimitado pelos seus próprios zeros (ou pelo "ínicio ou fim" do domínio da função), terá esse sinal da ordenada do ponto que foste calcular (reforço, pois acho que foi essa a tua dúvida concreta: se, no quadro de sinal, estás numa linha que diz respeito a uma só função, então só te interessa essa função, excetuando, claro, quando a tua função resulta da multiplicação ou divisão de funções de outras linhas do quadro).
Sim a tua explicação está de acordo com as resoluções, obrigado 😊
Vou mandar o exemplo do meu manual
Ver anexo 6976
Alínea e)
Agr a resolução:
Ver anexo 6977
Esse é um caso particular em que o contradomínio corresponde a [-5, 5], ou seja, as ordenadas que delimitam esse intervalo (e correspondem a extremos da função) são simétricas e, portanto, AMBOS os pontos correspondentes estão à mesma distância da origem [distam 5 unidades da origem (pois |-5|=5 e |5|=5 )].
Neste caso, o instante em que a distância em relação à origem da reta numérica é máxima corresponde, na realidade, a 2 instantes: o instante em que o ponto tinha de abcissa -5 e o instante em que o ponto tinha de abcissa 5, sendo esses instantes determinados pela resolução das seguintes equações: x(t)= -5 V x(t)=5 (que também pode ser escrito como |x(t)|= 5, pois as equações que apresentei resultam do desenvolvimento desta última!)

Espero que tenhas percebido !
 
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Acho que é importante perceber o significado das diferentes etapas de um exercício e, posto isto, quando tu estás a calcular os zeros do numerador e os zeros do denominador em separado, o que tu estás a fazer é a considerar 2 funções separadamente e descobrir os zeros de cada uma delas. Isto é um processo que simplifica as coisas e nos permite tirar conclusões sobre funções mais complexas e, a partir do momento que tu consideras estas funções isoladamente, tu só as vais "relacionar" de novo no quadro de sinal quando, com base no sinal de cada uma das funções isoladas, tirares o sinal da função quociente (que é, na realidade, a função que te interessa)
Debruçando-me sobre a função 2^(x+1) +1 (e é análogo para a outra, passando-se o mesmo em todos os quadros de sinal, independentemente do número de "linhas", isto é, funções que ele inclua), tu descobriste os zeros dessa função como primeiro passo para estudar o sinal dessa mesma função. Sabendo os zeros, tu sabes os pontos onde a função pode trocar de sinal, isto é, se uma função contínua quiser passar de negativa a positiva num intervalo (que não tenha interrupções!) ou vice-versa, a função terá obrigatoriamente de passar pelo zero (nota que isto não é necessariamente verdade ao contrário, ou seja, uma função, por exemplo, positiva, pode passar por um ponto de ordenada zero e depois voltar a ser positiva). Com isto, tu sabes que se estás num intervalo contido no domínio da função e esse intervalo está entre dois zeros, se tu souberes o sinal de um ponto desse intervalo, então tens a certeza que, entre esses dois zeros, a função terá o mesmo sinal que essa ordenada de um ponto que tu conheces (pois a função só pode mudar de sinal num ponto de ordenada zero, tem de passar neste para isso acontecer, podendo, como já disse, não trocar se, após o zero, voltar a ter o sinal que tinha antes). Em suma, se tu tens a função 2^(x+1) +1 e estás na linha do quadro de sinal referente a esta função, tu apenas te preocupas com o estudo desta função. Como já tens o quadro devidamente organizado, com os zeros das funções identificados e tal, os quais delimitam intervalos, tu sabes que se um determinado ponto tiver uma ordenada de um certo sinal, então a função, nesse intervalo delimitado pelos seus próprios zeros (ou pelo "ínicio ou fim" do domínio da função), terá esse sinal da ordenada do ponto que foste calcular (reforço, pois acho que foi essa a tua dúvida concreta: se, no quadro de sinal, estás numa linha que diz respeito a uma só função, então só te interessa essa função, excetuando, claro, quando a tua função resulta da multiplicação ou divisão de funções de outras linhas do quadro).

Esse é um caso particular em que o contradomínio corresponde a [-5, 5], ou seja, as ordenadas que delimitam esse intervalo (e correspondem a extremos da função) são simétricas e, portanto, AMBOS os pontos correspondentes distam 5 unidades da origem (pois |-5|=5 e |5|=5 ).
Neste caso, o instante em que a distância em relação à origem da reta numérica é máxima corresponde, na realidade, a 2 instantes: o instante em que o ponto tinha de abcissa -5 e o instante em que o ponto tinha de abcissa 5, sendo esses instantes determinados pela resolução das seguintes equações: x(t)= -5 V x(t)=5 (que também pode ser escrito como |x(t)|= 5, pois as equações que apresentei resultam do desenvolvimento desta última!)

Espero que tenhas percebido !
Obrigadooo!!
Mas, por exemplo, na alínea e) deste exercício:
6978
As resoluções eles usam o módulo:
6979
 

Estudante96

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Obrigadooo!!
Mas, por exemplo, na alínea e) deste exercício:
Ver anexo 6978
As resoluções eles usam o módulo:
Ver anexo 6979
Pois usam, mas se reparares, uma das condições da disjunção deu impossível... Acho que a forma como fui tentando explicar, interpretando os valores que delimitam o contradomínio e ter presente o facto das distâncias serem sempre positivas, funciona, mas provavelmente tens de ter várias coisas em conta.
Mas, para estares mais seguro da tua resolução (num momento de avaliação por exemplo), sugiro-te que questiones a tua professora de matemática sobre isso, expondo as 2 estratégias (aquela que eu utilizei (e acho que percebeste qual foi o meu raciocínio) e a utilizada no manual) de forma a ela te ajudar a perceber o raciocínio subjacente à utilizada pelo manual, a perceber se a que eu sugeri também funciona sempre e se recomenda e é melhor seguires mesmo a resolução do manual.
 
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Mas nas resoluções eles n metem módulo, porquê?
apesar de neste perceber que não é necessariamente preciso recorrer a módulos, no exercício 13.3 acho que faz sentido e o facto de não incluírem isso na resolução deixa-me reticente e a pensar se não estou a perceber alguma parte do exercício.
Provavelmente porque -9 não faz parte do contradomínio da função, como o enquadramento do @Estudante96 mostra. Mas seria mais correcto, dada a questão, colocar o módulo ou então dar alguma justificação para o facto de a função nunca ser -9.
 
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