Matemática A - Dúvidas e Exercícios

TIGAS

Membro
Matrícula
2 Março 2018
Mensagens
23
Instituição
ESS
Sem repetir as cores, tens 10×9×8=720 bandeiras.
Ao repetir as cores, como não pode haver fuss iguais seguidas e tem de ter prelo menos uma faixa vermelha, tens duas hipóteses:
Vermelho na faixa do meio e a mesma cor mas restantes =9 bandeiras.
Vermelho nas duas pontas e uma das outras cores no meio =9 bandeiras.

720+9+9=738
exatamente, não li bem o enunciado
 

Tahi

Membro
Matrícula
2 Setembro 2019
Mensagens
16
exatamente, não li bem o enunciado
Muito obrigada, também acabei por chegar a essa conclusão. Não estava a contar com os vermelhos nas pontas.
Post automatically merged:

Mais dois problemas para usar o principio da multiplicação:

- Com quatro algarismos diferentes, quantos números naturais compreendidos entre 1000 e 4600 podemos formar?

- De um baralho completo, extraem - se, sucessivamente e sem reposições, três cartas. Quantas extrações são possíveis, de forma que a primeira carta seja de copas, a segunda seja um rei e a terceira seja de espadas.

Obrigada por qualquer ajuda.
 
Última edição:

bea_moniz123

Membro
Matrícula
9 Outubro 2018
Mensagens
96
Curso
Ciências e tecnologias
Muito obrigada, também acabei por chegar a essa conclusão. Não estava a contar com os vermelhos nas pontas.
Post automatically merged:

Mais dois problemas para usar o principio da multiplicação:

- Com quatro algarismos diferentes, quantos números naturais compreendidos entre 1000 e 4600 podemos formar?

- De um baralho completo, extraem - se, sucessivamente e sem reposições, três cartas. Quantas extrações são possíveis, de forma que a primeira carta seja de copas, a segunda seja um rei e a terceira seja de espadas.

Obrigada por qualquer ajuda.
received_732382967175231.jpeg
Tens aí a minha sugestão, se não perceberes diz 😊
 
  • Like
Reactions: TIGAS

tmv1195

Membro Veterano
Matrícula
17 Maio 2017
Mensagens
179
Curso
MIEIC
Instituição
FEUP
- De um baralho completo, extraem - se, sucessivamente e sem reposições, três cartas. Quantas extrações são possíveis, de forma que a primeira carta seja de copas, a segunda seja um rei e a terceira seja de espadas.
Boas,
Tens de atender ao facto de haver o rei de copas e o rei de espadas. Neste tipo de exercícios convém dividir em vários casos (Se a primeira carta for o rei de copas...)
Edit: Fiz mentalmente, deu-me 650.
 
Última edição:

Sofia122

Membro Dux
Matrícula
31 Março 2018
Mensagens
523
Curso
Ciências da Nutrição
Instituição
FCNAUP
Olá, será que alguém me consegue explicar este exercício ? A solução é 255 mas deu-me 256 e não sei onde está o erro.
Capturar.PNG

Será que alguém também me consegue explicar em que casos é que eu tenho de usar arranjos, permutações ou combinações?
E depois quando é que nos exercícios eu sei que a ordem dos elementos na sequência é importante?

Se alguém me conseguisse esclarecer isto agradecia imenso.
 

tmv1195

Membro Veterano
Matrícula
17 Maio 2017
Mensagens
179
Curso
MIEIC
Instituição
FEUP
Olá, será que alguém me consegue explicar este exercício ? A solução é 255 mas deu-me 256 e não sei onde está o erro.
Não entendi o que é um valor exato, o que é que consideraste?
Será que alguém também me consegue explicar em que casos é que eu tenho de usar arranjos, permutações ou combinações?
Utilizas arranjos quando a ordem é relevante/os elementos são diferentes entre si. Se estiveres a retirar sucessivamente bolas numeradas de uma caixa para formar um número, é diferente retirares pela ordem 123 (formando o número cento e vinte e três) e retirares pela ordem 321 (formando o número trezentos e vinte e um). As bolas são as mesmas, mas a ordem em que aparecem é relevante, pelo que utilizas arranjos.

Utilizas permutações quando queres permutar. Permutar é trocar a ordem dos elementos. Imagina que tens cinco pessoas sentadas num banco e queres saber o número total de maneiras diferentes de elas estarem sentadas. Como vais usar todos os elementos, vais fazer uma permutação de cinco elementos.

Utlizas combinações quando a ordem não é relevante. Imagina que estás a tirar nomes de um saco para formar um grupo. O grupo que tem a Maria, o João e a Cátia é exatamente o mesmo grupo que tem a Cátia, a Maria e o João. É indiferente retirares primeiro a Cátia ou a Maria porque vais obter o mesmo grupo e os lugares dentro do grupo são todos iguais.

Agora imagina que o primeiro nome a sair será o presidente de uma comissão, o segundo será o vice-presidente e o terceiro será o secretário. Como é diferente ser a Maria presidente de ser a Cátia presidente, é relevante a ordem pela qual os nomes aparecem. Neste caso já utilizarias arranjos.

Não há uma receita universal para isto. Deves pensar se a ordem é relevante e faz diferença no final (utilizas arranjos) ou se é indiferente (utilizas combinações). Utilizas uma permutação quando queres distribuir x elementos por x lugares.
 

Vasco.R

Membro Caloiro
Matrícula
31 Janeiro 2019
Mensagens
1
Olá, será que alguém me pode ajudar com este exercício:
De quantas maneiras se podem colocar 6 fichas distintas em 9 caixas, podendo haver mais do que uma ficha por caixa,mas não mais de quatro em cada caixa?
 

Sofia122

Membro Dux
Matrícula
31 Março 2018
Mensagens
523
Curso
Ciências da Nutrição
Instituição
FCNAUP
Não entendi o que é um valor exato, o que é que consideraste?
Eu fiz as partes do conjunto das moedas que neste caso é 2^8 .
Eu reparei que na resolução eles retiravam 1 ao 256 só que não consegui entender porquê.
Já entendi. subconjuntos= valores exatos
É 255 porque eles aos 256 subconjuntos subtraem o conjunto vazio.
Alguém me consegue mostrar de que modo eu resolvo este tipo de exercícios?
Determina \[ n\in IN \] de modo que:
\[ \frac{(n+1)!-2n!}{3n!}=5 \]
 
Última edição:

Estudante96

Membro Veterano
Matrícula
9 Novembro 2018
Mensagens
427
Curso
Matemática
Instituição
FCUP
Alguém me consegue mostrar de que modo eu resolvo este tipo de exercícios?
Determina \[ n\in IN \] de modo que:
\[ \frac{(n+1)!-2n!}{3n!}=5 \]
Estes exercícios baseiam-se em escrever os fatoriais que ocorrem de uma outra forma que também envolve fatoriais, mas em que a simplificação é possível. A resolução será então:
((n+1)! - 2n!)/ (3n!) = 5
[ (n+1)n! - 2.n!] / (3.n!) = 5
[ n! ( n+1 - 2)]/ (3.n!) = 5
(n -1)/ 3 = 5
n-1 = 15
n = 16

Para perceber isto é importante perceber ao certo o que a notação envolvendo fatoriais significa.
Como exemplo de um caso particular tem-se 3!= 3.2.1 (3! é um produto cujos fatores são todos os números naturais inferiores ou iguais a 3)
Considerando n um nº natural, tem-se n!= n x (n-1) x (n-2) x ... x 1 [repara que se a n retirares 1 ficas com (n-1), se a (n-1) retirares 1 ficas com (n-2) e por aí fora, estando no produto escrito todos os números naturais iguais ou inferiores a n)]. Nota que n-n=1.
O que foi dito no último parágrafo pode ser escrito de outra forma, significando, porém, a mesma coisa: se considerares n um nº natural, tem-se que (n+1)!= (n+1) x n x (n-1) x ... x 1 [ Repara que se retirares 1 a (n+1) ficas com n, se retirares 1 a n ficas com (n-1) e etc, pelo que o produto escrito contém todos os números naturais iguais ou inferiores a (n+1)]. Se neste último caso eu só quiser uma expressão que tenha presente o fator (n+1) ou que esta tenha presente o n!, podes verificar que posso substituir todos os fatores, exceto (n+1), por n!, tendo-se (n+1)! = (n+1).n!.
 
Última edição:
  • Fabulous
Reactions: Sofia122

Tahi

Membro
Matrícula
2 Setembro 2019
Mensagens
16
Ver anexo 9676
Tens aí a minha sugestão, se não perceberes diz 😊
Obrigada pela sugestão de resolução Bea Moniz. 😊 Fui ver as soluções e o primeiro problema dá 1792, o segundo problema dá 650.
A mim também não me está a dar certo mas fiz de maneira diferente.

Para o primeiro problema:
4×9×8×7= 2016
Na tua resolução não entendi o raciocinio que fizeste depois da primeira etapa.

Para o segundo problema também não me dava certo, depois de pensar um pouco consegui fazer.
12×4×12+1×2×1+12×3×1+1×3×12 = 650
Post automatically merged:

Obrigada pela sugestão de resolução Bea Moniz. 😊 Fui ver as soluções e o primeiro problema dá 1792, o segundo problema dá 650.
A mim também não me está a dar certo mas fiz de maneira diferente.

Para o primeiro problema:
4×9×8×7= 2016
Na tua resolução não entendi o raciocinio que fizeste depois da primeira etapa.

Para o segundo problema também não me dava certo, depois de pensar um pouco consegui fazer.
12×4×12+1×2×1+12×3×1+1×3×12 = 650
Hoje devo estar num dia de iluminação lol.
Também já consegui resolver o primeiro problema e percebi onde estava o meu erro. Fiz assim:
3×9×8×7+1×5×8×7 =1792
 
Última edição:

bea_moniz123

Membro
Matrícula
9 Outubro 2018
Mensagens
96
Curso
Ciências e tecnologias
Obrigada pela sugestão de resolução Bea Moniz. 😊 Fui ver as soluções e o primeiro problema dá 1792, o segundo problema dá 650.
A mim também não me está a dar certo mas fiz de maneira diferente.

Para o primeiro problema:
4×9×8×7= 2016
Na tua resolução não entendi o raciocinio que fizeste depois da primeira etapa.

Para o segundo problema também não me dava certo, depois de pensar um pouco consegui fazer.
12×4×12+1×2×1+12×3×1+1×3×12 = 650
Post automatically merged:


Hoje devo estar num dia de iluminação lol.
Também já consegui resolver o primeiro problema e percebi onde estava o meu erro. Fiz assim:
3×9×8×7+1×5×8×7 =1792


Apercebi-me agora onde me enganei, mas ainda bem que já conseguiste resolver
 

tmv1195

Membro Veterano
Matrícula
17 Maio 2017
Mensagens
179
Curso
MIEIC
Instituição
FEUP
Preciso de ajuda na alínea B e C.
SFF
Boas,

Para a alínea b):
Quando não tens qualquer restrição escolhes 6 de entre 21 alunos. A restrição que te impõe é que há dois alunos que não podem fazer parte do grupo. Os restantes 19 podem, por isso de entre esses vais escolher 6.
Para que não pertençam ambos ao grupo tens várias opções: pertencer apenas o Tiago, pertencer apenas a Rita ou não pertencer nenhum. Poderias calcular o número de grupos para cada uma destas três opções ou podes optar por pensar de outra forma:
Qual é o contrário de não pertencerem ambos? Pertencerem ambos. Logo, se subtraíres ao número total de grupos o número de grupos a que pertencem ambos (acontecimento contrário daquilo que queres), obtens o número de grupos a que não pertencem ambos (aquilo que queres). Assim, terias: \[\underbrace{^{21}C_{6}}_{\text{Total de grupos}} - \underbrace{^{19}C_{4}}_{\text{Grupos a que pertencem ambos}}\]

Para a alínea c):
O Tiago e a Rita não podem pertencer ao mesmo grupo. Significa que se o Tiago pertencer, nenhum dos outros cinco membros pode ser a Rita. Se não houvesse qualquer restrição, escolherias 5 de entre os 20 elementos (sem o Tiago). Como a Rita também não pode pertencer, escolhes 5 de entre os 19 elementos (sem o Tiago porque já está e sem a Rita porque não pode estar com o Tiago). Fazes o mesmo raciocínio para se a Rita estiver e o Tiago não. Terias: \[2 \times ^{19}C_{5}\]

Deu-me 27 132 50388 para a alínea b) e 23 256 para a alínea c).

Edit: Corrigi a alínea b).
 
Última edição:
  • Like
Reactions: francinha

Sofia122

Membro Dux
Matrícula
31 Março 2018
Mensagens
523
Curso
Ciências da Nutrição
Instituição
FCNAUP
Primeiro precisas de saber quais dos rapazes estão nas extremidades. Depois basta permutar os restantes elementos.
Eu fiz - - - - - - - - - - - -
6*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1*5 = 10!*6*5 É assim que se faz este? Eu tou na dúvida é porque se eu fizer assim eu acho que vou ter mais rapazes do que aos que realmente tenho .
 

Estudante96

Membro Veterano
Matrícula
9 Novembro 2018
Mensagens
427
Curso
Matemática
Instituição
FCUP
Alguém me consegue explicar como eu resolvo o exercício 2.3 ?
Ver anexo 9717
2.3)
O número de maneiras de dispor os 12 jovens nessas condições (e considerando que os namorados têm de ficar juntos - não é o que o exercício pede: ver EDIT no final) é (6x1).(5x1).(8x1).(6x1).(4x1).(2x1) [Tanto "x" e "." representam multiplicação, apenas coloquei assim por uma questão de organização e por facilitar o texto explicativo que vou colocar de seguida].
O fator 6x1 representa as 6 possibilidades para o rapaz que fica numa das extremidades, ficando logo definido quem fica ao seu lado: a respetiva namorada (daí a multiplicação por 1)
O fator 5x1 representa as 5 possibilidades para o rapaz que fica na outra extremidade (note-se que 1 rapaz já foi colocado na outra extremidade), ficando logo definido onde a namorada desse rapaz fica.
Os restantes fatores representam as possibilidades de posicionar os restantes elementos. Repara que já foram posicionados 2 rapazes e as respetivas namoradas, pelo que só sobram 12-4=8 pessoas. Ao lado de quem já está posicionado pode colocar-se qualquer uma das restantes 8 pessoas, sendo que a pessoa posicionada ao seu lado fica imediatamente definida: é o seu namorado ou namorada (daí o 8x1). Continuando este raciocínio, sobram 8-2=6 pessoas, podendo posicionar-se qualquer uma delas ao lado das pessoas já posicionadas, sendo o seu namorado/a que ficará obrigatoriamente ao seu lado (daí o 6x1) e por aí fora.
Espero não ter cometido nenhum erro, já não é propriamente cedo e é preciso considerar umas quantas coisas x) Se tiveres a solução confirma o resultado sff

EDIT: Eu considerei, na resolução, que o texto inicial do enunciado pretendia que o casais de namorados ficassem juntos. Agora estive a reler e não sei se isso é mesmo pedido...Estou a achar a forma como está escrito ligeiramente ambíguo, provavelmente é problema meu xD
Se os casais não tiverem de ficar juntos, o número de maneiras de dispôr as 12 pessoas nas condições da alínea 2.3 é: 6.5. 10!
6 representa as possibilidades para qualquer rapaz ficar numa extremidade e o fator 5 representa as possibilidades para o rapaz que fica na outra extremidade. 10! representa o facto das restantes pessoas poderem trocar de posição entre si livremente.

EDIT2: Se fosse eu a fazer, acho que acabaria por achar que não é necessário os namorados ficarem juntos, pelo que a resolução será a que está no EDIT anterior (porém, vou deixar a resolução da mensagem que até serve para contrastar duas situações distintas).
 
Última edição:
  • Like
Reactions: Sofia122

Sofia122

Membro Dux
Matrícula
31 Março 2018
Mensagens
523
Curso
Ciências da Nutrição
Instituição
FCNAUP
Não fiz a conta, mas eu faria 6A2 * 10!
Penso que dê o mesmo que me deu a mim.
2.3)
O número de maneiras de dispor os 12 jovens nessas condições (considerando que os namorados têm de ficar juntos) é (6x1).(5x1).(8x1).(6x1).(4x1).(2x1) [Tanto "x" e "." representam multiplicação, apenas coloquei assim por uma questão de organização e por facilitar o texto explicativo que vou colocar de seguida].
O fator 6x1 representa as 6 possibilidades para o rapaz que fica numa das extremidades, ficando logo definido quem fica ao seu lado: a respetiva namorada (daí a multiplicação por 1)
O fator 5x1 representa as 5 possibilidades para o rapaz que fica na outra extremidade (note-se que 1 rapaz já foi colocado na outra extremidade), ficando logo definido onde a namorada desse rapaz se vai sentar.
Os restantes fatores representam as possibilidades de sentar os restantes elementos. Repara que já foram sentados 2 rapazes e as respetivas namoradas, pelo que só sobram 12-4=8 pessoas. Num dado banco ao lado de quem já está sentado pode sentar-se qualquer uma das restantes 8 pessoas, sendo que a pessoa sentada ao seu lado fica imediatamente definida: é o seu namorado ou namorada (daí o 8x1). Continuando este raciocínio, sobram 8-2=6 pessoas, podendo sentar-se qualquer uma delas num banco ao lado das pessoas já sentadas, sendo o seu namorado/a que ficará obrigatoriamente ao seu lado (daí o 6x1) e por aí fora.
Espero não ter cometido nenhum erro, já não é propriamente cedo e é preciso considerar umas quantas coisas x) Se tiveres a solução confirma o resultado sff

EDIT: Eu considerei, na resolução, que o texto inicial do enunciado pretendia que o casais de namorados ficassem juntos. Agora estive a reler e não sei se isso é mesmo pedido...Estou a achar a forma como está escrito ligeiramente ambíguo, provavelmente é problema meu xD
Se os casais não tiverem de ficar juntos, o número de maneiras de dispôr as 12 pessoas nas condições da alínea 2.3 é: 6.5. 10!
6 representa as possibilidades para qualquer rapaz ficar numa extremidade e o fator 5 representa as possibilidades para o rapaz que fica na outra extremidade. 10! representa o facto das restantes pessoas poderem trocar de posição entre si livremente.

EDIT2: Se fosse eu a fazer, acho que acabaria por achar que não é necessário os namorados ficarem juntos, pelo que a resolução será a que está no EDIT anterior (porém, vou deixar a resolução da mensagem que até serve para contrastar duas situações distintas).
Como no enunciado não fala que os namorados tem de estar juntos com as namoradas penso que a resolução seja mesmo a 6*5*10! Que foi o que eu fiz. Não sei porquê mas esta resolução faz-me pensar que tou a colocar rapazes a mais. É isto que me está a pôr em dúvida.