(Apaguei a minha resposta anterior porque estava errado.)
Para perceberes melhor a resolução do primeiro, vamos imaginar que, em vez de 12 pessoas (6 rapazes e 6 raparigas), tinhas apenas 4 pessoas (2 rapazes e 2 raparigas). De quantas formas diferentes podemos dividir estas quatro pessoas em duas equipas de duas pessoas cada?
Vamos responder a esta questão de duas maneiras. Em primeiro lugar, vamos imaginar que não sabemos nada sobre as técnicas de Combinatória do secundário e vamos determinar este número "à mão" (por isso é que reduzi o número de pessoas do problema original). Para distinguir as pessoas, vamos chamar-lhes Ana, Bruna, Carlos e Diogo. As formas que temos de dividir estas pessoas em duas equipas são:
- Ana, Bruna | Carlos, Diogo
- Ana, Carlos | Bruna, Diogo
- Ana, Diogo | Bruna, Carlos
Só há estas três! Porquê? A partir do momento em que sabemos quem fica com a Ana (por exemplo) na mesma equipa, as outras duas pessoas têm de constituir a outra equipa. Como a Ana só pode ter três parceiros possíveis, há três maneiras de dividir as pessoas em duas equipas.
Agora, vamos tentar usar as técnicas que conhecemos do secundário. Se tentares fazer 4C2 para determinar o número de equipas, obténs 6 como resultado. O que é que correu mal? Repara que 4C2 diz-te o número de equipas de duas pessoas que é possível formar com 4 pessoas. Estas seis equipas de dois são:
- Ana, Bruna
- Ana, Carlos,
- Ana, Diogo
- Bruna, Carlos,
- Bruna, Diogo
- Carlos, Diogo
Realmente são seis. Cada uma destas seis equipas determina uma outra equipa, a equipa constituída pelas pessoas que ficaram de fora. À frente de cada uma das seis equipas que determinámos acima, vamos escrever as duas pessoas que ficaram de fora, obtendo assim uma divisão do grupo de 4 em duas equipas de 2:
- Ana, Bruna | Carlos, Diogo
- Ana, Carlos | Bruna, Diogo
- Ana, Diogo | Bruna, Carlos
- Bruna, Carlos | Ana, Diogo
- Bruna, Diogo | Ana, Carlos
- Carlos, Diogo | Ana, Bruna
Percebes agora o problema? As equipas "Ana, Bruna" e "Carlos, Diogo", por exemplo, determinam a mesma divisão da turma em duas equipas de duas pessoas porque são complementares uma da outra. São duas equipas diferentes, pelo que são contadas separadamente quando a questão é "quantas equipas há?"; mas determinam a mesma divisão da turma em duas equipas diferentes.
Como todas as equipas podem ser emparelhadas desta maneira, temos de dividir por dois o número 4C2 para obter, não o número de equipas, mas o número de divisões da turma em duas equipas. Esta divisão por dois elimina a duplicação que vimos na lista anterior.
O raciocínio é o mesmo com 12 pessoas, 6 rapazes e 6 raparigas. Há 12C6 equipas distintas, mas apenas 12C6 / 2 divisões distintas da turma em duas equipas.
No segundo exercício que mostraste, o raciocínio é diferente. Nesse exercício, queremos escolher uma equipa de efectivos (sendo os que não foram escolhidos os suplentes). Aqui, as duas equipas são distintas (os que escolhemos são efectivos, os que sobram são suplentes), pelo que a duplicação que ocorria anteriormente já não acontece aqui.
Voltando ao exemplo das 4 pessoas, se pensarmos que estamos a escolher a equipa de efectivos, a selecção "Ana, Bruna" e a selecção "Carlos, Diogo" já não são iguais. É verdade que correspondem à mesma divisão das pessoas em duas equipas, mas no primeiro caso os efectivos são a Ana e a Bruna e no segundo caso estas duas são as suplentes. Assim, estas duas escolhas devem ser contabilizadas como distintas. Daí que não tenhas de dividir por 2.
Ah que burrice... Peço imensas desculpas pelo incómodo, eu não sei ler
drive.google.com
