Matemática A - Dúvidas e Exercícios

Ricardo A. Ferreira

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Ver anexo 17115 alguém consegue me ajudar neste exercício. Eu atrapalhei me todo na tabela...
Obrigado
@jorge48884 Oi oi, Jorge!

1) Já percebeste que tens de fazer uma tabela. Ótimo, esse é o primeiro passo!
2) Agora, quais é que são as duas categorias? Ora, temos o curso "Matemática aplicada/Matemática Pura" e temos a satisfação "Estar satisfeito/Não estar satisfeito".
3) Assim, vamos dar um nome a cada uma das categorias. Chamamos
[imath]A: [/imath] "Estar em Matemática Aplicada" (o contrário é [imath]\bar{A}: [/imath] "Estar em Matemática pura").
Do mesmo modo,
[imath]S: [/imath] "Satisfeito", (o contrário é [imath]\bar{S}: [/imath] "Não estar satisfeito"). Assim, já temos a tabela
[math] \begin{array}{c|cc} & A & \bar{A} \\ \hline S & & \\ \bar{S} & & \end{array} [/math]
4)Agora vamos traduzir os dados:
[math] \begin{array}{l} P(A)=4/5, P(\bar{A})=1/5 \\ P(S)= 3/10, \text{~por isso~} P(\bar{S})= 7/10\\ P(A | S)=2/3 \end{array} [/math]
5) Lembra-te que a tabela "não gosta" de probabilidades condicionadas , só gosta de interseções e probabilidades "normais" (vê tabela abaixo), por isso tens de traduzir as probabilidades condicionadas. Mas nós sabemos uma fórmula que faz esta tradução!
[math] 2/3=P(A | S)=\frac{P(A\cap S)}{P(S)}= \frac{P(A\cap S)}{3/10}, [/math]logo [math]\boxed{P(A \cap S)=1/5.} [/math]
6) Agora, preenchemos a tabela. Lembra-te como se preenche (interseções [imath] \cap [/imath] nas interseções da tabela e dos lados temos as somas, por exemplo [imath] P(A) =P(A\cap S)+P(A\cap \bar{S}) [/imath]):
[math] \begin{array}{c|cc|c} & A & \bar{A} & \\ \hline S & A\cap S & \bar{A}\cap {S} & S\\ \bar{S} & A\cap \bar{S} & \bar{A}\cap {S} & \bar{S}\\ \hline & A & \bar{A} & 1\\ \end{array} [/math]Ou escrevendo os números, temos:
[math] \begin{array}{c|cc|c} & A & \bar{A} & \\ \hline S & 1/5 & & 3/10 \\ \bar{S} & & & 7/10 \\ \hline & 4/5 & 1/5 & 1\\ \end{array} [/math]e fazendo o resto das somas, ficamos com
[math] \begin{array}{c|cc|c} & A & \bar{A} & \\ \hline S & 1/5 & 1/10 & 3/10 \\ \bar{S} & 3/5 & 1/10 & 7/10 \\ \hline & 4/5 & 1/5 & 1\\ \end{array} [/math]Já temos tudo!

7) Agora, qual era a pergunta? Era saber [imath]P(\bar{A} | \bar{S})[/imath]. Mais uma vez, usamos a formula para traduzir condicionadas para interseções e probabilidades "normais".
[math] P(\bar{A} | \bar{S})=\frac{P(\bar{A} \cap \bar{S})}{P(\bar{S})}= \frac{1/10}{7/10}=1/7, [/math]
Mas claro, a explicação que posso deixar aqui é sempre limitada. Felizmente, podes perceber muito melhor estas tabelas no meu vídeo de Probabilidades
 
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Alfa

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@jorge48884 Oi oi, Jorge!

1) Já percebeste que tens de fazer uma tabela. Ótimo, esse é o primeiro passo!
2) Agora, quais é que são as duas categorias? Ora, temos o curso "Matemática aplicada/Matemática Pura" e temos a satisfação "Estar satisfeito/Não estar satisfeito".
3) Assim, vamos dar um nome a cada uma das categorias. Chamamos
[imath]A: [/imath] "Estar em Matemática Aplicada" (o contrário é [imath]\bar{A}: [/imath] "Estar em Matemática pura").
Do mesmo modo,
[imath]S: [/imath] "Satisfeito", (o contrário é [imath]\bar{S}: [/imath] "Não estar satisfeito"). Assim, já temos a tabela
[math] \begin{array}{c|cc} & A & \bar{A} \\ \hline S & & \\ \bar{S} & & \end{array} [/math]
4)Agora vamos traduzir os dados:
[math] \begin{array}{l} P(A)=1/5, P(\bar{A})=4/5 \\ P(S)= 3/10, \text{~por isso~} P(\bar{S})= 7/10\\ P(A | S)=2/3 \end{array} [/math]
5) Lembra-te que a tabela "não gosta" de probabilidades condicionadas , só gosta de interseções e probabilidades "normais" (vê tabela abaixo), por isso tens de traduzir as probabilidades condicionadas. Mas nós sabemos uma fórmula que faz esta tradução!
[math] 2/3=P(A | S)=\frac{P(A\cap S)}{P(S)}= \frac{P(A\cap S)}{3/10}, [/math]logo [math]\boxed{P(A \cap S)=1/5.} [/math]
6) Agora, preenchemos a tabela. Lembra-te como se preenche (interseções [imath] \cap [/imath] nas interseções da tabela e dos lados temos as somas, por exemplo [imath] P(A) =P(A\cap S)+P(A\cap \bar{S}) [/imath]):
[math] \begin{array}{c|cc|c} & A & \bar{A} & \\ \hline S & A\cap S & \bar{A}\cap {S} & S\\ \bar{S} & A\cap \bar{S} & \bar{A}\cap {S} & \bar{S}\\ \hline & A & \bar{A} & 1\\ \end{array} [/math]Ou escrevendo os números, temos:
[math] \begin{array}{c|cc|c} & A & \bar{A} & \\ \hline S & 1/5 & & 3/10 \\ \bar{S} & & & 7/10 \\ \hline & 1/5 & 4/5 & 1\\ \end{array} [/math]e fazendo o resto das somas, ficamos com
[math] \begin{array}{c|cc|c} & A & \bar{A} & \\ \hline S & 1/5 & 1/10 & 3/10 \\ \bar{S} & 0 & 7/10 & 7/10 \\ \hline & 1/5 & 4/5 & 1\\ \end{array} [/math]Já temos tudo!

7) Agora, qual era a pergunta? Era saber [imath]P(\bar{A} | \bar{S})[/imath]. Mais uma vez, usamos a formula para traduzir condicionadas para interseções e probabilidades "normais".
[math] P(\bar{A} | \bar{S})=\frac{P(\bar{A} \cap \bar{S})}{P(\bar{S})}= \frac{7/10}{7/10}=1, [/math]
Podemos estranhar inicialmente o resultado, e convém verificar, mas depois vemos que o resultado é mesmo este (os professores metem os números que quiserem, por isso é sempre possível dar coisas aparentemente estranhas. Confia em ti e nos números! ).
Mas claro, a explicação que posso deixar aqui é sempre limitada. Felizmente, podes perceber muito melhor estas tabelas no meu vídeo de Probabilidades

Tens um erro aí no início. Consideras que P(A) = 1/5, mas, tendo em conta os dados do problema, P(A) = 4/5. Deve ter sido só uma distracção. O resto do raciocínio parece-me correcto, mas o resultado assim não é igual a 1, mas (segundo as minhas contas) 1/7.
 
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hannahvsanna

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Desculpem pela pergunta um pouco à toa mas alguém me podia explicar o porquê de fazermos a derivada para a 7.2? 1608147489166.png
 

Ricardo A. Ferreira

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Tens um erro aí no início. Consideras que P(A) = 1/5, mas, tendo em conta os dados do problema, P(A) = 4/5. Deve ter sido só uma distracção. O resto do raciocínio parece-me correcto, mas o resultado assim não é igual a 1, mas (segundo as minhas contas) 1/7.
Ainda bem que reparaste, @Alfa - já corrigi!
 
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Cristiana Matos

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Desculpem pela pergunta um pouco à toa mas alguém me podia explicar o porquê de fazermos a derivada para a 7.2? Ver anexo 17118
Olá. Antes de tudo, deves saber que quando calculas os zeros da derivada, obténs os pontos críticos. Esses pontos críticos podem ser máximos (globais ou locais), mínimos (globais ou locais) e em alguns casos nem uma coisa nem outra . Mas voltando para o contexto problema, nota que tu queres gastar o mínimo de rede possível... isso vai equivaler ao minimo da função de 7.1 que representa a quantidade de rede. Por isso calculas a derivada e posteriormente investigas a existência de um mínimo para a função :)
 
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Nuno Carreira

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Alguém me pode explicar a resposta a este exercício?
Eu resolveria da seguinte maneira: 11C4*7C3*4C2*4
 

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hannahvsanna

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Olá. Antes de tudo, deves saber que quando calculas os zeros da derivada, obténs os pontos críticos. Esses pontos críticos podem ser máximos (globais ou locais), mínimos (globais ou locais) e em alguns casos nem uma coisa nem outra . Mas voltando para o contexto problema, nota que tu queres gastar o mínimo de rede possível... isso vai equivaler ao minimo da função de 7.1 que representa a quantidade de rede. Por isso calculas a derivada e posteriormente investigas a existência de um mínimo para a função :)
ahhh okk, muito obrigada!!
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Alguém me pode explicar a resposta a este exercício?
Eu resolveria da seguinte maneira: 11C4*7C3*4C2*4
eu acho que eles consideram 2 E e 2 R como 1 E e 1 R pelo que apenas consideram 11-2=9 espaços
- a seguir fazem 9C3 para as 3 letras M, assim resta 9-3=6 espaços
- para as "2" letras E e R fazem 6C2
- para as 4 letras restantes fazem 4!
e finalmente como se sabe que as letras E e R se podem trocar 4 vezes entre si:
EERR
ERER
RERE
RREE
multiplicam por 4
acho que é isso entretanto n tenho a certeza
 
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Ricardo A. Ferreira

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Alguém me pode explicar a resposta a este exercício?
Eu resolveria da seguinte maneira: 11C4*7C3*4C2*4
@Nuno Carreira @hannahvsanna A ideia geral da explicação acima está correta, mas há uns pormenores manhosos que escaparam. Antes de mais, este enunciado é uma treta! :P Quem escreve os enunciados devia ter mais cuidado como faz as perguntas. Dizer "as letras E e R estão juntas" é confuso! (ficamos na dúvida se eles pedem que TODOS os E,R fiquem juntos, por exemplo, __ERRE______ ou se só precisam de ficar juntas 2 a 2, por exemplo, ____RE____ER__). Depois vemos que afinal era esta segunda opção.

A situação do problema é: tens 3 M, 2 E, 2 R e outras 4 letras diferentes, digamos A,B,C,D. A pergunta agora é: quantas maneiras há de modo a ter sempre um R junto a um E? (ou seja, os ER ou RE só precisam de ficar juntos 2 a 2)

Assim, quando lemos no enunciado "fiquem juntos", lembramo-nos logo: é a "técnica da caixa". As letras que queremos que fiquem juntas, nós queremos obrigá-las a ficarem juntas, e por isso enfiamo-las numa "caixa" (e contamos como se fosse uma só "letra"). Por isso, temos 9 "letras", os 3M, o A, B, C, D e depois 2 caixas [**],[**], em que cada caixa pode ser [ER] ou [RE].

Agora, é só pensar como criaríamos a nossa palavra:
(a) Dos 9 espaços para preencher, metemos os 3 M (ou seja, 9C3)
(b) Restam-nos 6 espaços. Nesses, metemos as nossas duas caixas [**] (ou seja, 6C2)
(c) Restam-nos 4 espaços. Nesses, somos obrigados a meter o A,B,C,D (há 4! maneiras de os ordenar)
(d) Há 4 maneiras de ordenar DENTRO das nossas caixas (de modo que um R fique junto a um E):
[ER],[ER]
[ER],[RE]
[RE],[ER]
[RE],[RE]

Não sei se já tinhas visto, mas também explico melhor a "técnica da caixa" no meu vídeo de Combinatória:
 
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Nuno Carreira

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@Ricardo A. Ferreira o exercício foi retirado de um teste.
Como esse, acho que há outros em que a pergunta não está bem explicita como a pergunta 1.2 deste exercício.
No exercício 1.2 eu faria 10<f(x)
 

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Nuno Carreira

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Alguém me pode ajudar nas seguintes alíneas
Na alinea 5.2, basta determinar a norma do vetor VO, para sabermos se o ponto A pertence á circunferência?
Na alínea 5.4 determinamos a norma do vetor AV e a partir daí não sei o que fazer.
Obrigado.
 

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Alguém me pode ajudar nas seguintes alíneas
Na alinea 5.2, basta determinar a norma do vetor VO, para sabermos se o ponto A pertence á circunferência?
Querias dizer 5.1? Eu nessa determinaria a equação da esfera e depois substituía com as coordenadas do ponto, verificando no fim se a proposição é verdadeira.

Na alínea 5.4 determinamos a norma do vetor AV e a partir daí não sei o que fazer.

Se a reta é paralela à reta AV, então a direção é a mesma, o que significa que podes usar o mesmo vetor diretor da reta AV (fazes o vetor AV). Depois, parece-me ser possível descobrir as coordenas do ponto D (2, -1, 0). Com isto já consegues fazer a equação vetorial da reta pedida.
 
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Nuno Carreira

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Querias dizer 5.1? Eu nessa determinaria a equação da esfera e depois substituía com as coordenadas do ponto, verificando no fim se a proposição é verdadeira.



Se a reta é paralela à reta AV, então a direção é a mesma, o que significa que podes usar o mesmo vetor diretor da reta AV (fazes o vetor AV). Depois, parece-me ser possível descobrir as coordenas do ponto D (2, -1, 0). Com isto já consegues fazer a equação vetorial da reta pedida.
Obrigado pela ajuda.
Na 5.4 as soluções diz que a equação da reta que passa no ponto D é (x,y,z)=(1,-rq(6)/2,1-rq(6))+k(1,-2,2)
 
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floater3

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Obrigado pela ajuda.
Na 5.4 as soluções diz que a equação da reta que passa no ponto D é (x,y,z)=(1,-rq(6)/2,1-rq(6))+k(1,-2,2)
Peço desculpa, não li atentamente o enunciado. Em relação ao vetor diretor, é como te disse. Quanto ao ponto D, tu sabes que o vetor CB tem as mesmas coordenadas do vetor DA.

O vetor DA é dado por A - D. Então:
• 2 - x = 1
• 1 - y = √6/2 + 1
• 0 - z = √6/2 - 1

Resolves essas equações e tens as coordenadas do ponto D (x, y, z).
 
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Nuno Carreira

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Como resolveriam a pergunta 1.2 deste exercício.
Não é 10<12-6cos(2pit-2pi/3), de modo a determinarmos quanto o tempo é inferior a 10 cm?
Podem confirmar se as coordenas dos pontos do exercício 4 estão corretas?
H(-6;12;10)
F(-6;6;4)
A(-2;-2;2)
B(-2;-2;-4)
C(-2;4;-4)
D(-2;4;2)
Obrigado e peço desculpa pelo incomodo.
 

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