@Marco Esperança
Exercício 10.4, alínea (c)
As parábolas referidas no enunciado são as representadas na figura seguinte:
Como se pode ver na figura e confirmar analiticamente, os pontos de intersecção são os pontos de abcissas \(-1/2\) e \(1/2\). Assim, o integral que permite calcular a área da região é
\[ \int_{-1/2}^{1/2} \left( -x^2 +7/2 \right) - \left( x^2 - 1 \right)\ dx. \]
Exercício 10.6
A área da região entre a parábola de equação \(y = x^2\) e a recta de equação \(y=9\) é dada por
\[ \int_{-3}^3 9 - x^2\ dx = 36. \]
O exercício está mal formulado. O que se pretende, muito provavelmente, não é a recta horizontal que divide a região em causa em duas partes iguais, mas sim a que divide a região em duas partes com a mesma área. Para isso, basta encontrares \(k\) tal que a região limitada pela parábola e pela recta de equação \(y=k\) tenha área igual a 18. Ou seja, \(k\) tal que
\[ \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} k - x^2 = 18. \]
Calculando o integral, obtém-se
\[ \frac{4}{3}k\sqrt{k} = 18\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ k = \frac{243}{\sqrt{2}} \]
(espero não me ter enganado nas contas).
Exercício 10.7
A área \(A\) é dada por
\[ \int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}} . \]
Aqui é só calcular o integral (em função de \(b\)) e ver o que dá quando \(b\) tende para \(+\infty\).
