Matemática (Ensino Superior): Dúvidas, Apontamentos e Exercícios

[NemoExNihilo]

Hey! Tive a minha primeira aula de Álgebra Linear e estou com algumas dúvidas. Deparo-me com alguns exercícios "simples" que aparecem nos slides disponibilizados pela professora mas não sei bem como mostrar aquilo que é pretendido (geralmente são coisas relativamente óbvias). Por exemplo, o exercício seguinte:


Ou


Como posso mostrar isso sem recorrer a exemplos concretos? Obrigado (e desculpem a ignorância).

Spoiler: Dica 1

Creio que a ideia básica será designares as componentes da matriz [imath]M[/imath] genericamente como [imath]M_{i,j}[/imath]

Spoiler: Dica 2

Uma matriz [imath]M[/imath] é simétrica quando [imath]M = M^t[/imath]

Spoiler: Dica 3

Relembra que [imath]M^t_{i,j}= M_{j,i}[/imath]

Spoiler: Dica 4

Os vários [imath]M_{i,j}[/imath] são números, logo, têm todas as propriedades comutativas e associativas habituais.

Acho que isto deve ser suficiente para chegares lá por ti, mas aqui ficam o que penso serem as soluções:

Spoiler: Exercício 1

[math]\left(A+B\right)_{i,j} = A_{i,j} + B_{i,j} \qquad \left(A+B\right)^t_{i, j} = A_{j,i} + B_{j,i} = A^t_{i,j} + B^t_{i,j}[/math]

Spoiler: Exercício 2

[math]\left(A + A^t\right)_{i,j} = A_{i,j} + A_{j,i} = A_{j,i} + A_{i,j} = \left(A^t + A\right)_{i,j} = \left(A + A^t\right)^t_{i,j}[/math]

Disclaimer: eu tenho comprovadamente o hábito de ser um idiota. Penso que não cometi nenhum erro no raciocínio, mas por favor não te fies em mim, antes em ti próprio e na tua compreensão da matéria.

Edit: Eu e o [imath]\LaTeX[/imath] nem sempre nos damos bem.

 

[dariodias97]

^ @NemoExNihilo

No Spoiler1 não estás a usar o enunciado que é suposto demonstrar para o demonstrar?


^ isto é verdadeiro porque:

[imath](A + B)_{ij}^T = ( A_{ij} + B_{ij} )^T = A_{ji} + B_{ji}[/imath]

Mas ^ isto é verdadeiro porque [imath](A + B)^T = A^T + B^T[/imath]

---

No Spoiler2 acabas com:

Não se pode fazer isto diretamente sem ij?

Spoiler: ^ assim

Uma matriz M é simétrica se [imath]M = M^T[/imath]
--> A matriz [imath](A + A^T)[/imath] é simétrica se [imath](A + A^T) = (A + A^T)^T[/imath]

[imath](A + A^T) = (A^T + A)^T = (A + A^T)^T[/imath]

 

[NemoExNihilo]

No Spoiler1 não estás a usar o enunciado que é suposto demonstrar para o demonstrar?

^ isto é verdadeiro porque:

(A+B)ijT=(Aij+Bij)T=Aji+Bji(A + B)_{ij}^T = ( A_{ij} + B_{ij} )^T = A_{ji} + B_{ji}(A+B)ijT=(Aij+Bij)T=Aji+Bji

Mas ^ isto é verdadeiro porque (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T(A+B)T=AT+BT

Devo admitir que saltei esse passo, sim:

[math]\left ( A + B \right)^t_{i,j} = \left (A + B \right)_{j,i} = A_{j,i} + B_{j,i} = ...[/math]
Achei-o óbvio, mas se calhar era logo cinco valores a menos. Acontece...

No Spoiler2 acabas com:
Ver anexo 21984
Não se pode fazer isto diretamente sem ij?

Spoiler: ^ assim

Uma matriz M é simétrica se [imath]M = M^T[/imath]
--> A matriz [imath](A + A^T)[/imath] é simétrica se [imath](A + A^T) = (A + A^T)^T[/imath]

[imath](A + A^T) = (A^T + A)^T = (A + A^T)^T[/imath]

Sim, claro, eventualmente seria mais recomendável e pedagógico até, uma vez que tratamos das matrizes como objectos sem recorrer às suas componentes. No entanto, pelo menos para mim, é mais claro fazer através das componentes, sobretudo quando se está a começar, como é o caso do @floater3.

 

[dariodias97]

Devo admitir que saltei esse passo, sim:

(A+B)i,jt=(A+B)j,i=Aj,i+Bj,i=...\left ( A + B \right)^t_{i,j} = \left (A + B \right)_{j,i} = A_{j,i} + B_{j,i} = ...(A+B)i,jt=(A+B)j,i=Aj,i+Bj,i=...
Achei-o óbvio, mas se calhar era logo cinco valores a menos. Acontece...

Ah então era assim. Eu não tinha percebido.

Também estou a começar com matrizes. Nunca tinha visto [imath](A + B)_{i,j}[/imath].

Neste tipo de exercício (demonstrações) algumas vezes entendo bem rapidamente outras vezes ando perdido em círculos. Ontem andei às voltas a tentar encontrar uma maneira alternativa de mostrar que [imath](A + B)^T = A^T + B^T[/imath], algumas vezes pareceu-me que cheguei lá, mas depois parecia-me que andava sempre em círculos.
Achas que isto [imath]\lor[/imath] serve como demonstração?

Spoiler: Ex. 1 (?)

Seja C = A + B

[imath](A + B)^T = (C)^T[/imath]
<=>
[imath]A + B = C[/imath]
<=>
[imath]A^T + B^T = C^T[/imath]
Então:
[imath]A^T + B^T = (A + B)^T[/imath]

 

[NemoExNihilo]

Ah então era assim. Eu não tinha percebido.

Também estou a começar com matrizes. Nunca tinha visto [imath](A + B)_{i,j}[/imath].

Neste tipo de exercício (demonstrações) algumas vezes entendo bem rapidamente outras vezes ando perdido em círculos. Ontem andei às voltas a tentar encontrar uma maneira alternativa de mostrar que [imath](A + B)^T = A^T + B^T[/imath], algumas vezes pareceu-me que cheguei lá, mas depois parecia-me que andava sempre em círculos.
Achas que isto [imath]\lor[/imath] serve como demonstração?

Spoiler: Ex. 1 (?)

Seja C = A + B

[imath](A + B)^T = (C)^T[/imath]
<=>
[imath]A + B = C[/imath]
<=>
[imath]A^T + B^T = C^T[/imath]
Então:
[imath]A^T + B^T = (A + B)^T[/imath]

Eu acho que, neste caso, estás a ser circular, porque na passagem de [imath]A + B = C[/imath] para [imath]A^t + B^t = C^t[/imath] já estás a usar [imath]\left (A + B\right)^t = A^t + B^t[/imath]. Na verdade, sem admitires essa premissa, a única coisa que podes concluir é que [imath]C^t = \left (A + B\right)^t[/imath], o que não te permite ir a lado nenhum.

De momento, não estou a ver nenhuma forma fácil de tentares fazer uma prova por contradição (mas também nunca fui famoso pela minha argúcia para a descoberta de provas), acho que aqui o mais simples é mesmo ires pelas componentes.

 

[Margarida1998]

Olá, alguem me pode explicar o que são subsucessões?

 

[floater3]

Hey!
Estou com algumas dificuldades em resolver o seguinte exercício:

Seja [imath]A[/imath] uma matriz quadrada [imath]m \times m[/imath] invertível e [imath]n[/imath] um número inteiro positivo. Mostre que [imath]A^n[/imath] é invertível e usando a inversa [imath]A^{-1}[/imath] de [imath]A[/imath], indique a inversa de [imath]A^n[/imath].

Neste exercício ainda não é para aplicar a noção de determinante de uma matriz. Ainda que não tenha a certeza se é possível fazê-lo desta forma, penso que o objetivo é partir do seguinte pressuposto:

Uma matriz [imath]A[/imath] quadrada [imath]n \times n[/imath] é invertível quando existe uma matriz [imath]B[/imath] (ou seja, [imath]A^{-1}[/imath]) quadrada [imath]n \times n[/imath] tal que [imath]AB=BA=Id_n[/imath].

Alguém consegue ajudar-me?

 

[NemoExNihilo]

Olá, alguem me pode explicar o que são subsucessões?

Sub(-)sucessões, parece-me, serão sucessões construídas à custa dos termos de outra sucessão, por exemplo, escolhendo os termos ímpares, ou escolhendo todos os termos menos o 10.º, ou escolhendo só os primos, ou qualquer outro critério que se queira.

Hey!
Estou com algumas dificuldades em resolver o seguinte exercício:

Neste exercício ainda não é para aplicar a noção de determinante de uma matriz. Ainda que não tenha a certeza se é possível fazê-lo desta forma, penso que o objetivo é partir do seguinte pressuposto:

Alguém consegue ajudar-me?

Spoiler: DICA 1

[math]A^n = A \times A \times \ldots \times A \times A[/math]

Spoiler: DICA 2

[math]A^n \times \left(A^n\right)^{-1} = Id[/math]

Spoiler: DICA 3

[math]Id = A A^{-1} = A Id A^{-1} = A A A^{-1} A^{-1} = \ldots[/math]

Spoiler: DICA 4

Não te esqueças que isto tem de ser à esquerda e à direita!

Acho que só com isto chegas lá, não vou pôr a solução só para garantir que pensas por ti no resto.

 

[floater3]

Id=AA−1=AIdA−1=AAA−1A−1=…

Só para ter a certeza, o produto de uma determinada matriz A com a matriz identidade continua a dar A, certo?

Não te esqueças que isto tem de ser à esquerda e à direita!

Não entendi bem a que te referes.

Post automatically merged: 25 Outubro 2021

Portanto, a partir dos teus hints eu faria algo do tipo:

A matriz A é invertível, logo, existe uma matriz [imath]A^{-1}[/imath] tal que [imath]AA^{-1} = Id[/imath]. O produto entre uma determinada matriz (A, por exemplo) e uma matriz identidade é igual a essa matriz (A). Assim:

[imath]Id = AA^{-1} = A Id A^{-1} = A A A^{-1} A^{-1} = A A Id A^{-1} A^{-1} = A A A A^{-1} A^{-1} A^{-1} = A A A (...) A^{-1} A^{-1} A^{-1} = A^n A^{-n}[/imath]

Deste modo, conclui-se que qualquer que seja o valor de [imath]n \in \Z^+[/imath], a matriz [imath]A^n[/imath] é invertível pois existe [imath]A^{-n}[/imath] tal que [imath]A^nA^{-n} = Id[/imath].

 

[NemoExNihilo]

Só para ter a certeza, o produto de uma determinada matriz A com a matriz identidade continua a dar A, certo?

Isso é a definição de matriz identidade, sim.

Não entendi bem a que te referes.

Era uma dica para te levar a pensar no facto de teres de provar que consegues ter uma "inversa à esquerda" e uma "inversa à direita" de [imath]A^n[/imath]. Isto é, tens de determinar uma matriz [imath]M[/imath] tal que [imath]M A^n = Id[/imath] e [imath]A^n M = Id[/imath].

Portanto, a partir dos teus hints eu faria algo do tipo:

Queria destacar que cometes um abuso de notação que, para todos os efeitos, pode provavelmente desclassificar-te a resposta toda: [imath]\left(A^{-1}\right)^n[/imath] não teria necessariamente de ser [imath]A^{-n}[/imath].

Aliás, como de certa maneira já concluíste, a ideia toda é provares que [imath]\left(A^{-1}\right)^n = \left(A^n\right)^{-1}[/imath]. Não era garantido que isso sucedesse. Claro, como [imath]\left(A^{-1}\right)^n = \left(A^n\right)^{-1}[/imath], faz sentido que se use a notação [imath]A^{-n}[/imath] para abreviar, mas é importante que mantenhas bem presente que a exponenciação das matrizes por coisas que não sejam números naturais (no sentido de inteiros não-negativos) não é exactamente a mesma coisa que nos números reais...

E, claro, tens o problema de só teres provado as coisas por um lado, como te disse: para todos os efeitos, só provaste a existência de uma inversa à direita...

 

[floater3]

Isso é a definição de matriz identidade, sim.

Era uma dica para te levar a pensar no facto de teres de provar que consegues ter uma "inversa à esquerda" e uma "inversa à direita" de [imath]A^n[/imath]. Isto é, tens de determinar uma matriz [imath]M[/imath] tal que [imath]M A^n = Id[/imath] e [imath]A^n M = Id[/imath].



Queria destacar que cometes um abuso de notação que, para todos os efeitos, pode provavelmente desclassificar-te a resposta toda: [imath]\left(A^{-1}\right)^n[/imath] não teria necessariamente de ser [imath]A^{-n}[/imath].

Aliás, como de certa maneira já concluíste, a ideia toda é provares que [imath]\left(A^{-1}\right)^n = \left(A^n\right)^{-1}[/imath]. Não era garantido que isso sucedesse. Claro, como [imath]\left(A^{-1}\right)^n = \left(A^n\right)^{-1}[/imath], faz sentido que se use a notação [imath]A^{-n}[/imath] para abreviar, mas é importante que mantenhas bem presente que a exponenciação das matrizes por coisas que não sejam números naturais (no sentido de inteiros não-negativos) não é exactamente a mesma coisa que nos números reais...

E, claro, tens o problema de só teres provado as coisas por um lado, como te disse: para todos os efeitos, só provaste a existência de uma inversa à direita...

Ok, penso que já entendi. Como ainda não tive nenhuma aula prática (só vou ter esta semana) há coisas que não sáo abordadas nas teóricas e depois fico um bocado perdido nesse tipo de coisas ahah. Obrigado! :)

Já agora, se alguém me puder ajudar no seguinte exercício:

Um pequeno balão esférico está a ser cheio de gás à razão de [imath]1 m^3/s[/imath]. No instante inicial ([imath]t = 0s[/imath]) considere o balão vazio ([imath] V = 0 m^3[/imath]). Qual a razão de crescimento do diâmetro, 2s depois da operação começar?

Eu comecei por indicar as variáveis do problema: V (volume), t (tempo) e c (diâmetro).

Do problema, pode dizer-se que [imath]\frac{dV}{dt} = 1\ m^3 /s[/imath]. Assim:

1) [math]\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dc} \times \frac{dc}{dt}[/math]
Como [imath]V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi}{3}c^3[/imath], sendo c o diâmetro, vem que [imath]\frac{dV}{dc} = \pi d^2[/imath] (situação genérica).

Pretende descobrir-se [imath]\frac{dc}{dt}[/imath] quando t = 2s. A partir de 1 obtém-se:
[math]\frac{dc}{dt} = \frac{1}{\pi d^2}[/math] (porque [imath]\frac{dV}{dt}[/imath] é constante)

Contudo, sendo esta a situação "genérica", queria aplicá-la quando t = 2s para saber a resposta final, mas a única incógnita que tenho é o diâmetro... Como posso resolver isto? A solução final é [imath]\frac{2}{\sqrt[3]{12^2 \pi}}[/imath] m/s.

 

[NemoExNihilo]

Já agora, se alguém me puder ajudar no seguinte exercício:


Eu comecei por indicar as variáveis do problema: V (volume), t (tempo) e c (diâmetro).

Do problema, pode dizer-se que [imath]\frac{dV}{dt} = 1\ m^3 /s[/imath]. Assim:

1) [math]\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dc} \times \frac{dc}{dt}[/math]
Como [imath]V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi}{3}c^3[/imath], sendo c o diâmetro, vem que [imath]\frac{dV}{dc} = \pi d^2[/imath] (situação genérica).

Pretende descobrir-se [imath]\frac{dc}{dt}[/imath] quando t = 2s. A partir de 1 obtém-se:
[math]\frac{dc}{dt} = \frac{1}{\pi d^2}[/math] (porque [imath]\frac{dV}{dt}[/imath] é constante)

Contudo, sendo esta a situação "genérica", queria aplicá-la quando t = 2s para saber a resposta final, mas a única incógnita que tenho é o diâmetro... Como posso resolver isto? A solução final é [imath]\frac{2}{\sqrt[3]{12^2 \pi}}[/imath] m/s.

Repara que, quando chegas a [imath]\frac{d c}{dt} = \frac{1}{\pi d^2}[/imath], na verdade, queres dizer [imath]\frac{d c}{dt} = \frac{1}{\pi \left(c(t)\right)^2}[/imath], o que é uma equação diferencial. O que é chato e provavelmente fora do teu nível de conhecimentos, além de (assim de cabeça) não ser particularmente fácil de se resolver, visto que até é não linear e tudo.

No entanto, penso que tens uma forma de contornar o problema: [imath]\frac{dc}{dt} = \frac{dc}{dV}\times \frac{dV}{dt}[/imath], e acho que (se não me enganei no rabisco abreviado que fiz) deves conseguir calcular [imath]\frac{dc}{dV}[/imath] sem problemas de maior.

 

[floater3]

Olá. Estou a resolver exercícios sobre aplicações de derivadas e não estou a conseguir fazer nada neste porque não estou a entender o enunciado ao ponto de conseguir fazer um esquema que me permita começar a pensar numa forma de resolver. Como é que vocês interpretam isto?

 

[NemoExNihilo]

Olá. Estou a resolver exercícios sobre aplicações de derivadas e não estou a conseguir fazer nada neste porque não estou a entender o enunciado ao ponto de conseguir fazer um esquema que me permita começar a pensar numa forma de resolver. Como é que vocês interpretam isto?
Ver anexo 22100

Isto desperta-me um grande trauma de Mecânica e Ondas (agora, suponho, Mecânica e Relatividade), onde abundavam problemas destes com descrições estupidamente ambíguas e cuja resolução só era possível se interpretasses a situação da mesma forma que quem escreveu o exercício, com as mesmas simplificações por vezes um bocado abstrusas.

Eu vou ter ainda de pensar um bom bocado para ver se percebo o que é que eles queriam, mas eu recomendava-te a tentar pedir mais esclarecimentos em relação à forma como eles estão a ver a geometria da situação, porque não é mesmo nada claro o que é suposto que assumamos que se está a passar.

 

[KlausEndler]

Olá. Estou a resolver exercícios sobre aplicações de derivadas e não estou a conseguir fazer nada neste porque não estou a entender o enunciado ao ponto de conseguir fazer um esquema que me permita começar a pensar numa forma de resolver. Como é que vocês interpretam isto?
Ver anexo 22100

Pelos vistos dão os mesmos exercícios. Já fiz esse, eu considerei que a altura é sempre 10 metros e o papagaio só varia a sua localização horizontalmente. Basicamente ficas com triângulos retângulos sempre ( hipotenusa é o papagaio, um dos catetos é 10 e o outro é a distância horizontal)

Post automatically merged: 3 Novembro 2021

Malta, alguém me consegue dizer o que é suposto entender sobre a noção de diferencial? Foi tudo dado rápido e ignorados os exercícios, não faço a mínima como os fazer. Alguma sugestão/ideia/exemplo, obrigado desde já!

 

[floater3]

Pelos vistos dão os mesmos exercícios. Já fiz esse, eu considerei que a altura é sempre 10 metros e o papagaio só varia a sua localização horizontalmente. Basicamente ficas com triângulos retângulos sempre ( hipotenusa é o papagaio, um dos catetos é 10 e o outro é a distância horizontal)

Post automatically merged: 3 Novembro 2021

Malta, alguém me consegue dizer o que é suposto entender sobre a noção de diferencial? Foi tudo dado rápido e ignorados os exercícios, não faço a mínima como os fazer. Alguma sugestão/ideia/exemplo, obrigado desde já!

Bem... já resolvi o exercício de acordo com essa interpretação. Entretanto perguntei ao meu professor e ele sugeriu essa interpretação para o problema. Mesmo assim, acho que o enunciado é muito estranho e está um bocado ambíguo, contudo, parece-me que o objetivo é mesmo complicar (estupidamente) nessa parte, visto que a resolução - interpretando dessa forma - é praticamente imediata.

Quanto à noção de diferencial, o meu professor também não abordou e "saltou" os exercícios (nem dei por eles). Será que deixaram de dar essa parte? Acho que vou questionar na próxima semana.

 

[dariodias97]

Eu ainda não tive cálculo diferencial (vou ter no 2º semestre), mas isto interessa-me. Tentei resolver o exercício proposto ao @floater3, interpretei como o @KlausEndler, mas nem cheguei perto do resultado. Alguém pode mostrar a resolução, por favor?

Edit: estava a fazer mal o cálculo da derivada, já me deu certo...

 

[floater3]

Interpretei o enunciado da seguinte forma:


Temos que a posição x do papagaio (mais precisamente da corda que o segura) é data por: [imath]x(t) = \sqrt{0.04t^2 -100}[/imath]

Pretende saber-se a velocidade do papagaio, que pode ser obtida pela seguinte expressão genérica:
[imath]\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{0.04t^2-100}} \times 0.08t[/imath]

Queremos saber [imath]\frac{dx}{dt}[/imath] quando o comprimento da corda é 12.5 metros. [math]0.2t = 12.5 ⇔ t = 62.5 s[/math]
Calcula-se:
[math]\frac{dx}{dt}|_{t=62.5} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{7.5} \times 5 = \frac{1}{3} \ (m/s)[/math]

 

[KlausEndler]

Bem... já resolvi o exercício de acordo com essa interpretação. Entretanto perguntei ao meu professor e ele sugeriu essa interpretação para o problema. Mesmo assim, acho que o enunciado é muito estranho e está um bocado ambíguo, contudo, parece-me que o objetivo é mesmo complicar (estupidamente) nessa parte, visto que a resolução - interpretando dessa forma - é praticamente imediata.

Quanto à noção de diferencial, o meu professor também não abordou e "saltou" os exercícios (nem dei por eles). Será que deixaram de dar essa parte? Acho que vou questionar na próxima semana.

Ya, aconteceu-me o mesmo. Entretanto a professora das teóricas estava no gabinete e deu-me umas luzes sobre a noção de diferencial. Continuei sem conseguir entender o 2.2. ou o 2.4, enfim...

 

[floater3]

Alguém consegue ajudar-me no seguinte exercício?

Se [imath]y[/imath] é uma função de [imath]u[/imath] e [imath]u[/imath] uma função de [imath]x[/imath] e se existe [imath]\frac{d^2y}{dx^2}[/imath], então prove que:
[math]\frac{d^2y}{x^2} = \frac{dy}{du} \frac{d^2u}{dx^2} + \left( \frac{du}{dx}\right)^2 \frac{d^2y}{du^2}[/math]

Até agora fiz o seguinte:

Considerei [imath]\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}[/imath]. Depois, como [imath]\frac{d^2y}{dx^2}[/imath] é a derivada de segunda ordem:
[math]\frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{dx}\right]}{dx} = \frac{d \left[\frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \right]}{dx}[/math][math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{du}\right]}{dx} \times \frac{du}{dx} + \frac{d \left[ \frac{du}{dx}\right]}{dx} \times \frac{dy}{du}[/math]
Agora não sei bem o que fazer... Tenho alguma dificuldade em manipular a expressão porque ainda não me habituei completamente à notação de Leibniz, o que me causa alguma dificuldade na intepretação das coisas e na determinação de expressões equivalentes.