Matemática (Ensino Superior): Dúvidas, Apontamentos e Exercícios

Hey! Tive a minha primeira aula de Álgebra Linear e estou com algumas dúvidas. Deparo-me com alguns exercícios "simples" que aparecem nos slides disponibilizados pela professora mas não sei bem como mostrar aquilo que é pretendido (geralmente são coisas relativamente óbvias). Por exemplo, o exercício seguinte:


Ou


Como posso mostrar isso sem recorrer a exemplos concretos? Obrigado (e desculpem a ignorância).
Creio que a ideia básica será designares as componentes da matriz [imath]M[/imath] genericamente como [imath]M_{i,j}[/imath]

Uma matriz [imath]M[/imath] é simétrica quando [imath]M = M^t[/imath]

Relembra que [imath]M^t_{i,j}= M_{j,i}[/imath]

Os vários [imath]M_{i,j}[/imath] são números, logo, têm todas as propriedades comutativas e associativas habituais.

Acho que isto deve ser suficiente para chegares lá por ti, mas aqui ficam o que penso serem as soluções:

[math]\left(A+B\right)_{i,j} = A_{i,j} + B_{i,j} \qquad \left(A+B\right)^t_{i, j} = A_{j,i} + B_{j,i} = A^t_{i,j} + B^t_{i,j}[/math]

[math]\left(A + A^t\right)_{i,j} = A_{i,j} + A_{j,i} = A_{j,i} + A_{i,j} = \left(A^t + A\right)_{i,j} = \left(A + A^t\right)^t_{i,j}[/math]

Disclaimer: eu tenho comprovadamente o hábito de ser um idiota. Penso que não cometi nenhum erro no raciocínio, mas por favor não te fies em mim, antes em ti próprio e na tua compreensão da matéria. 😉

Edit: Eu e o [imath]\LaTeX[/imath] nem sempre nos damos bem.
 
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^ @NemoExNihilo

No Spoiler1 não estás a usar o enunciado que é suposto demonstrar para o demonstrar?

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^ isto é verdadeiro porque:

[imath](A + B)_{ij}^T = ( A_{ij} + B_{ij} )^T = A_{ji} + B_{ji}[/imath]

Mas ^ isto é verdadeiro porque [imath](A + B)^T = A^T + B^T[/imath]

---

No Spoiler2 acabas com:
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Não se pode fazer isto diretamente sem ij?
Uma matriz M é simétrica se [imath]M = M^T[/imath]
--> A matriz [imath](A + A^T)[/imath] é simétrica se [imath](A + A^T) = (A + A^T)^T[/imath]

[imath](A + A^T) = (A^T + A)^T = (A + A^T)^T[/imath]
 
No Spoiler1 não estás a usar o enunciado que é suposto demonstrar para o demonstrar?

1635002162450.png

^ isto é verdadeiro porque:

(A+B)ijT=(Aij+Bij)T=Aji+Bji(A + B)_{ij}^T = ( A_{ij} + B_{ij} )^T = A_{ji} + B_{ji}(A+B)ijT=(Aij+Bij)T=Aji+Bji

Mas ^ isto é verdadeiro porque (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T(A+B)T=AT+BT
Devo admitir que saltei esse passo, sim:

[math]\left ( A + B \right)^t_{i,j} = \left (A + B \right)_{j,i} = A_{j,i} + B_{j,i} = ...[/math]
Achei-o óbvio, mas se calhar era logo cinco valores a menos. Acontece...

No Spoiler2 acabas com:
Ver anexo 21984
Não se pode fazer isto diretamente sem ij?
Uma matriz M é simétrica se [imath]M = M^T[/imath]
--> A matriz [imath](A + A^T)[/imath] é simétrica se [imath](A + A^T) = (A + A^T)^T[/imath]

[imath](A + A^T) = (A^T + A)^T = (A + A^T)^T[/imath]
Sim, claro, eventualmente seria mais recomendável e pedagógico até, uma vez que tratamos das matrizes como objectos sem recorrer às suas componentes. No entanto, pelo menos para mim, é mais claro fazer através das componentes, sobretudo quando se está a começar, como é o caso do @floater3.
 
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Devo admitir que saltei esse passo, sim:

(A+B)i,jt=(A+B)j,i=Aj,i+Bj,i=...\left ( A + B \right)^t_{i,j} = \left (A + B \right)_{j,i} = A_{j,i} + B_{j,i} = ...(A+B)i,jt=(A+B)j,i=Aj,i+Bj,i=...
Achei-o óbvio, mas se calhar era logo cinco valores a menos. Acontece...
Ah então era assim. Eu não tinha percebido.

Também estou a começar com matrizes. Nunca tinha visto [imath](A + B)_{i,j}[/imath].

Neste tipo de exercício (demonstrações) algumas vezes entendo bem rapidamente outras vezes ando perdido em círculos. Ontem andei às voltas a tentar encontrar uma maneira alternativa de mostrar que [imath](A + B)^T = A^T + B^T[/imath], algumas vezes pareceu-me que cheguei lá, mas depois parecia-me que andava sempre em círculos.
Achas que isto [imath]\lor[/imath] serve como demonstração?
Seja C = A + B

[imath](A + B)^T = (C)^T[/imath]
<=>
[imath]A + B = C[/imath]
<=>
[imath]A^T + B^T = C^T[/imath]
Então:
[imath]A^T + B^T = (A + B)^T[/imath]
 
Ah então era assim. Eu não tinha percebido.

Também estou a começar com matrizes. Nunca tinha visto [imath](A + B)_{i,j}[/imath].

Neste tipo de exercício (demonstrações) algumas vezes entendo bem rapidamente outras vezes ando perdido em círculos. Ontem andei às voltas a tentar encontrar uma maneira alternativa de mostrar que [imath](A + B)^T = A^T + B^T[/imath], algumas vezes pareceu-me que cheguei lá, mas depois parecia-me que andava sempre em círculos.
Achas que isto [imath]\lor[/imath] serve como demonstração?
Seja C = A + B

[imath](A + B)^T = (C)^T[/imath]
<=>
[imath]A + B = C[/imath]
<=>
[imath]A^T + B^T = C^T[/imath]
Então:
[imath]A^T + B^T = (A + B)^T[/imath]
Eu acho que, neste caso, estás a ser circular, porque na passagem de [imath]A + B = C[/imath] para [imath]A^t + B^t = C^t[/imath] já estás a usar [imath]\left (A + B\right)^t = A^t + B^t[/imath]. Na verdade, sem admitires essa premissa, a única coisa que podes concluir é que [imath]C^t = \left (A + B\right)^t[/imath], o que não te permite ir a lado nenhum.

De momento, não estou a ver nenhuma forma fácil de tentares fazer uma prova por contradição (mas também nunca fui famoso pela minha argúcia para a descoberta de provas), acho que aqui o mais simples é mesmo ires pelas componentes.
 
Hey!
Estou com algumas dificuldades em resolver o seguinte exercício:
Seja [imath]A[/imath] uma matriz quadrada [imath]m \times m[/imath] invertível e [imath]n[/imath] um número inteiro positivo. Mostre que [imath]A^n[/imath] é invertível e usando a inversa [imath]A^{-1}[/imath] de [imath]A[/imath], indique a inversa de [imath]A^n[/imath].
Neste exercício ainda não é para aplicar a noção de determinante de uma matriz. Ainda que não tenha a certeza se é possível fazê-lo desta forma, penso que o objetivo é partir do seguinte pressuposto:
Uma matriz [imath]A[/imath] quadrada [imath]n \times n[/imath] é invertível quando existe uma matriz [imath]B[/imath] (ou seja, [imath]A^{-1}[/imath]) quadrada [imath]n \times n[/imath] tal que [imath]AB=BA=Id_n[/imath].
Alguém consegue ajudar-me? 🙂
 
Olá, alguem me pode explicar o que são subsucessões?
Sub(-)sucessões, parece-me, serão sucessões construídas à custa dos termos de outra sucessão, por exemplo, escolhendo os termos ímpares, ou escolhendo todos os termos menos o 10.º, ou escolhendo só os primos, ou qualquer outro critério que se queira.

Hey!
Estou com algumas dificuldades em resolver o seguinte exercício:

Neste exercício ainda não é para aplicar a noção de determinante de uma matriz. Ainda que não tenha a certeza se é possível fazê-lo desta forma, penso que o objetivo é partir do seguinte pressuposto:

Alguém consegue ajudar-me? 🙂
[math]A^n = A \times A \times \ldots \times A \times A[/math]

[math]A^n \times \left(A^n\right)^{-1} = Id[/math]

[math]Id = A A^{-1} = A Id A^{-1} = A A A^{-1} A^{-1} = \ldots[/math]

Não te esqueças que isto tem de ser à esquerda e à direita!

Acho que só com isto chegas lá, não vou pôr a solução só para garantir que pensas por ti no resto. 😜
 
Id=AA−1=AIdA−1=AAA−1A−1=…
Só para ter a certeza, o produto de uma determinada matriz A com a matriz identidade continua a dar A, certo?
Não te esqueças que isto tem de ser à esquerda e à direita!
Não entendi bem a que te referes.
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Portanto, a partir dos teus hints eu faria algo do tipo:

A matriz A é invertível, logo, existe uma matriz [imath]A^{-1}[/imath] tal que [imath]AA^{-1} = Id[/imath]. O produto entre uma determinada matriz (A, por exemplo) e uma matriz identidade é igual a essa matriz (A). Assim:

[imath]Id = AA^{-1} = A Id A^{-1} = A A A^{-1} A^{-1} = A A Id A^{-1} A^{-1} = A A A A^{-1} A^{-1} A^{-1} = A A A (...) A^{-1} A^{-1} A^{-1} = A^n A^{-n}[/imath]

Deste modo, conclui-se que qualquer que seja o valor de [imath]n \in \Z^+[/imath], a matriz [imath]A^n[/imath] é invertível pois existe [imath]A^{-n}[/imath] tal que [imath]A^nA^{-n} = Id[/imath].
 
Última edição:
Só para ter a certeza, o produto de uma determinada matriz A com a matriz identidade continua a dar A, certo?
Isso é a definição de matriz identidade, sim.
Não entendi bem a que te referes.
Era uma dica para te levar a pensar no facto de teres de provar que consegues ter uma "inversa à esquerda" e uma "inversa à direita" de [imath]A^n[/imath]. Isto é, tens de determinar uma matriz [imath]M[/imath] tal que [imath]M A^n = Id[/imath] e [imath]A^n M = Id[/imath].

Portanto, a partir dos teus hints eu faria algo do tipo:

Queria destacar que cometes um abuso de notação que, para todos os efeitos, pode provavelmente desclassificar-te a resposta toda: [imath]\left(A^{-1}\right)^n[/imath] não teria necessariamente de ser [imath]A^{-n}[/imath].

Aliás, como de certa maneira já concluíste, a ideia toda é provares que [imath]\left(A^{-1}\right)^n = \left(A^n\right)^{-1}[/imath]. Não era garantido que isso sucedesse. Claro, como [imath]\left(A^{-1}\right)^n = \left(A^n\right)^{-1}[/imath], faz sentido que se use a notação [imath]A^{-n}[/imath] para abreviar, mas é importante que mantenhas bem presente que a exponenciação das matrizes por coisas que não sejam números naturais (no sentido de inteiros não-negativos) não é exactamente a mesma coisa que nos números reais...

E, claro, tens o problema de só teres provado as coisas por um lado, como te disse: para todos os efeitos, só provaste a existência de uma inversa à direita...
 
Isso é a definição de matriz identidade, sim.

Era uma dica para te levar a pensar no facto de teres de provar que consegues ter uma "inversa à esquerda" e uma "inversa à direita" de [imath]A^n[/imath]. Isto é, tens de determinar uma matriz [imath]M[/imath] tal que [imath]M A^n = Id[/imath] e [imath]A^n M = Id[/imath].



Queria destacar que cometes um abuso de notação que, para todos os efeitos, pode provavelmente desclassificar-te a resposta toda: [imath]\left(A^{-1}\right)^n[/imath] não teria necessariamente de ser [imath]A^{-n}[/imath].

Aliás, como de certa maneira já concluíste, a ideia toda é provares que [imath]\left(A^{-1}\right)^n = \left(A^n\right)^{-1}[/imath]. Não era garantido que isso sucedesse. Claro, como [imath]\left(A^{-1}\right)^n = \left(A^n\right)^{-1}[/imath], faz sentido que se use a notação [imath]A^{-n}[/imath] para abreviar, mas é importante que mantenhas bem presente que a exponenciação das matrizes por coisas que não sejam números naturais (no sentido de inteiros não-negativos) não é exactamente a mesma coisa que nos números reais...

E, claro, tens o problema de só teres provado as coisas por um lado, como te disse: para todos os efeitos, só provaste a existência de uma inversa à direita...
Ok, penso que já entendi. Como ainda não tive nenhuma aula prática (só vou ter esta semana) há coisas que não sáo abordadas nas teóricas e depois fico um bocado perdido nesse tipo de coisas ahah. Obrigado! :)

Já agora, se alguém me puder ajudar no seguinte exercício:
Um pequeno balão esférico está a ser cheio de gás à razão de [imath]1 m^3/s[/imath]. No instante inicial ([imath]t = 0s[/imath]) considere o balão vazio ([imath] V = 0 m^3[/imath]). Qual a razão de crescimento do diâmetro, 2s depois da operação começar?

Eu comecei por indicar as variáveis do problema: V (volume), t (tempo) e c (diâmetro).

Do problema, pode dizer-se que [imath]\frac{dV}{dt} = 1\ m^3 /s[/imath]. Assim:

1) [math]\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dc} \times \frac{dc}{dt}[/math]
Como [imath]V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi}{3}c^3[/imath], sendo c o diâmetro, vem que [imath]\frac{dV}{dc} = \pi d^2[/imath] (situação genérica).

Pretende descobrir-se [imath]\frac{dc}{dt}[/imath] quando t = 2s. A partir de 1 obtém-se:
[math]\frac{dc}{dt} = \frac{1}{\pi d^2}[/math] (porque [imath]\frac{dV}{dt}[/imath] é constante)

Contudo, sendo esta a situação "genérica", queria aplicá-la quando t = 2s para saber a resposta final, mas a única incógnita que tenho é o diâmetro... Como posso resolver isto? A solução final é [imath]\frac{2}{\sqrt[3]{12^2 \pi}}[/imath] m/s.
 
Já agora, se alguém me puder ajudar no seguinte exercício:


Eu comecei por indicar as variáveis do problema: V (volume), t (tempo) e c (diâmetro).

Do problema, pode dizer-se que [imath]\frac{dV}{dt} = 1\ m^3 /s[/imath]. Assim:

1) [math]\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dc} \times \frac{dc}{dt}[/math]
Como [imath]V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi}{3}c^3[/imath], sendo c o diâmetro, vem que [imath]\frac{dV}{dc} = \pi d^2[/imath] (situação genérica).

Pretende descobrir-se [imath]\frac{dc}{dt}[/imath] quando t = 2s. A partir de 1 obtém-se:
[math]\frac{dc}{dt} = \frac{1}{\pi d^2}[/math] (porque [imath]\frac{dV}{dt}[/imath] é constante)

Contudo, sendo esta a situação "genérica", queria aplicá-la quando t = 2s para saber a resposta final, mas a única incógnita que tenho é o diâmetro... Como posso resolver isto? A solução final é [imath]\frac{2}{\sqrt[3]{12^2 \pi}}[/imath] m/s.
Repara que, quando chegas a [imath]\frac{d c}{dt} = \frac{1}{\pi d^2}[/imath], na verdade, queres dizer [imath]\frac{d c}{dt} = \frac{1}{\pi \left(c(t)\right)^2}[/imath], o que é uma equação diferencial. O que é chato e provavelmente fora do teu nível de conhecimentos, além de (assim de cabeça) não ser particularmente fácil de se resolver, visto que até é não linear e tudo.

No entanto, penso que tens uma forma de contornar o problema: [imath]\frac{dc}{dt} = \frac{dc}{dV}\times \frac{dV}{dt}[/imath], e acho que (se não me enganei no rabisco abreviado que fiz) deves conseguir calcular [imath]\frac{dc}{dV}[/imath] sem problemas de maior.
 
Olá. Estou a resolver exercícios sobre aplicações de derivadas e não estou a conseguir fazer nada neste porque não estou a entender o enunciado ao ponto de conseguir fazer um esquema que me permita começar a pensar numa forma de resolver. 😅 Como é que vocês interpretam isto?
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Olá. Estou a resolver exercícios sobre aplicações de derivadas e não estou a conseguir fazer nada neste porque não estou a entender o enunciado ao ponto de conseguir fazer um esquema que me permita começar a pensar numa forma de resolver. 😅 Como é que vocês interpretam isto?
Ver anexo 22100
Isto desperta-me um grande trauma de Mecânica e Ondas (agora, suponho, Mecânica e Relatividade), onde abundavam problemas destes com descrições estupidamente ambíguas e cuja resolução só era possível se interpretasses a situação da mesma forma que quem escreveu o exercício, com as mesmas simplificações por vezes um bocado abstrusas.

Eu vou ter ainda de pensar um bom bocado para ver se percebo o que é que eles queriam, mas eu recomendava-te a tentar pedir mais esclarecimentos em relação à forma como eles estão a ver a geometria da situação, porque não é mesmo nada claro o que é suposto que assumamos que se está a passar.
 
Olá. Estou a resolver exercícios sobre aplicações de derivadas e não estou a conseguir fazer nada neste porque não estou a entender o enunciado ao ponto de conseguir fazer um esquema que me permita começar a pensar numa forma de resolver. 😅 Como é que vocês interpretam isto?
Ver anexo 22100
Pelos vistos dão os mesmos exercícios. Já fiz esse, eu considerei que a altura é sempre 10 metros e o papagaio só varia a sua localização horizontalmente. Basicamente ficas com triângulos retângulos sempre ( hipotenusa é o papagaio, um dos catetos é 10 e o outro é a distância horizontal)
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Malta, alguém me consegue dizer o que é suposto entender sobre a noção de diferencial? Foi tudo dado rápido e ignorados os exercícios, não faço a mínima como os fazer. Alguma sugestão/ideia/exemplo, obrigado desde já!
 
Pelos vistos dão os mesmos exercícios. Já fiz esse, eu considerei que a altura é sempre 10 metros e o papagaio só varia a sua localização horizontalmente. Basicamente ficas com triângulos retângulos sempre ( hipotenusa é o papagaio, um dos catetos é 10 e o outro é a distância horizontal)
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Malta, alguém me consegue dizer o que é suposto entender sobre a noção de diferencial? Foi tudo dado rápido e ignorados os exercícios, não faço a mínima como os fazer. Alguma sugestão/ideia/exemplo, obrigado desde já!
Bem... já resolvi o exercício de acordo com essa interpretação. Entretanto perguntei ao meu professor e ele sugeriu essa interpretação para o problema. Mesmo assim, acho que o enunciado é muito estranho e está um bocado ambíguo, contudo, parece-me que o objetivo é mesmo complicar (estupidamente) nessa parte, visto que a resolução - interpretando dessa forma - é praticamente imediata.

Quanto à noção de diferencial, o meu professor também não abordou e "saltou" os exercícios (nem dei por eles). Será que deixaram de dar essa parte? Acho que vou questionar na próxima semana.
 
Eu ainda não tive cálculo diferencial (vou ter no 2º semestre), mas isto interessa-me. Tentei resolver o exercício proposto ao @floater3, interpretei como o @KlausEndler, mas nem cheguei perto do resultado. Alguém pode mostrar a resolução, por favor?

Edit: estava a fazer mal o cálculo da derivada, já me deu certo...
 
Última edição:
Interpretei o enunciado da seguinte forma:
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Temos que a posição x do papagaio (mais precisamente da corda que o segura) é data por: [imath]x(t) = \sqrt{0.04t^2 -100}[/imath]

Pretende saber-se a velocidade do papagaio, que pode ser obtida pela seguinte expressão genérica:
[imath]\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{0.04t^2-100}} \times 0.08t[/imath]

Queremos saber [imath]\frac{dx}{dt}[/imath] quando o comprimento da corda é 12.5 metros. [math]0.2t = 12.5 ⇔ t = 62.5 s[/math]
Calcula-se:
[math]\frac{dx}{dt}|_{t=62.5} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{7.5} \times 5 = \frac{1}{3} \ (m/s)[/math]
 
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Bem... já resolvi o exercício de acordo com essa interpretação. Entretanto perguntei ao meu professor e ele sugeriu essa interpretação para o problema. Mesmo assim, acho que o enunciado é muito estranho e está um bocado ambíguo, contudo, parece-me que o objetivo é mesmo complicar (estupidamente) nessa parte, visto que a resolução - interpretando dessa forma - é praticamente imediata.

Quanto à noção de diferencial, o meu professor também não abordou e "saltou" os exercícios (nem dei por eles). Será que deixaram de dar essa parte? Acho que vou questionar na próxima semana.
Ya, aconteceu-me o mesmo. Entretanto a professora das teóricas estava no gabinete e deu-me umas luzes sobre a noção de diferencial. Continuei sem conseguir entender o 2.2. ou o 2.4, enfim...
 
Alguém consegue ajudar-me no seguinte exercício?

Se [imath]y[/imath] é uma função de [imath]u[/imath] e [imath]u[/imath] uma função de [imath]x[/imath] e se existe [imath]\frac{d^2y}{dx^2}[/imath], então prove que:
[math]\frac{d^2y}{x^2} = \frac{dy}{du} \frac{d^2u}{dx^2} + \left( \frac{du}{dx}\right)^2 \frac{d^2y}{du^2}[/math]

Até agora fiz o seguinte:

Considerei [imath]\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}[/imath]. Depois, como [imath]\frac{d^2y}{dx^2}[/imath] é a derivada de segunda ordem:
[math]\frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{dx}\right]}{dx} = \frac{d \left[\frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \right]}{dx}[/math][math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{du}\right]}{dx} \times \frac{du}{dx} + \frac{d \left[ \frac{du}{dx}\right]}{dx} \times \frac{dy}{du}[/math]
Agora não sei bem o que fazer... Tenho alguma dificuldade em manipular a expressão porque ainda não me habituei completamente à notação de Leibniz, o que me causa alguma dificuldade na intepretação das coisas e na determinação de expressões equivalentes.