Matemática (Ensino Superior): Dúvidas, Apontamentos e Exercícios

NemoExNihilo

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Alguém consegue ajudar-me no seguinte exercício?



Até agora fiz o seguinte:

Considerei [imath]\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}[/imath]. Depois, como [imath]\frac{d^2y}{dx^2}[/imath] é a derivada de segunda ordem:
[math]\frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{dx}\right]}{dx} = \frac{d \left[\frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \right]}{dx}[/math][math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{du}\right]}{dx} \times \frac{du}{dx} + \frac{d \left[ \frac{du}{dx}\right]}{dx} \times \frac{dy}{du}[/math]
Agora não sei bem o que fazer... Tenho alguma dificuldade em manipular a expressão porque ainda não me habituei completamente à notação de Leibniz, o que me causa alguma dificuldade na intepretação das coisas e na determinação de expressões equivalentes.
Acho que a única coisa que te falta é considerares:

[math]\frac{d \left (\frac{d u}{dx} \right)}{dx} = \frac{d^2 u}{d x^2}[/math]
Isto origina um dos termos da igualdade pretendida. Para obteres o outro, terás de pegar em

[math]\frac{d \left ( \frac{dy}{du} \right) }{dx}[/math]
E tentares aplicar a derivada da composta para obteres uma segunda derivada em ordem a [imath]u[/imath]...

(Estou a deixar isto propositadamente vago para ver se consegues dar o passo que provavelmente será o essencial do exercício, admitindo que existe uma intenção pedagógica por detrás dele.)
 

floater3

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Acho que a única coisa que te falta é considerares:

[math]\frac{d \left (\frac{d u}{dx} \right)}{dx} = \frac{d^2 u}{d x^2}[/math]
Isto origina um dos termos da igualdade pretendida. Para obteres o outro, terás de pegar em

[math]\frac{d \left ( \frac{dy}{du} \right) }{dx}[/math]
E tentares aplicar a derivada da composta para obteres uma segunda derivada em ordem a [imath]u[/imath]...

(Estou a deixar isto propositadamente vago para ver se consegues dar o passo que provavelmente será o essencial do exercício, admitindo que existe uma intenção pedagógica por detrás dele.)
Muito obrigado pela ajuda! 🙂 Acho que é isto:

[math]\frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{dx}\right]}{dx} = \frac{d \left[\frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \right]}{dx}[/math][math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{du}\right]}{dx} \times \frac{du}{dx} + \frac{d \left[ \frac{du}{dx}\right]}{dx} \times \frac{dy}{du}[/math]
[math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{du}\right]}{du} \times \frac{du}{dx} \times \frac{du}{dx} + \frac{d^2u}{dx^2} \times \frac{dy}{du}[/math]
[math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2+\frac{d^2u}{dx^2} \frac{dy}{du}[/math]
[math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{dy}{du} \frac{d^2u}{dx^2} + \left( \frac{du}{dx} \right)^2 \frac{d^2y}{du^2}[/math]
Quero responder-te no tópico de programação mas vou ter testes esta semana e estou a aplicar-me mais noutras coisas. Entretanto devo ter um "espacinho" para pensar sobre isso e tento responder. De qualquer forma, acho que já percebi aquilo que sugeriste. :))
 
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NemoExNihilo

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Muito obrigado pela ajuda! 🙂 Acho que é isto:

[math]\frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{dx}\right]}{dx} = \frac{d \left[\frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \right]}{dx}[/math][math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{du}\right]}{dx} \times \frac{du}{dx} + \frac{d \left[ \frac{du}{dx}\right]}{dx} \times \frac{dy}{du}[/math]
[math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{d \left[ \frac{dy}{du}\right]}{du} \times \frac{du}{dx} \times \frac{du}{dx} + \frac{d^2u}{dx^2} \times \frac{dy}{du}[/math]
[math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2+\frac{d^2u}{dx^2} \frac{dy}{du}[/math]
[math]\Leftrightarrow \frac{d^2y}{x^2} = \frac{dy}{du} \frac{d^2u}{dx^2} + \left( \frac{du}{dx} \right)^2 \frac{d^2y}{du^2}[/math]
Quero responder-te no tópico de programação mas vou ter testes esta semana e estou a aplicar-me mais noutras coisas. Entretanto devo ter um "espacinho" para pensar sobre isso e tento responder. De qualquer forma, acho que já percebi aquilo que sugeriste. :))
Acho que é precisamente isso, sim.

Claro, toma o tempo que precisares! Bom estudo. 😉
 
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NemoExNihilo

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Ver anexo 22118 Alguém consegue enviar a resolução disto? Obrigado.
O denominador é suposto ser [math]1 + \frac{\frac{1}{1}}{1+ \frac{1}{x}}[/math] ou [math]1+\frac{1}{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}[/math]
É que a expressão peca por falta de clareza...
 

NemoExNihilo

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O segundo, desculpa a confusão.
Se não me engano, então, podes simplificar o denominador:

[math]1+\frac{1}{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} = 1 + 1 + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{x} = \frac{2x + 1}{x}[/math]
O que te dá uma forma muito mais fácil para aplicares, por exemplo, a derivada de um quociente.
 

floater3

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Consegui (penso eu) fazer o exercício 9, tendo obtido o plano de equação x - 2y + z = 0. Não estou a entender de que forma consigo, a partir disto, tirar alguma conclusão para o exercício 10.

Help? 🥲
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Consegui (penso eu) fazer o exercício 9, tendo obtido o plano de equação x - 2y + z = 0. Não estou a entender de que forma consigo, a partir disto, tirar alguma conclusão para o exercício 10.

Help? 🥲
Well, acho que se fez luz. Como w pertence ao subespaço x - 2y + z = 0, então o subespaço vetorial gerado por esses três vetores é o próprio subespaço, determinado na questão nº 9.
 
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Well, acho que se fez luz. Como w pertence ao subespaço x - 2y + z = 0, então o subespaço vetorial gerado por esses três vetores é o próprio subespaço, determinado na questão nº 9.

Vinha aqui responder isso mesmo. Às vezes é só preciso insistir um pouco!
 
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Olá. Tenho tido várias aulas de Análise Matemática I (cálculo diferencial e integral, basicamente) e consigo perceber bem as técnicas de primitivação e os "truques" que às vezes são aplicados para resolver um integral. O problema é que, em geral, não me sinto capaz de - por mim mesmo - lembrar-me dessas estratégias. Para além disso, nunca sei bem como decidir se devo fazer integração por partes, substituição simples, substituição trigonométrica, etc... Sempre que tento resolver exercícios em casa fico "empatado" durante imenso tempo e depois começo a pensar num desfecho um bocadinho trágico porque o teste dura apenas 1h30 e, para além de outras coisas, temos 4 integrais para fazer que totalizam 8 valores...

Dizem que é uma questão de prática, mas tenho tentado praticar e parece que não resulta. Tenho tentado perceber o que poderá estar mal na forma como tenho estudado e apercebi-me que a maioria das dúvidas surge quando existem entidades trigonómetricas no integral. No secundário nem sequer falamos da função arcsin, arccos e arctan e muito menos da função secante, cossecante e cotangente. Acho que, por esta razão, sou muito lento a estabelecer relações entre estas entidades trigonométricas mais complexas, o que dificulta a resolução dos exercícios.

Para além disso, temos uma lista de integrais "imediatos" que temos de saber de cor. Acho um bocado ridículo termos de decorar isso e a tabela de derivadas - não sou muito adepto de decorar coisas (porque a minha memória não ajuda muito). O problema é que confundo frequentemente a tabela de primitivas imediatas com a tabela de derivadas. Eu juro que tento fazer vários exercícios mas, por ser tanta coisa para me lembrar, acontece-me muito eu não conseguir lembrar-me no momento em que faço o exercício.

Concluindo: consigo perceber a resolução dos exercícios mas não me consigo ver a fazer grande parte deles por mim mesmo. Isto tem provocado alguma ansiedade em mim, juntamente com outras UCs que não são propriamente fáceis. Existem por aí algumas "dicas de ouro" que ajudem a ultrapassar grande parte destes problemas?
 
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Miguel0

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Olá, alguem pode me ajudar neste exercicio, por favor?
 

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maria.carolina8

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Bom dia, gostaria de saber se alguem se disponibiliza por favor a ajudar me num exercicio de Análise I

Seja X um subconjunto de R não vazio e majorado. Mostre que o supremo de X é um ponto fronteiro a X.

Obrigada!
 

floater3

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Olá!

Estou a estudar matemática discreta e deparei-me com uma notação que não me lembro de ter visto nas aulas, até porque o professor as dá à velocidade da luz...🥲 O que significam aqueles "símbolos" indicados a vermelho? Pensei em pesquisar no google mas honestamente nem sei bem o que escrever 😅
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Marco L.

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Beabb3

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Boa noite alguem sabe resolver a pergunta 3
 

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