Matemática: Questões e Discussões

 

Alfa

Membro Catedrático
Especialista
Matemática
Apoiante Uniarea
Matrícula
2 Agosto 2015
Mensagens
10,646
Esporadicamente têm surgido em alguns tópicos do fórum algumas discussões sobre Matemática (em especial no Diário do Estudante e nos tópicos dedicados aos cursos de Matemática. Após sugestão do @sтαяℓιgнт cяιsιs e posterior discussão com ele, achámos pertinente a criação de um tópico onde estas discussões tivessem um lugar mais natural.

O tópico é adequado para qualquer questão, comentário, conversa ou discussão com conteúdo matemático, com excepção de:

  • dúvidas de Matemática A, que deverão continuar a ser colocadas no tópico destinado a esse efeito;
  • dúvidas sobre cursos de Matemática, que devem ser colocadas nos tópicos já existentes (ou, caso se justifique, num tópico novo).
Espero que este tópico se revele interessante e pertinente. ;)
 
Bem, já que aqui estou, e antes de dormir, esclarece-me quanto àquilo que disseste sobre um acontecimento ter probabilidade zero não significar que este não se pode realizar. Fiquei um pouco (imensamente) curioso. Até quando eu acordar! :smile:
 
Bem, já que aqui estou, e antes de dormir, esclarece-me quanto àquilo que disseste sobre um acontecimento ter probabilidade zero não significar que este não se pode realizar. Fiquei um pouco (imensamente) curioso. Até quando eu acordar! :smile:

Ponho a resposta em spoiler para não ocupar demasiado espaço (como habitualmente, tenho tendência a alongar-me...).

Para esclarecer esta questão é preciso clarificar os conceitos primeiro (como é habitual em Matemática). Há aqui dois conceitos em jogo:
  • acontecimento impossível
  • acontecimento de probabilidade zero
No estudo da Teoria da Probabilidade que se faz no secundário, estes dois conceitos coincidem. Por esta razão, é um pouco difícil imaginar uma situação em que estas duas expressões não sejam sinónimas. Vamos então esclarecer o que estes conceitos significam.


Exemplo 1: Lançamento de um dado (equilibrado) de seis faces

Lança-se um dado de seis faces e regista-se a face que fica voltada para cima. Nesta experiência, há seis resultados possíveis, que podemos representar pelos números de 1 a 6. A partir destes resultados possíveis, podemos conceber vários acontecimentos, que correspondem a subconjuntos de resultados possíveis:
  • sair 3 -- este acontecimento corresponde ao conjunto {3}
  • sair um número par -- este acontecimento corresponde ao conjunto {2,4,6}
  • sair um número entre 1 e 6, inclusive -- este acontecimento corresponde ao conjunto {1,2,3,4,5,6}
  • sair 7 -- este acontecimento corresponde ao conjunto vazio!
Há aqui dois acontecimentos especiais: o acontecimento certo, que engloba todos os resultados possíveis e o acontecimento impossível, que não engloba nenhum dos resultados possíveis. (Claro que podíamos ter dito "sair 30" em vez de "sair 7"; há várias formas de descrever o acontecimento impossível, mas todas elas descrevem o mesmo acontecimento e correspondem ao conjunto vazio.)

Assim, a noção de acontecimento impossível não tem nada a ver com probabilidades: é simplesmente o acontecimento que corresponde ao conjunto vazio de resultados possíveis.


Exemplo 2: Escolha aleatória de um ponto num quadrado

Imaginemos um quadrado no plano cartesiano (por exemplo, o quadrado de lado 1 limitado pelos eixos coordenados e pelas rectas de equações x=1 e y=1). Escolhe-se aleatoriamente um ponto neste quadrado. Ao contrário do que acontecia no exemplo anterior, os resultados possíveis aqui são em número infinito: há um resultado possível para cada ponto no quadrado! Apesar disto, podemos tentar responder a algumas questões.

(1) Qual é a probabilidade de o ponto seleccionado estar na região do quadrado acima da recta y=1/2?

A forma usual de calcular probabilidades no secundário não funciona aqui. Há uma infinidade de pontos no quadrado (casos possíveis) e uma infinidade de pontos acima da recta y=1/2 (casos favoráveis), por isso a regra de Laplace não pode ser aplicada. No entanto, parece razoável dizer que, dado que a recta divide o quadrado em duas partes iguais, a probabilidade pedida é igual a 1/2. (Esta resposta está correcta, mas justificar de modo rigoroso este raciocínio necessitaria de mais Matemática do que a que seria apropriado incluir qui. Fiquemo-nos pela intuição neste caso.)

(2) Qual é a probabilidade de o ponto seleccionado estar na região do quadrado acima da recta y=9/10?

Esta recta divide o quadrado em duas partes, uma com área igual a 0,1 (acima da recta) e outra com área igual a 0,9 (abaixo da recta). Uma forma de raciocinar aqui é a seguinte: em vez de compararmos casos favoráveis e casos possíveis, vamos comparar "áreas favoráveis" e "áreas possíveis". A área favorável, acima da recta, é igual a 0,1. A área possível (total) é a área do quadrado, igual a 1. Assim, a probabilidade deverá ser 0,1/1 = 1/10.

(3) Qual é a probabilidade de o ponto seleccionado ser o ponto de coordenadas (1/2,1/2)?

Esta é uma questão mais difícil. Pelo nosso método das áreas, teríamos de determinar a área da região "favorável". Mas a região favorável neste caso é constituída por um só ponto! Qual é a área de um ponto? Intuitivamente, um ponto não "ocupa espaço". Logo, a região favorável terá área 0. Logo, a probabilidade seria 0/1 = 0.


Neste último exemplo, encontrámos um acontecimento cuja probabilidade é igual a 0 (pelo menos se aceitarmos o método das áreas como método aceitável para calcular probabilidades e se aceitarmos que um ponto tem área nula, mas estas hipóteses têm justificação matemática; nisso terão de confiar em mim -- ou fazer uma licenciatura em Matemática ;)).

O ponto (1/2,1/2) não tem nada de especial. A probabilidade de ser seleccionado um ponto específico é igual a 0, independentemente do ponto. No entanto, estes acontecimentos não são impossíveis! De cada vez que a experiência é efectuada, ela tem como resultado um certo ponto: estão sempre a suceder acontecimentos de probabilidade zero!

Eu sei que isto pode parecer estranho. A razão da estranheza está em que estamos demasiado habituados à probabilidade no contexto de experiências aleatórias com um número finito de resultados possíveis, onde a regra de Laplace se pode aplicar perfeitamente. Neste contexto, o único acontecimento com probabilidade zero é o acontecimento impossível. No exemplo do quadrado, no entanto, há muitos acontecimentos possíveis com probabilidade zero (de facto, todos os resultados possíveis, correspondentes a pontos isolados, têm probabilidade zero).

Sei que isto não é uma questão simples de apreender, mas espero ter sido esclarecedor. Contestem, questionem, critiquem, discutam à vontade. ;)
 
Já vi que entretanto criaste o tópico. :D Estava para fazer um varrimento geral de tudo o que está no diário acerca do assunto para aqui (e do tópico Matemática também, mas nesse não lhe posso mexer :tonguewink:). Acham bem?
 
Última edição:
Já vi que entretanto criaste o tópico. :D Estava para fazer um varrimento geral de tudo o que está no diário acerca do assunto para aqui (e do tópico Matemática também, mas nesse não lhe posso mexer :tonguewink:). Acham bem?

Não estavas cá para a inauguração, mas respondi à tua questão na mesma :P

Acho bem, se tiveres paciência para isso e tentares que isto fique minimamente coerente. ;)
 
Ponho a resposta em spoiler para não ocupar demasiado espaço (como habitualmente, tenho tendência a alongar-me...).

Para esclarecer esta questão é preciso clarificar os conceitos primeiro (como é habitual em Matemática). Há aqui dois conceitos em jogo:
  • acontecimento impossível
  • acontecimento de probabilidade zero
No estudo da Teoria da Probabilidade que se faz no secundário, estes dois conceitos coincidem. Por esta razão, é um pouco difícil imaginar uma situação em que estas duas expressões não sejam sinónimas. Vamos então esclarecer o que estes conceitos significam.


Exemplo 1: Lançamento de um dado (equilibrado) de seis faces

Lança-se um dado de seis faces e regista-se a face que fica voltada para cima. Nesta experiência, há seis resultados possíveis, que podemos representar pelos números de 1 a 6. A partir destes resultados possíveis, podemos conceber vários acontecimentos, que correspondem a subconjuntos de resultados possíveis:
  • sair 3 -- este acontecimento corresponde ao conjunto {3}
  • sair um número par -- este acontecimento corresponde ao conjunto {2,4,6}
  • sair um número entre 1 e 6, inclusive -- este acontecimento corresponde ao conjunto {1,2,3,4,5,6}
  • sair 7 -- este acontecimento corresponde ao conjunto vazio!
Há aqui dois acontecimentos especiais: o acontecimento certo, que engloba todos os resultados possíveis e o acontecimento impossível, que não engloba nenhum dos resultados possíveis. (Claro que podíamos ter dito "sair 30" em vez de "sair 7"; há várias formas de descrever o acontecimento impossível, mas todas elas descrevem o mesmo acontecimento e correspondem ao conjunto vazio.)

Assim, a noção de acontecimento impossível não tem nada a ver com probabilidades: é simplesmente o acontecimento que corresponde ao conjunto vazio de resultados possíveis.


Exemplo 2: Escolha aleatória de um ponto num quadrado

Imaginemos um quadrado no plano cartesiano (por exemplo, o quadrado de lado 1 limitado pelos eixos coordenados e pelas rectas de equações x=1 e y=1). Escolhe-se aleatoriamente um ponto neste quadrado. Ao contrário do que acontecia no exemplo anterior, os resultados possíveis aqui são em número infinito: há um resultado possível para cada ponto no quadrado! Apesar disto, podemos tentar responder a algumas questões.

(1) Qual é a probabilidade de o ponto seleccionado estar na região do quadrado acima da recta y=1/2?

A forma usual de calcular probabilidades no secundário não funciona aqui. Há uma infinidade de pontos no quadrado (casos possíveis) e uma infinidade de pontos acima da recta y=1/2 (casos favoráveis), por isso a regra de Laplace não pode ser aplicada. No entanto, parece razoável dizer que, dado que a recta divide o quadrado em duas partes iguais, a probabilidade pedida é igual a 1/2. (Esta resposta está correcta, mas justificar de modo rigoroso este raciocínio necessitaria de mais Matemática do que a que seria apropriado incluir qui. Fiquemo-nos pela intuição neste caso.)

(2) Qual é a probabilidade de o ponto seleccionado estar na região do quadrado acima da recta y=9/10?

Esta recta divide o quadrado em duas partes, uma com área igual a 0,1 (acima da recta) e outra com área igual a 0,9 (abaixo da recta). Uma forma de raciocinar aqui é a seguinte: em vez de compararmos casos favoráveis e casos possíveis, vamos comparar "áreas favoráveis" e "áreas possíveis". A área favorável, acima da recta, é igual a 0,1. A área possível (total) é a área do quadrado, igual a 1. Assim, a probabilidade deverá ser 0,1/1 = 1/10.

(3) Qual é a probabilidade de o ponto seleccionado ser o ponto de coordenadas (1/2,1/2)?

Esta é uma questão mais difícil. Pelo nosso método das áreas, teríamos de determinar a área da região "favorável". Mas a região favorável neste caso é constituída por um só ponto! Qual é a área de um ponto? Intuitivamente, um ponto não "ocupa espaço". Logo, a região favorável terá área 0. Logo, a probabilidade seria 0/1 = 0.


Neste último exemplo, encontrámos um acontecimento cuja probabilidade é igual a 0 (pelo menos se aceitarmos o método das áreas como método aceitável para calcular probabilidades e se aceitarmos que um ponto tem área nula, mas estas hipóteses têm justificação matemática; nisso terão de confiar em mim -- ou fazer uma licenciatura em Matemática ;)).

O ponto (1/2,1/2) não tem nada de especial. A probabilidade de ser seleccionado um ponto específico é igual a 0, independentemente do ponto. No entanto, estes acontecimentos não são impossíveis! De cada vez que a experiência é efectuada, ela tem como resultado um certo ponto: estão sempre a suceder acontecimentos de probabilidade zero!

Eu sei que isto pode parecer estranho. A razão da estranheza está em que estamos demasiado habituados à probabilidade no contexto de experiências aleatórias com um número finito de resultados possíveis, onde a regra de Laplace se pode aplicar perfeitamente. Neste contexto, o único acontecimento com probabilidade zero é o acontecimento impossível. No exemplo do quadrado, no entanto, há muitos acontecimentos possíveis com probabilidade zero (de facto, todos os resultados possíveis, correspondentes a pontos isolados, têm probabilidade zero).

Sei que isto não é uma questão simples de apreender, mas espero ter sido esclarecedor. Contestem, questionem, critiquem, discutam à vontade. ;)
Devo dizer que fiquei esclarecido! Muito obrigado! Mas ainda estou reticente pelo facto de todos os pontos terem probabilidade zero de serem escolhidos, e a soma de uma infinidade de zeros ser igual a 1. (Não sei se estou a fazer confusão o_O)
 
Devo dizer que fiquei esclarecido! Muito obrigado! Mas ainda estou reticente pelo facto de todos os pontos terem probabilidade zero de serem escolhidos, e a soma de uma infinidade de zeros ser igual a 1. (Não sei se estou a fazer confusão o_O)

Estar reticente é uma boa atitude ;) Percebo essa dúvida, realmente é uma coisa estranha.

A questão é a seguinte: nem sempre a área de uma região tem de ser igual à soma das áreas de regiões mais pequenas. Isto funciona se dividirmos a região num número finito de bocados. Mas se a dividirmos em demasiados bocados já não tem de funcionar. Por exemplo, como dizes, o quadrado tem área 1 mas é constituído apenas por pontos (de área nula). O problema é que há demasiados pontos para que as ideias intuitivas que temos sobre a soma de áreas funcionem (muitas vezes o infinito comporta-se desta forma estranha...).


Um aparte sobre isto: não é interessante haver aqui uma relação entre probabilidade e área? Parecem coisas completamente diferentes... No entanto, as ideias fundamentais por trás do cálculo de probabilidades e de áreas são as mesmas! A área da Matemática que faz esta unificação (de forma bastante elegante) chama-se Teoria da Medida.
 
Ponho a resposta em spoiler para não ocupar demasiado espaço (como habitualmente, tenho tendência a alongar-me...).

Para esclarecer esta questão é preciso clarificar os conceitos primeiro (como é habitual em Matemática). Há aqui dois conceitos em jogo:
  • acontecimento impossível
  • acontecimento de probabilidade zero
No estudo da Teoria da Probabilidade que se faz no secundário, estes dois conceitos coincidem. Por esta razão, é um pouco difícil imaginar uma situação em que estas duas expressões não sejam sinónimas. Vamos então esclarecer o que estes conceitos significam.


Exemplo 1: Lançamento de um dado (equilibrado) de seis faces

Lança-se um dado de seis faces e regista-se a face que fica voltada para cima. Nesta experiência, há seis resultados possíveis, que podemos representar pelos números de 1 a 6. A partir destes resultados possíveis, podemos conceber vários acontecimentos, que correspondem a subconjuntos de resultados possíveis:
  • sair 3 -- este acontecimento corresponde ao conjunto {3}
  • sair um número par -- este acontecimento corresponde ao conjunto {2,4,6}
  • sair um número entre 1 e 6, inclusive -- este acontecimento corresponde ao conjunto {1,2,3,4,5,6}
  • sair 7 -- este acontecimento corresponde ao conjunto vazio!
Há aqui dois acontecimentos especiais: o acontecimento certo, que engloba todos os resultados possíveis e o acontecimento impossível, que não engloba nenhum dos resultados possíveis. (Claro que podíamos ter dito "sair 30" em vez de "sair 7"; há várias formas de descrever o acontecimento impossível, mas todas elas descrevem o mesmo acontecimento e correspondem ao conjunto vazio.)

Assim, a noção de acontecimento impossível não tem nada a ver com probabilidades: é simplesmente o acontecimento que corresponde ao conjunto vazio de resultados possíveis.


Exemplo 2: Escolha aleatória de um ponto num quadrado

Imaginemos um quadrado no plano cartesiano (por exemplo, o quadrado de lado 1 limitado pelos eixos coordenados e pelas rectas de equações x=1 e y=1). Escolhe-se aleatoriamente um ponto neste quadrado. Ao contrário do que acontecia no exemplo anterior, os resultados possíveis aqui são em número infinito: há um resultado possível para cada ponto no quadrado! Apesar disto, podemos tentar responder a algumas questões.

(1) Qual é a probabilidade de o ponto seleccionado estar na região do quadrado acima da recta y=1/2?

A forma usual de calcular probabilidades no secundário não funciona aqui. Há uma infinidade de pontos no quadrado (casos possíveis) e uma infinidade de pontos acima da recta y=1/2 (casos favoráveis), por isso a regra de Laplace não pode ser aplicada. No entanto, parece razoável dizer que, dado que a recta divide o quadrado em duas partes iguais, a probabilidade pedida é igual a 1/2. (Esta resposta está correcta, mas justificar de modo rigoroso este raciocínio necessitaria de mais Matemática do que a que seria apropriado incluir qui. Fiquemo-nos pela intuição neste caso.)

(2) Qual é a probabilidade de o ponto seleccionado estar na região do quadrado acima da recta y=9/10?

Esta recta divide o quadrado em duas partes, uma com área igual a 0,1 (acima da recta) e outra com área igual a 0,9 (abaixo da recta). Uma forma de raciocinar aqui é a seguinte: em vez de compararmos casos favoráveis e casos possíveis, vamos comparar "áreas favoráveis" e "áreas possíveis". A área favorável, acima da recta, é igual a 0,1. A área possível (total) é a área do quadrado, igual a 1. Assim, a probabilidade deverá ser 0,1/1 = 1/10.

(3) Qual é a probabilidade de o ponto seleccionado ser o ponto de coordenadas (1/2,1/2)?

Esta é uma questão mais difícil. Pelo nosso método das áreas, teríamos de determinar a área da região "favorável". Mas a região favorável neste caso é constituída por um só ponto! Qual é a área de um ponto? Intuitivamente, um ponto não "ocupa espaço". Logo, a região favorável terá área 0. Logo, a probabilidade seria 0/1 = 0.


Neste último exemplo, encontrámos um acontecimento cuja probabilidade é igual a 0 (pelo menos se aceitarmos o método das áreas como método aceitável para calcular probabilidades e se aceitarmos que um ponto tem área nula, mas estas hipóteses têm justificação matemática; nisso terão de confiar em mim -- ou fazer uma licenciatura em Matemática ;)).

O ponto (1/2,1/2) não tem nada de especial. A probabilidade de ser seleccionado um ponto específico é igual a 0, independentemente do ponto. No entanto, estes acontecimentos não são impossíveis! De cada vez que a experiência é efectuada, ela tem como resultado um certo ponto: estão sempre a suceder acontecimentos de probabilidade zero!

Eu sei que isto pode parecer estranho. A razão da estranheza está em que estamos demasiado habituados à probabilidade no contexto de experiências aleatórias com um número finito de resultados possíveis, onde a regra de Laplace se pode aplicar perfeitamente. Neste contexto, o único acontecimento com probabilidade zero é o acontecimento impossível. No exemplo do quadrado, no entanto, há muitos acontecimentos possíveis com probabilidade zero (de facto, todos os resultados possíveis, correspondentes a pontos isolados, têm probabilidade zero).

Sei que isto não é uma questão simples de apreender, mas espero ter sido esclarecedor. Contestem, questionem, critiquem, discutam à vontade. ;)
Quando resolvia exercícios de probabilidades que envolviam áreas, ficava sempre pensativo precisamente por causa disso. O que vale é que nunca me perguntaram qual era a probabilidade de escolher um ponto específico numa região, pelo que nunca valorizei muito essa dúvida... Em todo o caso, foste muito esclarecedor, obrigado! :)
 
Quando resolvia exercícios de probabilidades que envolvia áreas, ficava sempre pensativo precisamente por causa disso. O que vale é que nunca me perguntaram qual era a probabilidade de escolher um ponto específico numa região, pelo que nunca valorizei muito essa dúvida... Em todo o caso, foste muito esclarecedor, obrigado! :)

Tecnicamente essas perguntas não fazem parte do programa do secundário, uma vez que do programa só constam espaços de resultados finitos. Mas de qualquer forma ninguém te faria uma pergunta dessas :P
 
Há uns meses li numa revista (acho que era a secção de curiosidades da Sábado) que, se tivermos 23 pessoas aleatórias numa sala, a probabibilidade de pelo menos duas delas fazerem anos no mesmo dia é de cerca de 50%.

por um lado, achei bastante estranho serem tão poucas pessoas (tendo em conta que há 366 datas possíveis - incluindo 29 de fevereiro - para uma pessoa fazer anos) e todas as pessoas com quem comentei isto acharam que não seria verdade, mas por outro lado, empiricamente a verdade é que uma turma escolar em Portugal tem mais ou menos esse número de alunos e era bastante comum nas minhas turmas haver repetições de aniversários...
Pesquisei e afinal é mesmo verdade! :) Birthday problem - Wikipedia, the free encyclopedia

com uma pequena ressalva: isto parte do princípio que a distribuição dos aniversários (exceto os de 29/2) são uniformes, mas na verdade não são assim tanto :P

dados dos EUA (penso eu):
heatmapbirthdays1.jpg


alguns dados portugueses: Setembro é o mês em que nascem mais crianças em Portugal. Porquê?

no entanto, suponho (intuitivamente, logo posso estar errada :P) que isto até ajude à repetição de aniversários...
 
Há uns meses li numa revista (acho que era a secção de curiosidades da Sábado) que, se tivermos 23 pessoas aleatórias numa sala, a probabibilidade de pelo menos duas delas fazerem anos no mesmo dia é de cerca de 50%.

por um lado, achei bastante estranho serem tão poucas pessoas (tendo em conta que há 366 datas possíveis - incluindo 29 de fevereiro - para uma pessoa fazer anos) e todas as pessoas com quem comentei isto acharam que não seria verdade, mas por outro lado, empiricamente a verdade é que uma turma escolar em Portugal tem mais ou menos esse número de alunos e era bastante comum nas minhas turmas haver repetições de aniversários...
Pesquisei e afinal é mesmo verdade! :) Birthday problem - Wikipedia, the free encyclopedia

com uma pequena ressalva: isto parte do princípio que a distribuição dos aniversários (exceto os de 29/2) são uniformes, mas na verdade não são assim tanto :p

dados dos EUA (penso eu):
heatmapbirthdays1.jpg


alguns dados portugueses: Setembro é o mês em que nascem mais crianças em Portugal. Porquê?

no entanto, suponho (intuitivamente, logo posso estar errada :p) que isto até ajude à repetição de aniversários...

O problema do aniversário é contra-intuitivo essencialmente por duas razões:
(1) O cérebro humano lida mal com fenómenos aleatórios. Somos maus a apreender o acaso. Talvez por sermos bons detectores de padrões, a ausência deles perturba-nos :P
(2) Temos de ter em atenção que a probabilidade referida é a probabilidade de duas pessoas fazerem anos no mesmo dia e não a probabilidade de duas pessoas fazerem anos num certo dia específico. Precisamente por haver muitos dias, esta última seria muito baixa. Mas a probabilidade pedida é consideravelmente mais elevada.

Esses dados estatísticos, já agora, são muito interessantes!
 
A meu ver o contrario de um acontecimento possivel nem sempre é um acontecimento impossivel mas o contrario do acontecimento impossivel é sempre possivel. A MEU VER (PROVAVELMENTE ERRADO)
Por isso não existem tantos acontecimentos impossiveis como possiveis
 
A meu ver o contrario de um acontecimento possivel nem sempre é um acontecimento impossivel mas o contrario do acontecimento impossivel é sempre possivel. A MEU VER (PROVAVELMENTE ERRADO)
Por isso não existem tantos acontecimentos impossiveis como possiveis
Não sou a melhor pessoa para responder a isto (visto ser uma nódoa a Matemática), mas suponho que nem sempre o contrário de um acontecimento impossível seja um possível. Confirmem, please @BlueApple and/or @Alfa ... :rolleyes:
Sabem, isto ajuda-me a estudar :p
 
Não sou a melhor pessoa para responder a isto (visto ser uma nódoa a Matemática), mas suponho que nem sempre o contrário de um acontecimento impossível seja um possível. Confirmem, please @BlueApple and/or @Alfa ... :rolleyes:
Sabem, isto ajuda-me a estudar :p

O contrário do acontecimento impossível é o acontecimento certo, portanto é possível ;)
 
Não sou a melhor pessoa para responder a isto (visto ser uma nódoa a Matemática), mas suponho que nem sempre o contrário de um acontecimento impossível seja um possível. Confirmem, please @BlueApple and/or @Alfa ... :rolleyes:
Sabem, isto ajuda-me a estudar :p
Discordo! mas gosto de ver mais opiniões.. Como dizia Fernando Pessoa "Não me importo de ser derrotado quando quem me derrota é a razão" (talvez por outras palavras)

Oh... Kay? o_O
impossivel (diria eu)

Oh... Kay? o_O
Quer dizer.. é so imaginares um espaço com 10 retas em que todas se intersectam num único ponto e fazem todas entre si 90 graus. (Certo @Alfa ?)
 
Editado por um moderador:
O contrário do acontecimento impossível é o acontecimento certo, portanto é possível ;)
You're right! Percebi agora o meu erro! Eu estava a pensar numa coisa, mas dá mesmo o conjunto E...
E eu a pensar que estava a melhorar a Matemática... Sono e burrice juntas dão nisto XD Ignore me, please XD
 
Quer dizer.. é so imaginares um espaço com 10 retas em que todas se intersectam num único ponto e fazem todas entre si 90 graus. (Certo @Alfa ?)

Isso seria suficiente, imagino, mas não torna a tarefa mais fácil... ;)
 
Editado por um moderador:
O que eu questiono aí é a palavra "há". Em que sentido é que as há?



Isso seria suficiente, imagino, mas não torna a tarefa mais fácil... ;)
Mas possível! se fecharmos os olhos a unica coisa que nos limita é a nossa inteligência! Na minha opiniao claro!! Acho que os humanos nao sao inteligentes o suficiente (ainda...)