Matemática: Questões e Discussões

 
Inquisição -> queimar livros.

Matemáticos -> escrever livros.



Lógica -> batata?
A Inquisição apenas queimava alguns livros, não os queimava todos... É um serviço comunitário!
 
  • Like
Reactions: Urmik and Alfa
Ora vês? Nada queima tão bem como livros hereges!
O @Alfa daqui a nada está a excomungar-me do seu tópico... :sweatsmile:

E aquela parte quando eram pessoas? Era um barbecue à americana antes de haver os EU da A?

Não, não, by all means, continua...

:innocent:
 
  • Like
Reactions: LordKelvin and Alfa
Ora vês? Nada queima tão bem como livros hereges!
O @Alfa daqui a nada está a excomungar-me do seu tópico... :sweatsmile:

Eu gosto de ti, Kelvin, não te faria uma coisa dessas ;)
 
Não costumo gostar muito de divulgação, mas folheei este livro numa livraria há uns tempos e achei-o bom. Não o li, por isso não posso afirmar com certeza, mas foi a sensação com que fiquei.
Confesso que só o li porque o meu pai me ofereceu, mas gostei, sobretudo porque estava a espera que fosse mais um 'A matemática das coisas' do Nuno Crato, e não tem rigorosamente nada a ver. Há partes incrivelmente desinteressantes (imo) mas o homem conta a história dele e como se aproxima da matemática durante os anos de anti-semitismo da URSS (which was surprisingly interesting) e, para além das típicas críticas ao sistema de ensino, explica conceitos muito abstratos com uma clareza impressionante.
Até te recomendo o livro só pela abordagem simplista e intuitivista de matérias da matemática Pura, a história dele é bonus.
 
  • Like
Reactions: LordKelvin and Alfa
Alfa, como responderias se te pedisse para provar que 1+1=2?

Na altura em que esta questão foi colocada eu dei-lhe uma resposta que se limitava a esboçar uma possível via de demonstração. No entanto, fiquei a pensar neste assunto e pensei que talvez fosse interessante (e não demasiado difícil) esmiuçar um pouco mais as ideias envolvidas.

Na minha resposta original, fiz referência aos axiomas de Peano. Estes são os axiomas modernamente utilizados para estudar a teoria dos números naturais. Vou começar por tentar explicar de onde estes axiomas vêm e porque é que são razoáveis.

Em primeiro lugar, para que servem os números naturais? A sua função mais básica é a de auxiliar no processo de contagem. Foi para isso que foram criados sistemas de numeração que representassem estes números e é essa a função dos números que começamos por aprender desde pequenos. Quando temos de contar o número de objectos numa certa colecção, o que habitualmente fazemos é apontar para um dos objectos e dizer (ou pensar) "um", apontar para outro e dizer "dois", e assim sucessivamente. A característica essencial dos números naturais é precisamente esta: a de permitir contar ou enumerar objectos desta forma.

Quando contamos, começamos no primeiro número natural, o 1, e vamos passando para o seguinte, e para o seguinte, e para o seguinte, um de cada vez. (Há quem considere que 0 é um número natural e que, por essa razão, deveríamos começar o conjunto dos naturais no 0; uma vez que estou a motivar esta discussão com base no processo de contagem e visto que começamos a contar em 1, não vou incluir o 0 neste conjunto.) Assim, a ideia essencial por trás dos naturais é: há um primeiro número e podemos obter qualquer um dos outros passando ao seguinte (o chamado "sucessor").

Vamos então aos axiomas propriamente ditos.

Axioma 1: Cada número natural tem um sucessor e números naturais diferentes têm sucessores diferentes.

Este axioma é bastante evidente tendo em conta a nossa ideia de como os números se devem comportar. Seria muito esquisito se, ao enumerarmos os objectos de uma colecção, passássemos, por exemplo, do 7 para o 3. Este axioma garante que isso não acontece. 3 é o sucessor de 2 e por isso não pode ser o sucessor de 7.

(Para quem sabe algumas coisas sobre funções, o que isto significa é que temos uma função que a cada número natural faz corresponder o seu sucessor e que essa função é injectiva.)

Axioma 2: Existe um número natural que não é sucessor de nenhum outro.

Este axioma refere-se ao primeiro número natural, que não sucede a nenhum. Trata-se do número 1.

O último axioma é o mais importante de todos. A ideia por trás dele é a seguinte: qualquer número natural se "apanha" se começarmos a contar no 1 e formos percorrendo todos os números, sucessor a sucessor. Isto, mais uma vez, é uma coisa natural tendo em conta o nosso entendimento de como funcionam os números.

Axioma 3: Suponhamos que A é um conjunto cujos elementos são números naturais e que satisfaz as seguintes propriedades:
  • o número 1 pertence ao conjunto A;
  • se um determinado número natural n pertence a A, então o seu sucessor também pertence a A.
Então A é o conjunto de todos os números naturais.

Este axioma captura precisamente o que disse anteriormente: se temos o número 1 no conjunto A e, sempre que passamos de um número para o seu sucessor, não saímos de A, então têm de lá estar os números naturais todos porque todos se alcançam desta forma.

Aqueles de vocês que estejam familiarizados com o processo de indução matemática devem achar que o Axioma 3 é familiar. De facto, este axioma é precisamente o princípio de indução. Normalmente o princípio de indução matemática aparece de outra forma, mais útil para usar em demonstrações.

Princípio de Indução Matemática: Consideremos uma certa propriedade. Suponhamos que
  • o número 1 tem essa propriedade;
  • se um determinado número natural tem essa propriedade, então o seu sucessor também tem.
Então todos os números naturais têm essa propriedade.

Redirecciono-vos para o meu blogue para exemplos de aplicação deste princípio. Agora chamo só a atenção para o facto de o Princípio de Indução ser uma consequência do Axioma 3 (de facto, o Axioma 3 e o Princípio de Indução são essencialmente a mesma coisa!). Porquê? Bem, se considerarmos uma certa propriedade, podemos considerar também o conjunto de todos os números naturais que satisfazem essa propriedade (chamemos A a esse conjunto). Então:
  • Dizer que 1 satisfaz a propriedade é o mesmo que dizer que 1 pertence a A.
  • Dizer que se um número satisfaz a propriedade, então o seu sucessor também é o mesmo que dizer que se um número pertence a A, então o seu sucessor também.
  • Dizer que todos os números naturais satisfazem a propriedade é o mesmo que dizer que A é o conjunto de todos os números naturais.
Assim, o Princípio de Indução é só uma "tradução" do Axioma 3, falando em propriedades em vez de conjuntos.

Acho que fico por aqui e vos deixo digerir isto. Daqui a algum tempo explico melhor como é que, a partir daqui, se prova que 1+1=2. :P
 
Continuando o meu post anterior...

O objectivo é provar que 1+1=2. Como vamos ver, isto é muito fácil de fazer. É, de facto, a soma mais fácil de calcular. Provar factos aritméticos como 2+5=7 ou 13+12=25 é mais difícil, ou pelo menos mais trabalhoso.

Para fazer isto precisamos, como tinha dito antes, de uma definição da operação de adição. Mais uma vez, vamos recorrer à nossa intuição sobre a contagem para fazer esta definição. Imaginemos que temos cinco berlindes e nos dão mais três (sim, voltámos à escola primária por momentos). Como é que contamos o total se não soubermos somar? Começamos a contar os berlindes que temos (um... dois... três... quatro... cinco...) e depois continuamos a contagem para abarcar os que nos deram (... seis... sete... oito). Ou, se já soubermos que temos cinco berlindes, podemos simplesmente começar a contar os berlindes novos no número 6, que é o sucessor de 5.

A ideia é muito simples. Se queremos determinar m+n, partimos do m e avançamos para o sucessor n vezes. Então:
  • n+1 é o sucessor de n;
  • n+2 é o sucessor do sucessor de n;
  • n+3 é o sucessor do sucessor do sucessor de n;
  • ...
Isto permite-nos já provar que 1+1=2. Em primeiro lugar, 2 é só o nome que damos ao sucessor de 1. Portanto, 1+1 é o sucessor de 1, que é precisamente o número 2. Conclusão: 1+1=2. (Eu disse que esta era fácil.)

O problema está em que eu não defini realmente adição. Deixei ali umas reticências, como quem diz "e assim sucessivamente". Ora os "e assim sucessivamente" não são rigorosos do ponto de vista matemático. Temos de arranjar uma forma de perceber o que aquilo significa. E é aqui que entra o axioma de indução.

A indução tem uma outra face (particularmente útil para quem trabalha com computação e algoritmos...), que é a recursão. Enquanto que a indução nos permite provar coisas sobre os números naturais, a recursão permite-nos definir coisas no conjunto dos números naturais. Um exemplo que deve ser familiar: quando se estudam progressões aritméticas no secundário, diz-se que cada termo se obtém do anterior somando-lhe uma quantidade fixa. Assim, uma progressão aritmética é normalmente definida do seguinte modo:
[latex]a_1 = b,\ \ \ a_{n+1} = a_n + k[/latex]
O termo de ordem n+1 é definido à custa do anterior. Este tipo de definição chama-se "definição recursiva" e a razão pela qual estamos autorizados a fazer definições deste género é um teorema, chamado Teorema da Recursão, que se prova a partir do axioma de indução.

O Teorema da Recursão é um bocadinho técnico, por isso não vou explicar em detalhe o que diz e como se prova, até porque existem várias variantes deste teorema, que se aplicam em circunstâncias diferentes.

Portanto, o Teorema da Recursão permite definir a adição. E agora? O problema é que usar a definição de adição para somar números é uma chatice. Neste momento, até podemos dar nomes aos números, mas o número 5, por exemplo, é simplesmente S(S(S(S(1)))). Se eu quiser calcular 5 + 3, tenho de ir descascar a expressão S(S(S(S(1))))+S(S(1)) e ir aplicando a definição de adição, passo a passo, até concluir que isto é S(S(S(S(S(S(S(1))))))), ou seja, 8. O problema principal aqui é que não temos ainda uma representação prática para os números.

Para contornar este problema, teríamos de desenvolver, a partir dos axiomas, uma representação decimal dos números naturais, tal como a que aprendemos na escola primária, e depois provar que os algoritmos elementares das operações funcionam. Já tinha dito isto anteriormente, mas não vou explicar isto tudo em detalhe: envolve desenvolver de raiz, a partir dos axiomas, as operações aritméticas com naturais e provar diversos factos elementares sobre elas. Dá trabalho, mas consegue fazer-se.

Conclusão: provar que 1+1=2 acaba por ser apenas uma questão de perceber quais são os conceitos envolvidos. Não é a coisa mais interessante do mundo, mas o que importa retirar daqui é uma lição muito mais importante. Praticamente tudo aquilo que diga respeito aos números naturais, desde o facto de 1+1=2 até coisas mais complicadas como o facto de todo o número natural se escrever de forma única como produto de números primos, pode ser deduzido a partir dos três axiomas que expliquei atrás. Podem não achar isto grande coisa, mas eu acho que isto tem a sua beleza. :P
 
@Alfa, acho que era este.

Acho.

[latex]\lim _{x\to 0}\left(\frac{\ln\left(x+1\right)-x}{x^2\left(1-x\right)} \right)[/latex]

Uma opção é a Regra de L'Hôpital.

Sem isso, o que me ocorreu em primeiro lugar foi substituir ln(x+1) pelos primeiros dois termos do seu desenvolvimento em série de potências (uma técnica útil para lidar com limites):
[latex]ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots[/latex]

Ficamos então com:
[latex]\lim _{x\to 0}\frac{\ln\left(x+1\right)-x}{x^2\left(1-x\right)} = \lim _{x\to 0}\frac{x-\frac{x^2}{2}-x}{x^2\left(1-x\right)} = \lim _{x\to 0}\frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2\left(1-x\right)}=-\frac{1}{2}[/latex]

Eventualmente talvez se consiga lá chegar com manipulação algébrica pura, mas para isso tenho de pensar mais.
 
Última edição:
Uma opção é a Regra de L'Hôpital.

Sem isso, o que me ocorreu em primeiro lugar foi substituir ln(x+1) pelos primeiros dois termos do seu desenvolvimento em série de potências (uma técnica útil para lidar com limites):
[latex]ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots[/latex]

Ficamos então com:
[latex]\lim _{x\to 0}\frac{\ln\left(x+1\right)-x}{x^2\left(1-x\right)} = \lim _{x\to 0}\frac{x-\frac{x^2}{2}-x}{x^2\left(1-x\right)} = \lim _{x\to 0}\frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2\left(1-x\right)}=-\frac{1}{2}[/latex]

Eventualmente talvez se consiga lá chegar com manipulação algébrica pura, mas para isso tenho de pensar mais.

Venho só dizer que achei a resolução muito gira. :P
 
Venho só dizer que achei a resolução muito gira. :p

Isto é o tipo de técnica muito "clássica" que já não se dá em quase cadeira nenhuma de Análise. Eu tive a sorte de ter um professor de Análise mais velho que nos ensinou estas coisas. Mesmo em livros é raro aparecer, o único livro que conheço que tem este género de coisa é um livro editado pelo meu departamento e escrito por um outro professor meu.
 
Uma opção é a Regra de L'Hôpital.

Sem isso, o que me ocorreu em primeiro lugar foi substituir ln(x+1) pelos primeiros dois termos do seu desenvolvimento em série de potências (uma técnica útil para lidar com limites):
[latex]ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots[/latex]

Ficamos então com:
[latex]\lim _{x\to 0}\frac{\ln\left(x+1\right)-x}{x^2\left(1-x\right)} = \lim _{x\to 0}\frac{x-\frac{x^2}{2}-x}{x^2\left(1-x\right)} = \lim _{x\to 0}\frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2\left(1-x\right)}=-\frac{1}{2}[/latex]

Eventualmente talvez se consiga lá chegar com manipulação algébrica pura, mas para isso tenho de pensar mais.

[rant]
Ao fim de 8 anos, continuo sem perceber porque é que a Regra de L'Hopital não é dada no 12º ano. Hoje em dia ainda é preferível decorar limites notáveis do que aprender técnicas incrivelmente úteis no cálculo de limites. Ridículo.
[/rant]

Meanwhile, porque é que paras o desenvolvimento na segunda ordem? I mean, não faria diferença parar mais à frente, mas para usar essa técnica tens que desenvolver até à maior ordem de crescimento da expressão, right? Por isso se tivesses algo exponencial em vez de potências de x uma técnica assim não resultaria.
É assim ou estou a dizer o maior disparate do mundo?
 
[rant]
Ao fim de 8 anos, continuo sem perceber porque é que a Regra de L'Hopital não é dada no 12º ano. Hoje em dia ainda é preferível decorar limites notáveis do que aprender técnicas incrivelmente úteis no cálculo de limites. Ridículo.
[/rant]

Os limites notáveis dados no secundário são importantes se quisermos deduzir certas coisas. Por exemplo, o cálculo da derivada de e^x, pela definição de derivada, necessita do conhecimento de que o limite quando x tende para 0 de (e^x - 1)/x é 1. Se no secundário isso fosse provado, então faria sentido falar neste e noutros limites que têm funções análogas.

Concordo contigo no aspecto do cálculo de limites. Após todas as regras de derivação deduzidas, não faz sentido hoje em dia fazer quinhentas manipulações e mudanças de variável para calcular um limite que se resolve imediatamente com a regra de L'Hôpital. Não faz sentido tratar esta regra como uma "batota", as ferramentas existem por alguma razão.

Quanto à tua questão, usei o desenvolvimento até à segunda ordem porque era o que dava jeito aqui. Já não tenho muito treino nisto, mas a ideia é desenvolveres até à ordem que te permita desenvencilhar da indeterminação; isto envolve alguma sensibilidade e prática.
 
  • Like
Reactions: pdrjs and Alterado
Os limites notáveis dados no secundário são importantes se quisermos deduzir certas coisas. Por exemplo, o cálculo da derivada de e^x, pela definição de derivada, necessita do conhecimento de que o limite quando x tende para 0 de (e^x - 1)/x é 1. Se no secundário isso fosse provado, então faria sentido falar neste e noutros limites que têm funções análogas.
Nao quis dizer que os limites notáveis não são úteis, simplesmente não concordo com a forma de definição como é dada! Com a regra de L'Hopital dada não só são resolvidos alguns problemas de limites com uma facilidade impressionante, como os próprios limites notáveis passam a ter uma justificação de existência completamente

Quanto à tua questão, usei o desenvolvimento até à segunda ordem porque era o que dava jeito aqui. Já não tenho muito treino nisto, mas a ideia é desenvolveres até à ordem que te permita desenvencilhar da indeterminação; isto envolve alguma sensibilidade e prática.
Sim percebi que a segunda ordem era o que dava jeito, quis só perceber que tipo de limitações e que essa técnica tem, acho que nunca usei nada assim. Thanks!

Há umas coisas engraçadas sobre integrais e derivadas (sobre a sua construção). Se tiver tempo e paciência um dia escrevo aqui.
 
  • Like
Reactions: Alterado and Alfa