Matemática: Questões e Discussões

Alfa

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Com a regra de L'Hopital dada não só são resolvidos alguns problemas de limites com uma facilidade impressionante, como os próprios limites notáveis passam a ter uma justificação de existência completamente

A questão é que a regra de L'Hôpital não pode ser usada para resolver alguns dos limites notáveis. Como disse, o limite
[latex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}[/latex]
é usado na demonstração de que a derivada de e^x é e^x, pelo que usar a regra de L'Hôpital para o resolver seria circular. Suponho que isto seja parte da razão pela qual ela não se usa no secundário...

Sim percebi que a segunda ordem era o que dava jeito, quis só perceber que tipo de limitações e que essa técnica tem, acho que nunca usei nada assim. Thanks!

Não te sei dizer que limitações tem, na medida em que não me recordo de ter visto algum limite que não pudesse ser resolvido deste modo (desde que se conheçam os desenvolvimentos em série de potências das funções envolvidas). Posso dizer-te, no entanto, que há limites nos quais seria muito chato ou inútil usar a regra de L'Hôpital e que se resolvem facilmente deste modo.

Há umas coisas engraçadas sobre integrais e derivadas (sobre a sua construção). Se tiver tempo e paciência um dia escrevo aqui.

Faz isso ;)
 

NemoExNihilo

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Uma opção é a Regra de L'Hôpital.

Sem isso, o que me ocorreu em primeiro lugar foi substituir ln(x+1) pelos primeiros dois termos do seu desenvolvimento em série de potências (uma técnica útil para lidar com limites):
[latex]ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots[/latex]

Ficamos então com:
[latex]\lim _{x\to 0}\frac{\ln\left(x+1\right)-x}{x^2\left(1-x\right)} = \lim _{x\to 0}\frac{x-\frac{x^2}{2}-x}{x^2\left(1-x\right)} = \lim _{x\to 0}\frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2\left(1-x\right)}=-\frac{1}{2}[/latex]

Eventualmente talvez se consiga lá chegar com manipulação algébrica pura, mas para isso tenho de pensar mais.

Acho que a ideia era fazê-lo sem "truques", como se fosses só aluno do Secundário. Portanto, L'Hôpital e séries ficam fora do baralho...
 
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Alfa

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Acho que a ideia era fazê-lo sem "truques", como se fosses só aluno do Secundário. Portanto, L'Hôpital e séries ficam fora do baralho...

Ah, então não tenho a certeza de que seja possível... Talvez uma manipulação inteligente... Vou pensar no assunto.
 
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NemoExNihilo

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Ah, então não tenho a certeza de que seja possível... Talvez uma manipulação inteligente... Vou pensar no assunto.

Aí estava o desafio.

Não te aleijes!
 
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Alfa

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NemoExNihilo

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Manipularei com cuidado. De luvas e óculos protectores, estes limites notáveis podem ser bicudos.

Fico mais descansado. Mas não enlouqueças por causa dele, como disse, parece que muitos professores tentaram, mas nenhum conseguiu...
 
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LordKelvin

O Santo
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@Alfa, podias explicar? :P
 

Alfa

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@Alfa, podias explicar? :p

Bem, em primeiro lugar, escreveram mal "Riemann"... :p

Eu não gosto muito de falar sobre isso, para ser sincero. Já explico porquê.

A resposta curta é: em certos assuntos matemáticos, faz sentido dizer que
[latex]1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12}{[/latex]
Este resultado é obtido usando, entre outras coisas, um certo método chamado "prolongamento analítico" (analytic continuation), daí a piada. Ao matarmos 1+2+3+4+5+6+... pessoas, estamos na realidade a matar apenas -1/12, usando este resultado.

Primeiro quero tentar ser completamente rigoroso no que toca aos conceitos envolvidos, porque a quantidade de confusões que já li envolvendo isto é incrível. Peço desculpa por tornar a piada numa coisa séria :p

Quem estuda alguma Matemática na faculdade aprende, provavelmente, qualquer coisa sobre séries, ou seja, generalizações da noção de soma que envolvem uma quantidade infinita de parcelas. Aprende-se, nesta altura, que certas "somas infinitas" têm um resultado que faz sentido e que, a outras, não se pode atribuir um resultado sensato. Por exemplo,
[latex]1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}+ \cdots = 2[/latex]
enquanto que a "soma infinita"
[latex] 1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+\cdots[/latex]
não tem um resultado sensato de acordo com os métodos que se aprendem no início da faculdade. A primeira diz-se convergente e a segunda diz-se divergente.

A questão é que não há um único método de avaliar se uma dada série é convergente ou divergente. O método que se aprende no início da faculdade é um deles (talvez um dos mais importantes e úteis), mas existem outros, que são úteis noutros contextos. De acordo com alguns métodos menos convencionais, podemos dizer que
[latex] 1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+\cdots = \frac{1}{2}[/latex]
Ou seja, uma série que é divergente para um método pode convergir para outro. O que devemos pensar é que um método de determinação da convergência funciona como "uma forma razoável de atribuir valores a somas infinitas". Nem todos são iguais, mas, normalmente, se uma mesma série converge de acordo com dois métodos diferentes, a soma é a mesma de acordo com qualquer um deles. As diferenças entre métodos estão habitualmente em que alguns métodos permitem "somar" uma maior quantidade de séries.

O que acontece (e é extremamente bizarro) é que existe uma forma mais ou menos razoável de atribuir valores a certas séries e segundo o qual
[latex]1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12}{[/latex]
Admito que isto não parece fazer o menor sentido. O que acontece é que, em certos contextos (por exemplo, em Física), aparece esta soma infinita e, se a substituirmos por -1/12 obtemos resultados razoáveis e correctos.

Há uma justificação para isto e essa justificação passa pela função zeta de Riemann (uma certa função de cuja definição não falarei para não me alongar, mas que desempenha um papel importante em Teoria dos Números e está na base da chamada "Hipótese de Riemann", um dos problemas não resolvidos mais importantes da Matemática moderna), daí o título da imagem. O método envolvido chama-se "regularização zeta", pega em certas séries divergentes e atribui-lhes um valor. Esse valor vem dado pela função zeta de Riemann, que não está definida em todo o lado; no entanto, é possível alargar o seu domínio por "prolongamento analítico" (analytic continuation), uma forma de estender funções a valores nos quais ela não estava originalmente definida.

Há uns tempos surgiu um vídeo no Youtube que "demonstrava" o resultado
[latex]1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12}{[/latex]
usando métodos questionáveis. O vídeo veio de um canal de divulgação matemática e deu origem a uma imensa polémica. Fizeram vários vídeos a esclarecer mais a questão, mas não acho que tenham sido bem sucedidos a extinguir a controvérsia.

O problema aqui é que este é um resultado que é contra-intuitivo, bizarro e, ao contrário do que sucede com outros resultados com estas características (o facto de haver tantos números naturais como racionais, por exemplo), não é um resultado central em Matemática. Tem interesse e utilidade em determinadas áreas e é só. Expor este resultado a pessoas que não têm a bagagem necessária para perceber de onde ele vem (eu fiz uma tentativa fraca atrás) tem o risco de essas pessoas ficarem com uma má impressão da Matemática.

É como se o que fizéssemos fosse andar a tentar justificar de formas arcanas e inacessíveis coisas que nenhuma pessoa racional acharia que fazem sentido.
...quando isso é tarefa da teologia.
Não resisti, perdoa-me :P
 

Urmik

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Gonçalo Matos

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Há uns tempos surgiu um vídeo no Youtube que "demonstrava" o resultado
mimetex.cgi

Só por curiosidade, é este o vídeo.


Se se aceitar sem discussão que 1+(-1)+1+(-1)+...=1/2, então o esboço da prova (no vídeo) torna-se bastante acessível para qualquer leigo, daí as proporções ridículas que este assunto tomou. É sensacionalismo matemático, nada mais. E o canal Numberphile, por muito que até tenha algumas coisas interessantes, não passa disso. É o Correio da Manhã da matemática.

Mas esse assunto abre uma discussão mais interessante, que é a ética/moral da forma como a matemática - e a ciência, em geral - é divulgada. Na minha opinião, a simplificação em demasia de assuntos complexos (como este caso), embora possa tornar o problema numa coisa agradável à vista, induz erros e cria ilusões sobre o sistema científico. Dois outros exemplos perfeitos deste fenómeno em matemática são os teoremas de incompletude de Godel e o paradoxo de Banach-Tarski (que tenho ideia que já se discutiram neste tópico).

That $h&Y really grinds my gears.
 

Alfa

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É o Correio da Manhã da matemática.

:tearsofjoy:

Bora fundar um Os Truques para isto? :p

Mas esse assunto abre uma discussão mais interessante, que é a ética/moral da forma como a matemática - e a ciência, em geral - é divulgada. Na minha opinião, a simplificação em demasia de assuntos complexos (como este caso), embora possa tornar o problema numa coisa agradável à vista, induz erros e cria ilusões sobre o sistema científico.

Certo. A Matemática tem material suficiente para se prestar a um certo sensacionalismo, mas se expusermos esse material de modo demasiado superficial isso dá origem a concepções erradas sobre como a Matemática funciona. E nem sempre isso tem a ver com teoremas específicos, mas com a forma como os matemáticos trabalham.

Por exemplo, Andrew Wiles era um génio e concluiu a demonstração do último teorema de Fermat sozinho, essencialmente, trabalhando em isolamento. A investigação em Matemática não funciona assim. Isto foi um caso altamente especial que não é representativo da forma como se faz Matemática em geral. Contar esta história de modo superficial aumenta a prevalência do mito "para se ser matemático tem de se ser um génio" ou "os matemáticos passam os seus dias fechados no gabinete a fazer coisas que ninguém percebe".

Dois outros exemplos perfeitos deste fenómeno em matemática são os teoremas de incompletude de Godel e o paradoxo de Banach-Tarski (que tenho ideia que já se discutiram neste tópico).

Perco a conta às vezes que já vi tentativas de interpretação metafísica e/ou religiosa (!!) dos teoremas da incompletude de Gödel.
 

Gonçalo Matos

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:tearsofjoy:

Bora fundar um Os Truques para isto? :p
I'm in! ahahah

Por exemplo, Andrew Wiles era um génio e concluiu a demonstração do último teorema de Fermat sozinho, essencialmente, trabalhando em isolamento. A investigação em Matemática não funciona assim. Isto foi um caso altamente especial que não é representativo da forma como se faz Matemática em geral.

Sobre o assunto do Wiles, embora conheça muito pouco do trabalho à volta do teorema de Fermat, é importante referir que o homem não provou directamente o teorema, mas sim "concluiu" um caminho que leva à prova do teorema, caminho esse que foi iniciado por outros. Vai completamente contra a ideia de que o senhor se fechou numa cabana durante anos e saiu de lá com uma demonstração hermética do teorema. A reacção dele à medalha Fields também não ajudou ao sensacionalismo.

Edit: Also, a primeira versão que ele apresentou não estava cheia de erros? Tenho ideia que sim, mas posso estar errado.

Contar esta história de modo superficial aumenta a prevalência do mito "para se ser matemático tem de se ser um génio" ou "os matemáticos passam os seus dias fechados no gabinete a fazer coisas que ninguém percebe".

É físico e não matemático, mas a resposta de Richard Muller à pergunta "como é o teu dia a dia como investigador?" é espetacular. Li-a há uns tempos no Quora, mas não a encontrei. O homem faz questão de acentuar que a maior parte do trabalho dele é desenvolvida fora do gabinete, hell, fora de um ambiente académico até. Muito do trabalho dele é iniciado e "desentupido" com conversas informais com alunos, colegas e amigos. So there's that.
Um outro bom exemplo é o do Scotish book (one of my favorite anecdotes), onde uma série de bons resultados matemáticos foram obtidos através de um sistema de "apostas". Neste "livro", uma série de matemáticos (alguns deles bem importantes, como Banach, Steinhaus ou Kac) escreviam desafios/problemas matemáticos para os outros resolverem, com prémios que iam desde um copo de cerveja a um quilo de bacon (!!). Um pdf do livro pode ser encontrado na net, e é engraçado ler não só alguns problemas mas também os respectivos prémios.

Fechados no gabinete? Not really no.
 
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Alfa

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Sobre o assunto do Wiles, embora conheça muito pouco do trabalho à volta do teorema de Fermat, é importante referir que o homem não provou directamente o teorema, mas sim "concluiu" um caminho que leva à prova do teorema, caminho esse que foi iniciado por outros.

É verdade, todo o conhecimento matemático se constrói sobre conhecimento já feito por outros. Mas Wiles de facto fez uma boa parte do trabalho final sozinho.

Also, a primeira versão que ele apresentou não estava cheia de erros? Tenho ideia que sim, mas posso estar errado.

Estava errada, sim, mas nada que não se corrigisse. Estes matemáticos geniais cometem muito erros, mas são todos coisas corrigíveis na maioria dos casos e que não invalidam totalmente a demonstração.
 

LordKelvin

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Alfa

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Não, eu queria a continuação do teu blog! :relaxed:

Também eu. Por razões profissionais, não tenho tido muita disponibilidade, mas isso mudará brevemente. ;)
 
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NemoExNihilo

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Também eu. Por razões profissionais, não tenho tido muita disponibilidade, mas isso mudará brevemente. ;)

Também estou à espera!
 
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Já me andam a avisar há uns tempos que devia começar a minha campanha de recrutamento sensibilização para o curso de Matemática, pelo que decidi deixar aqui alguma propaganda descarada informação pertinente sobre Matemática.

Seguindo o formato bastante popular neste tipo de coisa, vou fazer isto com uma lista do tipo "Cinco razões pelas quais Matemática é a melhor coisa do universo observável para escolher Matemática".

(1) A Matemática é um desafio intelectual estimulante.

Eu sei, eu sei, isto é um grande cliché. E, como uma quantidade não desprezável de clichés, é verdade. Estudar Matemática envolve compreender conceitos complexos (e, por vezes, bizarros), resolver problemas, "meter as mãos na massa" fazendo experiências e tentativas com exemplos concretos...

Tudo isto pode ser frustrante (não vou mentir, há sempre momentos em que já não podemos ver aquele problema em que andamos a pensar há uns dias à frente), mas o momento em que alguma coisa encaixa, em que vislumbramos finalmente uma solução é incrivelmente recompensador. E, afinal de contas, um desafio não é bem um desafio se não tiver uma dose saudável de dificuldades...

(2) A Matemática ensina a pensar.

Talvez outro cliché, mas igualmente verdadeiro. Um aspecto importante da Matemática é o seu rigor: conceitos formulados sem ambiguidade, raciocínios logicamente impecáveis. Algumas pessoas podem achar isto desinteressante ou árido (não sou uma delas, até porque a Matemática não se reduz a isto), mas não se pode negar que a capacidade de reflectir logicamente sobre conceitos abstractos é útil e transportável para outros contextos.

Ter estudado Matemática ajudou-me a adquirir bons hábitos de raciocínio que me têm sido úteis fora da Matemática. (Não estou a dizer que tudo na vida pode ser pensado logicamente, pelo contrário; mas naquilo que deve ser encarado racionalmente o treino matemático dá uma ajuda.)

(3) A Matemática é extraordinariamente variada.

Isto pode ser difícil de transmitir a quem só viu Matemática até ao ensino secundário. Quer dizer, Matemática é Matemática, não é? Calculam-se umas coisas, manipulam-se umas expressões algébricas, faz-se um esboço de qualquer coisa geométrica de vez em quando e pronto. Certo?

Absolutamente errado. Estudar Matemática a nível universitário abre as portas para um vastíssimo universo matemático. Para mim, foi como estar numa casa confortável e bonita na qual gostava de viver e de repente sair à rua e descobrir que há um mundo inteiro no exterior; um mundo com locais completamente diferentes do que conhecia, completamente diferentes uns dos outros, mas com um "espírito" em comum. A Matemática tem algo para toda a gente.

(4) A Matemática tem uma enorme quantidade de aplicações.

Para quem gosta de mais qualquer coisa para lá da Matemática, isto são excelentes notícias. É claro que todos conhecemos as aplicações típicas da Matemática: o cálculo diferencial e integral é importantíssimo na Física, na Biologia e em outras ciências, a probabilidade e a estatística são ferramentas indispensáveis em muitas áreas do conhecimento, etc.

Mas a Matemática não se fica por aqui. Desde que comecei a estudar Matemática, já me apercebi de duas coisas:
  • Mesmo os assuntos matemáticos mais abstractos podem encontrar aplicações inesperadas. A teoria das álgebras de Lie ou a teoria da representação de grupos (assuntos que tipicamente se estudam num mestrado em Matemática) são essenciais em certas áreas da Física. A teoria das categorias (um dos expoentes máximos da abstracção na Matemática moderna) encontra algumas aplicações na Computação. Conceitos da teoria da medida (um assunto que parece incrivelmente teórico quando se encontra pela primeira vez) são ferramentas importantes em finanças.
  • Há uma quantidade incrível de assuntos nos quais a Matemática tem algo a dizer. Para além das ciências experimentais (Física, Química, Biologia, ...) e outras áreas do conhecimento (Economia, Finanças, Computação, ...), já me deparei com assuntos nos quais, inesperadamente, pode haver problemas matemáticos. A Linguística, a Política e o Direito são três dos exemplos mais surpreendentes.
(5) A Matemática é bela.

Não podia fazer uma lista destas sem referir este aspecto. Enquanto matemático com inclinações mais "puras" ou "teóricas", não estudo ou investigo Matemática pela sua utilidade, mas sim pela sua beleza. Nem todos compreenderão isto, mas há uma beleza surpreendente na Matemática. Desde a demonstração de que existe uma infinidade de números primos ou a demonstração da irracionalidade da raiz quadrada de 2, até assuntos mais abstractos como a Teoria de Galois ou a Análise Complexa, são inúmeros os exemplos de Matemática bonita. É um privilégio conhecer estas ideias e poder apreciá-las.


Espero ter feito, pelo menos, com que pensassem na Matemática de forma diferente. E se, pelo caminho, tiver convencido alguém a seguir Matemática no futuro também não era mau... :D
 

Gonçalo Matos

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Mas que bem escrito, Uncle Sam @Alfa !
já me deparei com assuntos nos quais, inesperadamente, pode haver problemas matemáticos. A Linguística, a Política e o Direito são três dos exemplos mais surpreendentes.
Em Direito sei que o estudo de lógica é essencial, mas e as outras duas? Tenho um amigo que está a fazer uma tese sobre semi-grupos de palavras (whatever that is), mas não vejo isso como um problema de linguística... Podes dar-me exemplos de problemas matemáticos em Política e Linguística? Really curious about it.
 
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