Matemática: Questões e Discussões

 
Mas que bem escrito, Uncle Sam @Alfa !

Em Direito sei que o estudo de lógica é essencial, mas e as outras duas? Tenho um amigo que está a fazer uma tese sobre semi-grupos de palavras (whatever that is), mas não vejo isso como um problema de linguística... Podes dar-me exemplos de problemas matemáticos em Política e Linguística? Really curious about it.

Quando falei em Direito era nisso que estava a pensar, sim. Deparei-me há uns tempos com um livro que era uma colectânea de artigos sobre as aplicações das lógicas não clássicas ao Direito.

Em relação à Linguística, podemos enveredar pelos semigrupos, sim, se bem que isso é uma versão muito simplista de "linguagem". Há um ramo da Linguística chamado Linguística Computacional (ver Wikipédia - estou no telemóvel e não é cómodo inserir links...) que envolve alguma Matemática.

Quanto à Política, usei o termo em sentido muito lato. Tinha em mente a Teoria da Escolha Social (uma vez mais, ver Wikipédia), que envolve o estudo teórico (usando ferramentas lógicas e matemáticas) de fenómenos como eleições, por exemplo.
--- Post atualizado ---
Espera, só agora me apercebi de uma coisa: @Gonçalo Matos, esse teu amigo dos semigrupos está em doutoramento? Em Lisboa?
 
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Nope, Mestrado em Matemática Pura (ou algo do género) na FCT.

Ah. É que um colega meu de doutoramento está a trabalhar em algo do género. Mas penso que há várias pessoas em Portugal a trabalhar em semigrupos.
 
Colegas de fórum, a aguardada actualização do meu blogue já foi feita. O artigo novo não é uma continuação do anterior (tenho de reflectir melhor sobre como quero continuar esse assunto), mas espero que seja interessante. É um tema que me é muito próximo.

O link está na minha assinatura, abaixo ;)
 
Colegas de fórum, a aguardada actualização do meu blogue já foi feita. O artigo novo não é uma continuação do anterior (tenho de reflectir melhor sobre como quero continuar esse assunto), mas espero que seja interessante. É um tema que me é muito próximo.

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Come on, shameless self promotion, let's get sickeniiiiing
 
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Comassim?? Estou só a anunciar o meu post, no meu blog, sobre a minha área de investigação. What self promotion?
 
Quando acabares de escrever sobre grupos, escreve sobre semi-grupos Alfa :D
 
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Quando acabares de escrever sobre grupos, escreve sobre semi-grupos Alfa :D

Um semigrupo é "mais ou menos a mesma coisa", mas a operação não tem de ter elemento neutro nem inversos. Ou seja, é só um conjunto com uma operação associativa.

Porque é que isto é interessante? Um dos exemplos paradigmáticos de semigrupo é o dos semigrupos de palavras. Uma "palavra" é só uma sequência de letras (não necessariamente com significado em português ou outra língua qualquer), como "abcd" ou "xyzyw". Os informáticos chamariam a isto uma "string".

Uma operação que podemos fazer com palavras é a "concatenação". Por exemplo, a concatenação de "abcd" e "bda" é "abcdbda". Esta operação é associativa, mas não tem elemento neutro nem inversos. (O elemento neutro ainda se arranjava, considerando uma palavra "vazia", sem letras. Mas nem sempre é conveniente considerá-lo.)

Assim, o conjunto das palavras com a operação de concatenação é um semigrupo. Um exemplo muito importante de semigrupo. Isto tem importância em diversas áreas, especialmente em computação.
 
Que é a Matemática?

Eu acho que é muito difícil definir a matemática, mas para mim a matemática é a base para tudo que existe no universo, ou seja sem ela não evoluíamos e continuávamos na Idade da Pedra. Foi com ela que conseguimos construir prédios enormes graças à formula F=ma, foi com ela que descobrimos o porquê da Terra girar em torno do sol, foi graças a ela que existe a internet (algoritmos), foi com ela que aconteceu a revolução industrial... e isto foram só certos acontecimentos, porque há muitos mais!
A Física, Mecânica-Quântica, Química, Física Teórica e todos esses ramos não existiam se não existisse a Matemática. Mas definir a matemática é uma coisa impossível, porque nunca a vamos dominar completamente, simplesmente está acima de nós.
 
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Eu acho que é muito difícil definir a matemática, mas para mim a matemática é a base para tudo que existe no universo, ou seja sem ela não evoluíamos e continuávamos na Idade da Pedra. Foi com ela que conseguimos construir prédios enormes graças à formula F=ma, foi com ela que descobrimos o porquê da Terra girar em torno do sol, foi graças a ela que existe a internet (algoritmos), foi com ela que aconteceu a revolução industrial... e isto foram só certos acontecimentos, porque há muitos mais!
A Física, Mecânica-Quântica, Química, Física Teórica e todos esses ramos não existiam se não existisse a Matemática. Mas definir a matemática é uma coisa impossível, porque nunca a vamos dominar completamente, simplesmente está acima de nós.
Há muitas coisas que não dominas e estão acima de ti e as defines x) Não percebi essa

Sim, a matemática é a base de tudo o que existe... O que não implica ser a mais bonita :p
 
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@Alfy utilizando o truque do Gauss (que creio que já foi apresentado aqui no tópico?) acho que deduzi a relação para a soma dos números pares desde um n qualquer (par) até 0. :grin:

Acho que é: (n+2)×(n÷2)÷2 = n(n+2)/4 .

Exs:
10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30
10 × (10+2)/4 = 120/4 = 30 :smiley:


24 + 22 + ... + 4 + 2 = 156
(24+2) × (24/2) / 2 = 312 / 2 = 156 (utilizei a outra fórmula por ser mais fácil fazer de cabeça)


50 + 48 + ... + 4 + 2 = 650
(50+2) * (50/2) / 2 = 1300 / 2 = 650
 
@Alfy utilizando o truque do Gauss (que creio que já foi apresentado aqui no tópico?) acho que deduzi a relação para a soma dos números pares desde um n qualquer (par) até 0. :grin:

Acho que é: (n+2)×(n÷2)÷2 = n(n+2)/4 .

Exs:
10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30
10 × (10+2)/4 = 120/4 = 30 :smiley:


24 + 22 + ... + 4 + 2 = 156
(24+2) × (24/2) / 2 = 312 / 2 = 156 (utilizei a outra fórmula por ser mais fácil fazer de cabeça)


50 + 48 + ... + 4 + 2 = 650
(50+2) * (50/2) / 2 = 1300 / 2 = 650

Presumo que o n na tua fórmula seja o último número da progressão. Uma forma de verificar a tua fórmula é a seguinte. Sabemos que
[latex]1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}[/latex]
Então
[latex]2+4+\cdots + 2k = 2(1+2+\cdots + k) = 2 \times \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1)[/latex]
O teu n corresponde a 2k nesta fórmula, pelo que k é n/2. Substituindo:
[latex]k(k+1) = \frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{n}{2}\times\frac{n+2}{2} = \frac{n(n+2)}{4}[/latex]
Isto prova a tua fórmula.

Imagino que a tua dedução tenha sido algo deste género...

(Por um processo semelhante arranjam-se fórmulas para a soma de múltiplos de um dado número. Ou, com algumas modificações, a fórmula conhecida do secundário para a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer.)
 
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Tenho duas perguntas sobre esta temática. Que certamente poderão parecer tontas à luz dos conhecimentos dos matemáticos.

1) O infinito é mesmo infinito ou podemos provar que tem um fim? Certamente a solução é tão longa que torna incapaz o ser-humano de encontrar algum ponto onde a solução tenha um fim. A natureza dos números é diferente daquele conceito de: princípio, meio e fim ?

2) A procura de soluções perante um problema pode ser influenciado da forma filosófica que olhamos o problema? Isto é, olhando para a formação de um teorema, um algoritmo, uma fórmula (peço desculpa pela falta de domínio por conceitos matemáticos), a solução final está dependente da forma como se olha o mesmo, sendo que esta visão pode ser influenciada por crenças, por senso-comum ou pela abordagem sistémica com que utilizados o método de resolução. Bem, espero que me faça entender. :coldsweat:
 
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Reactions: Blasty and Alfa
Tenho duas perguntas sobre esta temática. Que certamente poderão parecer tontas à luz dos conhecimentos dos matemáticos.

Nenhuma delas é tonta. São, de facto, questões muito profundas e interessantes. ;)

1) O infinito é mesmo infinito ou podemos provar que tem um fim? Certamente a solução é tão longa que torna incapaz o ser-humano de encontrar algum ponto onde a solução tenha um fim. A natureza dos números é diferente daquele conceito de: princípio, meio e fim ?

Um dos conceitos simultaneamente mais importantes e mais estranhos da Matemática é o conceito de infinito. De facto, não é exagero dizer que uma grande parte da Matemática anda em torno do conceito de infinito. Por isso, é muito normal o infinito causar alguma perplexidade.

Respondendo mais concretamente à tua pergunta, eu diria que não, à partida. Há muitos conceitos distintos de infinito em Matemática mas todos se caracterizam por, em algum sentido, não terem fim. Pegando no exemplo mais simples, o dos números: a sequência dos números naturais 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... não termina. Após um número há sempre um número maior. Neste sentido, não tem fim. O ser humano não é propriamente capaz de registar ou apreender totalmente algo infinito. Mas podemos tentar compreendê-lo. No caso dos números, apesar de não conseguirmos "ver todos os números", conseguimos conceber que, contando durante tempo suficiente, podemos chegar a um número tão grande quanto queiramos, pelo menos em teoria. Neste sentido, compreendemos em parte este infinito, apesar de não o vermos na sua totalidade. Não sei se me faço entender.

) A procura de soluções perante um problema pode ser influenciado da forma filosófica que olhamos o problema? Isto é, olhando para a formação de um teorema, um algoritmo, uma fórmula (peço desculpa pela falta de domínio por conceitos matemáticos), a solução final está dependente da forma como se olha o mesmo, sendo que esta visão pode ser influenciada por crenças, por senso-comum ou pela abordagem sistémica com que utilizados o método de resolução.

Esta é uma pergunta ainda mais interessante, talvez. A resposta é "sim e não".

Por um lado, a Matemática tem métodos que são algo restritivos, em certo sentido. Para resolver problemas matemáticos temos de nos cingir às regras do raciocínio lógico. Neste sentido, as crenças que possamos ter ou o que o senso comum possa ditar não têm uma influência assim tão grande. Eu até posso acreditar que o teorema X é falso, mas se me arranjarem uma demonstração desse teorema (ou se eu próprio acabar por prová-lo), terei de aceitar isso.

No entanto, a minha abordagem a um dado problema pode ser diferente consoante eu ache à partida que ele tem solução ou não tem ou consoante aquilo que eu penso poder ser a solução. Desse ponto de vista, aquilo que eu penso sobre o problema pode influenciar o caminho a seguir, mas não vai influenciar a solução do problema em si.

Um aspecto talvez mais interessante tem a ver com o facto de praticamente todas as áreas da Matemática estarem interligadas. Isto faz com que haja certos assuntos e problemas que não pertencem à àrea X ou àrea Y, mas sim à intersecção das duas. Assim, um matemático que trabalhe mais na área X vai ter uma abordagem ao problema e uma visão sobre ele diferentes das de um matemático que trabalhe mais na área Y.

Resumindo, não acho que a solução de um problema esteja dependente da forma como olhamos para ele (pelo menos em certo sentido). Mas concordo com a afirmação de que a forma como olhamos para o problema influencia (muito) a abordagem que lhe fazemos.
 
Um dos conceitos simultaneamente mais importantes e mais estranhos da Matemática é o conceito de infinito. De facto, não é exagero dizer que uma grande parte da Matemática anda em torno do conceito de infinito. Por isso, é muito normal o infinito causar alguma perplexidade.

Respondendo mais concretamente à tua pergunta, eu diria que não, à partida. Há muitos conceitos distintos de infinito em Matemática mas todos se caracterizam por, em algum sentido, não terem fim. Pegando no exemplo mais simples, o dos números: a sequência dos números naturais 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... não termina. Após um número há sempre um número maior. Neste sentido, não tem fim. O ser humano não é propriamente capaz de registar ou apreender totalmente algo infinito. Mas podemos tentar compreendê-lo. No caso dos números, apesar de não conseguirmos "ver todos os números", conseguimos conceber que, contando durante tempo suficiente, podemos chegar a um número tão grande quanto queiramos, pelo menos em teoria. Neste sentido, compreendemos em parte este infinito, apesar de não o vermos na sua totalidade. Não sei se me faço entender.

Então, considerando um qualquer conjunto de símbolos (números, representações) limitado, podemos considerar que por associação entre eles, qualquer conjunto é à partida infinito. Pegando agora num teorema qualquer, ele é decomposto até que ponto? Até a solução ser infinita ou qualquer teorema é sempre de solução finita? Digo isto porque o conjunto que utilizamos para representá-lo é constituído por elementos, que por associação, os tornam infinitos. Do tipo, se chegar à conclusão que x = y, onde x e y sejam um conjunto de números ou representações, esta solução é infinita, dado que o conjunto de números que os define é ele infinito.

Pode parecer ridículo, mas sem representação mental, como podemos afirmar que é infinito? É que depois, posso utilizar o argumento da apresentação mental para justificar outra qualquer solução, desde que comprove que haja essa limitação mental. Será que estamos perante uma limitação humana cujo conceito é o infinito ou é provável que com o avançar da tecnologia, possamos colocar um término a muito conceito infinito?

Resumindo, não acho que a solução de um problema esteja dependente da forma como olhamos para ele (pelo menos em certo sentido). Mas concordo com a afirmação de que a forma como olhamos para o problema influencia (muito) a abordagem que lhe fazemos.

Eu toquei neste ponto pela ligação da Matemática a outras áreas. Li para trás a associação que fizeram ao Direito ou à Linguística. Foi mais por aí que peguei na explicação filosófica. Estudei há uns anos lógica simbólica, que usa matemática mas com letras, que é essencial na argumentação. Então, comecei a pensar em classificar determinadas premissas, usar um qualquer teorema e construir um argumento por essa tentativa. Bem, isto deve parecer meio estúpido, mas é uma tentativa de ligar a Matemática à expressão linguística, ver a Matemática na vida real.

Exemplificando. O Teorema de Pitágoras.

Premissa A: O céu é azul (cateto A) Premissa B: O céu é bonito.

Hipotenusa: O céu é muito azul e o céu é muito bonito. Isto é verdadeiro e foi já provado, pelo Teorema de Pitágoras.

Bem, isto deve estar meio confuso, espero que dê para entender qual o ponto que quero chegar. Eu se for um tipo que estuda o universo, sei que o céu é azul é uma premissa errada ou discutível. O céu ser bonito é uma afirmação nada verosímil, varia consoante a pessoa e consoante o conceito de bonito.

Isto são dois temas distintos. Provavelmente faz sentido discutir separadamente.