Matemática: Questões e Discussões

 
Então, considerando um qualquer conjunto de símbolos (números, representações) limitado, podemos considerar que por associação entre eles, qualquer conjunto é à partida infinito. Pegando agora num teorema qualquer, ele é decomposto até que ponto? Até a solução ser infinita ou qualquer teorema é sempre de solução finita? Digo isto porque o conjunto que utilizamos para representá-lo é constituído por elementos, que por associação, os tornam infinitos. Do tipo, se chegar à conclusão que x = y, onde x e y sejam um conjunto de números ou representações, esta solução é infinita, dado que o conjunto de números que os define é ele infinito.

Acho que pode existir aí alguma confusão entre os conceitos. Não sei bem como responder a isto.

Pode parecer ridículo, mas sem representação mental, como podemos afirmar que é infinito? É que depois, posso utilizar o argumento da apresentação mental para justificar outra qualquer solução, desde que comprove que haja essa limitação mental. Será que estamos perante uma limitação humana cujo conceito é o infinito ou é provável que com o avançar da tecnologia, possamos colocar um término a muito conceito infinito?

Talvez a tua inquietação resida no facto de teres em mente uma noção intuitiva de infinito e não a noção matemática de infinito. O ser humano não consegue, por exemplo, listar ou enumerar todos os elementos de um conjunto infinito. Mas pode conceber alguns conjuntos infinitos. O conjuntos dos números naturais é um deles. Apesar de ser infinito, conseguimos imaginar à partida (mesmo que com alguma dificuldade), uma sequência de números que não termina. E é possível lidar com estes conceitos de modo matemático rigoroso, sem que sejamos obrigados a escrever, enumerar ou lista cada um dos elementos dos conjuntos infinitos com os quais lidamos.

A preocupação com o infinito pode ter uma grande carga "filosófica" associada, mas posso garantir que o conceito de infinito em Matemática é uma noção como outra qualquer, como a noção de "número" ou de "recta". É mais difícil de apreender, acarreta certas consequências que nos podem parecer estranhas, mas a Matemática lida com o infinito com bastante sucesso.

Estudei há uns anos lógica simbólica, que usa matemática mas com letras, que é essencial na argumentação.

É importante dizer que não só a Matemática também usa letras, como existe uma ligação muito grande entre a Matemática e a Lógica. Por um lado, os Matemáticos utilizam o tipo de sistemas de lógica simbólica que deves ter estudado. Por outro, a Lógica também é objecto de estudo de certas áreas da Matemática.

Exemplificando. O Teorema de Pitágoras.

Premissa A: O céu é azul (cateto A) Premissa B: O céu é bonito.

Hipotenusa: O céu é muito azul e o céu é muito bonito. Isto é verdadeiro e foi já provado, pelo Teorema de Pitágoras.

Não sei bem o que isto significa. Uma "premissa" é um conceito lógico e uma "hipotenusa" é um conceito geométrico. Não faz sentido misturar os dois e usar o Teorema de Pitágoras para extrair alguma conclusão.

O que posso dizer é que conceitos da Lógica como "premissas", "inferências", "validade", ... são amplamente utilizados como ferramenta no raciocínio matemático. A Lógica e a Matemática não estão separadas.
 
@Alpha, tenho alguma dificuldade em utilizar termos mais específicos, por desconhecer os mesmos. Desculpa lá.

Acho que pode existir aí alguma confusão entre os conceitos. Não sei bem como responder a isto.

Imagina este determinado conjunto: [A, B, C, D, E, F, G], por associação (AA, AB, AC, AD..) podemos afirmar que o mesmo é infinito. Era isto que queria dizer, desde que o conjunto seja compostos por elementos distintos entre si, a associação entre eles é sempre infinita? (É provável que esteja a misturar conceitos!)

A outra parte é mesmo uma dúvida matemática. Quando é que um teorema fica comprovado? Quando chegamos ao fim da sua dedução ou por termos uma barreira mental, o mesmo fica assim provado? Espero que estejas a perceber. :flushed:

Em relação ao resto, estou mais-ou-menos esclarecido. Uma pergunta apenas: que áreas da Matemática estudam a Lógica? Era aqui que cria chegar, mas dei maus exemplos e baralhei tudo.

No fundo, o meu objectivo é ligar o mundo real à Matemática. Para entender melhor as formulas, os conceitos, os teoremas. Sempre tive esta dificuldade em ligar o real com o abstrato, apesar de entender que em muitos acontecimentos, só faz sentido no abstrato ou na teoria.

Obrigado pelo esforço.
 
Imagina este determinado conjunto: [A, B, C, D, E, F, G], por associação (AA, AB, AC, AD..) podemos afirmar que o mesmo é infinito. Era isto que queria dizer, desde que o conjunto seja compostos por elementos distintos entre si, a associação entre eles é sempre infinita? (É provável que esteja a misturar conceitos!)

Ah, mas isso são conjuntos distintos. Uma coisa é o conjunto (finito) formado pelos sete elementos A, B, C, D, E, F e G. Outra coisa é o conjunto (infinito) formado pelas possíveis sequências destas sete letras.

A outra parte é mesmo uma dúvida matemática. Quando é que um teorema fica comprovado? Quando chegamos ao fim da sua dedução ou por termos uma barreira mental, o mesmo fica assim provado? Espero que estejas a perceber. :flushed:

Uma vez que estudaste alguma lógica, terás pelo menos parte da resposta a isso. Um teorema é uma afirmação; algo como "a sona de dois números pares é um número par". O teorema fica demonstrado quando se dá um argumento que parta daquilo que já se sabe e chegue à afirmação que se quer demonstrar usando regras de inferência legitimadas pela Lógica.

Temos mesmo de apresentar uma "dedução". É claro que uma demonstração pode ser maior ou menor, mais ou menos complicada, mas é "finita", termina. Ainda assim, podemos provar teoremas sobre o infinito. Eu sei que pode parecer estranho, mas esclarecer completamente a questão não é uma tarefa fácil.

Em relação ao resto, estou mais-ou-menos esclarecido. Uma pergunta apenas: que áreas da Matemática estudam a Lógica?

Uma coisa é a Lógica, que é o estudo dos processos legítimos de raciocínio. Outra coisa é a Lógica Matemática, que é uma área da Matemática que estuda a Lógica de um ponto de vista matemático.

No fundo, o meu objectivo é ligar o mundo real à Matemática. Para entender melhor as formulas, os conceitos, os teoremas. Sempre tive esta dificuldade em ligar o real com o abstrato, apesar de entender que em muitos acontecimentos, só faz sentido no abstrato ou na teoria.

Então talvez o melhor caminho não seja o das questões sobre o infinito e da Lógica. Estes são assuntos abstractos, que em alguns aspectos também estão removidos do mundo real...
 
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@Alpha, já pareço uma criança de cinco anos, mas tenho mais uma dúvida.

O infinito é então uma representação mental. O finito é que pode ser representado por um objecto. Certo?

Um teorema que, na sua dedução, seja utilizado um elemento infinito, torna a sua solução infinita? É que assim, deixa de fazer sentido usar o infinito, dado que este impossibilitará que haja uma representação objectiva do teorema.

Sabendo que a sequência de números naturais é infinita, uma solução que utilize números naturais, torna a mesma infinita? Bem, aqui posso utilizar os números naturais de forma a obter um objecto, sabendo que há um limite, sobretudo em termos de espaço.

Já começo a gostar de Matemática. O problema é quando isto mete letras estranhas, números, raízes, letras ao quadrado, tudo descamba. lol
 
O infinito é então uma representação mental. O finito é que pode ser representado por um objecto. Certo?

Não quero entrar em discussões do tipo "será o universo infinito?", mas mesmo sem ir por aí acho que é justo afirmar que, no quotidiano, temos contacto essencialmente com objectos finitos ou com conjuntos finitos. O infinito é uma construção mental.

Um teorema que, na sua dedução, seja utilizado um elemento infinito, torna a sua solução infinita? É que assim, deixa de fazer sentido usar o infinito, dado que este impossibilitará que haja uma representação objectiva do teorema.

Em Matemática, podemos falar do infinito de maneira finita. Isto é, há uma definição de conjunto infinito que podemos escrever e usar em teoremas. E mesmo quando falamos em conjuntos infinitos, podemos provar coisas acerca deles sem qualquer problema.

Por exemplo, conseguimos provar que a soma de dois números pares é um número par. Isto consegue fazer-se de modo simples apesar de haver uma infinidade de números. O facto de provarmos coisas acerca de conjuntos infinitos não torna os nossos argumentos "infinitos". Não conseguimos ter argumentos infinitos.
 
Em Matemática, podemos falar do infinito de maneira finita. Isto é, há uma definição de conjunto infinito que podemos escrever e usar em teoremas. E mesmo quando falamos em conjuntos infinitos, podemos provar coisas acerca deles sem qualquer problema.

Por exemplo, conseguimos provar que a soma de dois números pares é um número par. Isto consegue fazer-se de modo simples apesar de haver uma infinidade de números. O facto de provarmos coisas acerca de conjuntos infinitos não torna os nossos argumentos "infinitos". Não conseguimos ter argumentos infinitos.

Entendido.

Obrigado.
 
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Entendido.

Obrigado.

Faz as perguntas que quiseres, a curiosidade é importante. ;)

Entendo que estas coisas possam parecer um pouco intrigantes e bizarras a princípio, especialmente quando não estamos ainda familiarizados com os conceitos. É normal ter estas inquietações. :)
 
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Isso é uma pergunta para os físicos, não para mim. A resposta sincera: não sei. ;)
Não estava à espera duma resposta "X dimensões" nem um físico poderia dar tal resposta. Estava à espera mais duma opinião sobre o tema, como se uma hipótese, mas se não tens well too bad...

Talvez ja me tenhas dito e se sim desculpa não me lembrar mas qual é a tua área de estudo em Matemática?
 
Não estava à espera duma resposta "X dimensões" nem um físico poderia dar tal resposta. Estava à espera mais duma opinião sobre o tema, como se uma hipótese, mas se não tens well too bad...

Bem, ele tem aspecto de dimensão 3 da minha perspectiva :sweatsmile:

Talvez ja me tenhas dito e se sim desculpa não me lembrar mas qual é a tua área de estudo em Matemática?

Dito de um modo muito geral, Álgebra. Sendo mais específico, teoria da representação de grupos finitos, com algumas ligações à combinatória. Mais complicado é explicar o que isto significa :sweatsmile:
 
@Alfa, duas perguntas: Quantas dimensões tem o nosso Universo, e porquê? ;)

Enquanto (aspirante a) Físico: depende da teoria em que acreditares. Por agora, diria que há pelo menos quatro: três de espaço e uma de tempo. Depois temos a Teoria das Cordas e tudo o que daí advém, que eleva lá para as 13 ou 14 dimensões, ou lá o que é...
 
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Já há algum tempo que não proponho aqui um problema. A altura pode não ser a mais propícia, mas para quem não tenha exames ou gosta de ter alguma coisa com que se entreter intelectualmente nas pausas do estudo, aqui vai...

O problema tem a ver com números (naturais) que são uma soma de dois quadrados perfeitos. Por exemplo, 13 e 17 são somas de quadrados porque
[latex]13 = 4 + 9 = 2^2 + 3^2\ \ \ \ \text{e}\ \ \ \ 17 = 1 + 16 = 1^2 + 4^2[/latex]
Agora vamos multiplicar estes dois números: 13 x 17 = 221. E o número 221 é também uma soma de quadrados, porque
[latex]221 = 25 + 196 = 5^2 + 14^2[/latex]
Questão: Isto é uma coincidência? O produto de dois números que sejam uma soma de dois quadrados também é sempre uma soma de dois quadrados?

(Uma nota: este problema pode ser muito fácil ou muito difícil, dependendo do conhecimento que cada um tenha e da abordagem que adopte. Uma pessoa que saiba umas coisinhas mais avançadas consegue resolver o problema em pouco tempo se souber o que fazer. Mas é interessante pegar nesta questão e simplesmente fazer algumas experiências, mexer em alguns exemplos e ver o que acontece.)
 
Principais pensamentos que me surgiram:

1) Sequências de números (naturais, pares, primos, quadrados perfeitos,...)

2) Casos notáveis:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = ( a - b ) * ( a + b )

3) Binómio de Newton e Triângulo de Pascal

4) Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Talvez com mais algum raciocínio chegue à teoria. :)

Não é uma má ideia, de facto, quando se aborda um problema matemático, começar por registar algumas ideias de coisas que poderiam ajudar. É possível que algumas se revelem inúteis ou infrutíferas, mas mesmo uma tentativa falhada pode dizer-nos alguma coisa sobre o problema ;)
 
Já há algum tempo que não proponho aqui um problema. A altura pode não ser a mais propícia, mas para quem não tenha exames ou gosta de ter alguma coisa com que se entreter intelectualmente nas pausas do estudo, aqui vai...

O problema tem a ver com números (naturais) que são uma soma de dois quadrados perfeitos. Por exemplo, 13 e 17 são somas de quadrados porque
[latex]13 = 4 + 9 = 2^2 + 3^2\ \ \ \ \text{e}\ \ \ \ 17 = 1 + 16 = 1^2 + 4^2[/latex]
Agora vamos multiplicar estes dois números: 13 x 17 = 221. E o número 221 é também uma soma de quadrados, porque
[latex]221 = 25 + 196 = 5^2 + 14^2[/latex]
Questão: Isto é uma coincidência? O produto de dois números que sejam uma soma de dois quadrados também é sempre uma soma de dois quadrados?

(Uma nota: este problema pode ser muito fácil ou muito difícil, dependendo do conhecimento que cada um tenha e da abordagem que adopte. Uma pessoa que saiba umas coisinhas mais avançadas consegue resolver o problema em pouco tempo se souber o que fazer. Mas é interessante pegar nesta questão e simplesmente fazer algumas experiências, mexer em alguns exemplos e ver o que acontece.)

Não sei até que ponto isto é um contra exemplo porque não sei a partir de que números o problema está definido e se as somas dos dois quadrados podem ser iguais, mas:

[latex]2 = 1^2 + 1^2[/latex]
Logo
[latex]2 \times 2 = 4 = 2^2 + ?? = 1^2 + ???[/latex]
Suponho que o zero neste caso não entre para os Naturais porque senão acho que este problema transformava-se trivial.
 
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Não sei até que ponto isto é um contra exemplo porque não sei a partir de que números o problema está definido e se as somas dos dois quadrados podem ser iguais, mas:

[latex]2 = 1^2 + 1^2[/latex]
Logo
[latex]2 \times 2 = 4 = 2^2 + ?? = 1^2 + ???[/latex]
Suponho que o zero neste caso não entre para os Naturais porque senão acho que este problema transformava-se trivial.

[latex]2^2 = 2^2 + 0^2[/latex]
Temos, de facto, de usar o zero. Isso não torna o problema trivial.
 
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