Matemática: Questões e Discussões

Urmik

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Alfa

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Acho que estás a virar isto mais para a malta do 12º, mas estou curioso para saber o que é que queres que seja dito.

Sim e não. Por um lado, acho que esta discussão faz sentido e pode ser útil para quem está no fim do secundário, mas por outro lado esmiuçar a questão como deve ser requer um tipo de análise que não é propriamente acessível a esse nível.

O meu objectivo era apenas o de lançar a interrogação e fazer com que as pessoas percebam que a estranheza que os complexos causam é completamente justificada. Por um lado, andamos a acrescentar números aos que já temos há muito tempo: naturais, fracções, negativos, irracionais... Por outro lado, os números reais parecem muito "acabados", visto completarem a recta toda; "inventar" um i cujo quadrado é -1 parece uma batotice desnecessária e pouco honesta.

Sobre os complexos, tens obviamente todas as utilizações reais. Pelo que amigos meus de engenharia dizem, qualquer coisa que involva circuitos e eletricidade. Se funciona, e se se usa, existe desde logo uma justificação para os matemáticos se "desencantarem do nada um número cujo quadrado é negativo e fazerem com ele operações". Existem até equações diferenciais, que podem ser usadas para modelar fenómenos reais, onde apesar de haver soluções reais, a resolução pode passar por complexos.

Aqui estás a falar de aplicações. As aplicações são muito importantes. Muitos conceitos matemáticos nasceram de problemas exteriores à Matemática. Os números complexos são uma coisa diferente. Na sua origem está o problema da resolução de equações de terceiro grau, um problema muito matemático.

De facto, mais tarde, a Física encontrou aplicações interessantes para os números complexos. Mas tanto a resolução de equações como os circuitos eléctricos são aplicações; dão-nos uma razão para nos interessarmos pelos complexos, mas não nos dizem porque é que é legítimo usá-los, de um ponto de vista matemático. Podiam ser uma batotice útil.

Pelo pouco que ainda entendo disto, parece-me que não há grandes regras, mas os matemáticos acabam por se ocupar das coisas que têm propriedades mais interessantes.

Isto é verdade. Os matemáticos não estudam objectos arbitrários; estudam objectos úteis e interessantes. Um conselho para quem estude ou vá estudar Matemática: se um conceito vos parece estranho, abstracto, sem motivação aparente, então é porque ainda não perceberam o seu interesse e motivação (talvez porque não vos tenham sido bem explicados), não por não existir tal interesse. Não andamos a estudar Matemática ao calhas.

Talvez eu possa pôr a questão de outro modo, mais filosófico e do qual me arrependerei quando o Nemo vier a este tópico: os números complexos existem? :P

Sou um user que já te mandou algumas mensagens, fiz uma conta nova porque a minha outra conta tinha um nome parvo (o propósito dessa conta era só colocar questões de FQ, acho que sabes quem sou :) )

Sei sim ;)
 
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Gonçalo Matos

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Qual é a justificação dos números complexos? Isto é, o que é que dá o direito aos matemáticos de desencantarem do nada um número cujo quadrado é negativo e fazerem com ele operações? Porque é que isto não pode ser feito com tudo? Por exemplo, não podemos inventar um número que permita dividir por zero? Ou um número x que satisfaça x + x = x, mas que seja diferente de zero?
Não sei se compreendo a tua pergunta.
A justificação histórica do aparecimento dos números complexos é por necessidade, e, como não há buracos na lógica, não há problema... A Matemática está cheia disto, de coisas que "fomos adicionando e criando" com rigor e validade lógica...
 
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Alfa

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, e, como não há buracos na lógica

Ah, mas é precisamente aí que quero chegar. Como é que sabes? É suposto, tendo em conta as regras das operações, não existirem raízes quadradas de números negativos. Mas de repente aparecem uns números que contrariam esta regra. Porque é que temos autorização para fazer isto?

(Eu estou a fazer o papel de "advogado do diabo" aqui. Eu sei que a lógica funciona. Mas é importante e interessante perceber que é realmente necessário justificar aqui qualquer coisa, caso contrário a Matemática fica a parecer um jogo sem regras.)
 

Alfa

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Alfa

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You weren’t bad at maths — you just weren’t looking at it the right way

"Having the right mental representations is the key to developing your mathematical potential".

#FoodForThought

Sim, claro. O mesmo é verdade a propósito de todos os assuntos. A Matemática, como já disse aqui, é uma rede; não é linear. E, como noutras áreas do conhecimento, se for possível relacionar conhecimento novo com conhecimento já existente, o conhecimento novo é mais facilmente integrado.

Mas isto está praticamente ao nível do senso comum. Todos nós sabemos, sentimos, ouvimos dizer, defendemos, que a compreensão e interligação de conhecimento é melhor, em certo sentido, que a mera memorização de factos. Onde é que está o problema de implementação aqui?

Não sei a resposta completa, mas suspeito que parte do problema esteja no facto de os professores não terem essa rede de conhecimentos bem formada. O artigo dá o exemplo da tabuada, mas há outros que se podem dar. Por exemplo, porque é que as operações com fracções são feitas da forma como nos são ensinadas? Conheço professores de Matemática (até do secundário) incapazes de responder a esta questão.
 

Alfa

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Mathematicians Measure Infinities, and Find They're Equal

Os detalhes são simplificados para que o artigo seja perceptível. Não sei se entendi o verdadeiro valor da descoberta. Importas-te de falar um pouco sobre isto, @Alfy?

O artigo é enganadoramente sensacionalista. Especialmente a primeira frase. Não houve nenhuma mudança de paradigma, os matemáticos não se aperceberam de repente que estão enganados sobre o infinito.

A descoberta em si faz parte de duas áreas razoavelmente técnicas e avançadas da Matemática, a Teoria dos Modelos e a Teoria Descritiva dos Conjuntos. Não estou a par do assunto, mas posso investigar melhor e dizer alguma coisa sobre isso ;)
 

sтαяℓιgнт cяιsιs

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O artigo é enganadoramente sensacionalista. Especialmente a primeira frase. Não houve nenhuma mudança de paradigma, os matemáticos não se aperceberam de repente que estão enganados sobre o infinito.
Sim, isso tinha percebido, já que dei em Matemática Discreta ^^

A descoberta em si faz parte de duas áreas razoavelmente técnicas e avançadas da Matemática, a Teoria dos Modelos e a Teoria Descritiva dos Conjuntos. Não estou a par do assunto, mas posso investigar melhor e dizer alguma coisa sobre isso ;)
Não te quero dar trabalho :P. Podia ser que soubesses.
 

Alfa

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Olá a todos! Após uma ausência de alguns meses (e um desaparecimento temporário), decidi recuperar este tópico, a pedido de várias famílias ;)

E que melhor forma de começar senão com um problema? :p (Vá, mesmo que não queiram pensar o resultado em si é engraçado, prometo.)

O primeiro passo é desenhar um quadrilátero. Por "quadrilátero", quero dizer qualquer figura composta por quatro segmentos. Pode até ser uma coisa muito estranha! Eu desenhei dois como exemplo. No Paint. (Sim, eu sei, não ficou muito bonito, mas não tive paciência para uma ferramenta melhor...:sweatsmile:)

315ir07.jpg


Agora unam os pontos médios dos lados, por ordem, para obter outro quadrilátero. No caso dos meus exemplos, ficamos com... (mais uma vez, desculpem a "qualidade" das imagens)

qsl9ts.jpg

Notam alguma coisa de especial? Os quadriláteros a vermelho, obtidos unindo os pontos médios, são paralelogramos (ou seja, os lados opostos são paralelos). Se tivesse desenhado outros quadriláteros, por muito irregulares que fossem continuariam a ter esta propriedade. Experimentem!

Claro que agora o desafio é provar isto... ;) Há pelo menos duas maneiras de o fazer:
  • A forma mais fácil, mas mais trabalhosa (e talvez menos esclarecedora) é usar geometria analítica. Dêem coordenadas aos vértices do quadrilátero original e raciocinem a partir daí.
  • A forma menos óbvia envolve semelhança de triângulos, mas não precisa de coordenadas, pelo que pode ser um pouco mais esclarecedora.
Deixo o desafio ;)
 

Alterado

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Olá a todos! Após uma ausência de alguns meses (e um desaparecimento temporário), decidi recuperar este tópico, a pedido de várias famílias ;)

E que melhor forma de começar senão com um problema? :p (Vá, mesmo que não queiram pensar o resultado em si é engraçado, prometo.)

O primeiro passo é desenhar um quadrilátero. Por "quadrilátero", quero dizer qualquer figura composta por quatro segmentos. Pode até ser uma coisa muito estranha! Eu desenhei dois como exemplo. No Paint. (Sim, eu sei, não ficou muito bonito, mas não tive paciência para uma ferramenta melhor...:sweatsmile:)

315ir07.jpg


Agora unam os pontos médios dos lados, por ordem, para obter outro quadrilátero. No caso dos meus exemplos, ficamos com... (mais uma vez, desculpem a "qualidade" das imagens)

qsl9ts.jpg

Notam alguma coisa de especial? Os quadriláteros a vermelho, obtidos unindo os pontos médios, são paralelogramos (ou seja, os lados opostos são paralelos). Se tivesse desenhado outros quadriláteros, por muito irregulares que fossem continuariam a ter esta propriedade. Experimentem!

Claro que agora o desafio é provar isto... ;) Há pelo menos duas maneiras de o fazer:
  • A forma mais fácil, mas mais trabalhosa (e talvez menos esclarecedora) é usar geometria analítica. Dêem coordenadas aos vértices do quadrilátero original e raciocinem a partir daí.
  • A forma menos óbvia envolve semelhança de triângulos, mas não precisa de coordenadas, pelo que pode ser um pouco mais esclarecedora.
Deixo o desafio ;)

Seja A, B, C e D os pontos médios de um quadrilátero [FGHI]. Sejam Xi, Yi as coordenadas dos pontos F, G, H e I, com i=1, 2, 3 e 4, respetivamente.

A distância AB^2 é [(x1+x2)/2 - (x2-x3)/2]^2 + ... = [(x1-x3)/2]^2 + [(y1-y3)/2]^2

A distância BC^2 é [(x2+x3)/2 - (x3-x4)/2]^2 + ... = [(x2-x4)/2]^2 + [(y2-y4)/2]^2

A distância CD^2 é [(x3+x4)/2 - (x4-x1)/2]^2 + ... = [(x1-x3)/2]^2 + [(y1-y3)/2]^2

A distância AD^2 é [(x1+x2)/2 - (x4-x1)/2]^2 + ... = [(x2-x4)/2]^2 + [(y2-y4)/2]^2

donde, AB = AD e CD = AD (porque AB, AD, CD, AD > 0). Como [ABCD] é um polígono convexo (*) e os seus lados opostos são congruentes, então [ABCD] é um paralelogramo, cqd...

(*) só que não sei justificar que [ABCD] é convexo :sweatsmile:. Intuitivamente, é óbvio, mas a justificação para isto não parece ser assim tão simples. Se eu me lembrar de uma prova por contradição ou com produtos escalares, acrescento-a aqui.

EDIT: Afinal é óbvio. O vetores AB e CD têm coordenadas [((x1-x3)/2) ; ((y1-y3)/2)] e os vetores BC e AD [((x2-x4)/2); ((y2-y4)/2)], logo AB = k CD (k =1) e BC = k AD (k =1), pelo que são paralelos, portanto os segmentos que definem são paralelos, isto é AB // CD e BC // AD. [ABCD] é um polígono e os seus lados opostos são paralelos, logo, cqd, [ABCD] é um paralelogramo.

Seja [ABC] um triãngulo. Sejam D e E pontos médios de dois dos seus lados. Os triângulos [ABC] e [ADE] (ver figura) são semelhantes, porque partilham o ângulo AÊD e BA = 2AD e AC = 2AE. Vamos provar que DE // BC

p5ERf9D.png


Supondo que DE não é paralelo a BC, então a amplitude AÊD é diferente da de ACE. Contudo, os triângulos são semelhantes, pelo que têm de ser iguais. Logo, DE // BC (este raciocínio faz sentido? Se não fizer, Euclides demonstrou isto de certeza rigorosamente algures n'Os Elementos).

Então, vamos considerar primeiro os quadrilatéros convexos, que podemos sempre dividir em dois triângulos (ver figura, esquerda). Os triângulos [ACE] e [ADH] são semelhantes, pelo que, como provámos anteriormente, HD // EC. Analogamente, [BCE] e [EBG] são semelhantes, pelo que EG // EC, donde EG // HD. Verificamos ainda que [HGE] e [HAB] são semelhantes, tal como [ABC] e [CDE], donde, seguindo o raciocínio anterior, HG // DE.

Provámos, portanto, que os lados opostos do quadrilátero formado pelos pontos médios do inicial são paralelos, logo é um paralelogramo (a questão da convexidade não se coloca, é condição suficiente).

O raciocínio é semelhante para quadriláteros não convexos (ver figura, direita), construindo um triângulo unindo três pontos do quadrilátero inicial. Novamente recorrendo à semelhança de triângulos, prova-se que os lados opostos de [EFGH] são paralelos, pelo que é um paralelogramo (não me parece necessário escrever tudo de novo com outros pontos).

(esta demonstração é tudo menos rigorosa e apesar dos quadriláteros que desenhei serem objetos arbitrários, não sei se mostrei bem que se aplica a todos e não só àqueles, especificamente. De qualquer modo, acho que se percebe a ideia.)

ZBtiK9Z.png
 
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Alfa

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Seja A, B, C e D os pontos médios de um quadrilátero [FGHI]. Sejam Xi, Yi as coordenadas dos pontos F, G, H e I, com i=1, 2, 3 e 4, respetivamente.

A distância AB é [(x1+x2)/2 - (x2-x3)/2]^2 + ... = [(x1-x3)/2]^2 + [(y1-y3)/2]^2

A distância BC é [(x2+x3)/2 - (x3-x4)/2]^2 + ... = [(x2-x4)/2]^2 + [(y2-y4)/2]^2

A distância CD é [(x3+x4)/2 - (x4-x1)/2]^2 + ... = [(x1-x3)/2]^2 + [(y1-y3)/2]^2

A distância AD é [(x1+x2)/2 - (x4-x1)/2]^2 + ... = [(x2-x4)/2]^2 + [(y2-y4)/2]^2

donde, AB = AD e CD = AD. Como [ABCD] é um polígono convexo (*) e os seus lados opostos são paralelos, então [ABCD] é um paralelogramo, cqd...

(*) só que não sei justificar que [ABCD] é convexo :sweatsmile:. Intuitivamente, é óbvio, mas a justificação para isto não parece ser assim tão simples. Se eu me lembrar de uma prova por contradição ou com produtos escalares, acrescento-a aqui.

Seja [ABC] um triãngulo. Sejam D e E pontos médios de dois dos seus lados. Os triângulos [ABC] e [ADE] (ver figura) são semelhantes, porque partilham o ângulo AÊD e BA = 2AD e AC = 2AE. Vamos provar que DE // BC

p5ERf9D.png


Supondo que DE não é paralelo a BC, então a amplitude AÊD é diferente da de ACE. Contudo, os triângulos são semelhantes, pelo que têm de ser iguais. Logo, DE // BC (este raciocínio faz sentido? Se não fizer, Euclides demonstrou isto de certeza rigorosamente algures n'Os Elementos).

Então, vamos considerar primeiro os quadrilatéros convexos, que podemos sempre dividir em dois triângulos (ver figura, esquerda). Os triângulos [ACE] e [ADH] são semelhantes, pelo que, como provámos anteriormente, HD // EC. Analogamente, [BCE] e [EBG] são semelhantes, pelo que EG // EC, donde EG // HD. Verificamos ainda que [HGE] e [HAB] são semelhantes, tal como [ABC] e [CDE], donde, seguindo o raciocínio anterior, HG // DE.

Provámos, portanto, que os lados opostos do quadrilátero formado pelos pontos médios do inicial são paralelos, logo é um paralelogramo (a questão da convexidade não se coloca, é condição suficiente).

O raciocínio é semelhante para quadriláteros não convexos (ver figura, direita), construindo um triângulo unindo três pontos do quadrilátero inicial. Novamente recorrendo à semelhança de triângulos, prova-se que os lados opostos de [EFGH] são paralelos, pelo que é um paralelogramo (não me parece necessário escrever tudo de novo com outros pontos).

(esta demonstração é tudo menos rigorosa e apesar dos quadriláteros que desenhei serem objetos arbitrários, não sei se mostrei bem que se aplica a todos e não só àqueles, especificamente. De qualquer modo, acho que se percebe a ideia.)

ZBtiK9Z.png

Em relação à primeira resolução, a minha ideia era de facto usar produtos escalares de vectores para provar que, mais que congruentes, os lados opostos são iguais. Aliás, se provares que são paralelos dois a dois, é escusado provar que são coongruentes.

Em relação à segunda, está essencialmente correcta, sim. O teu raciocínio com o triângulo está certo, sim. O que está aí por trás é essencialmente o facto de ângulos de lados paralelos serem iguais. Não acho que tenhas de dividir em casos: segundo me pareceu quando pensei nisto, a tua demonstração resulta tão bem no caso convexo como no outro. (Pode estar a escapar-me alguma coisa, no entanto.) ;)
 

Blasty

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"combinações com repetição"? A resposta é afirmativa; existem
Memo, quando dei combinatória fiquei curiosa com isso e fui pesquisar. xD

Btw, adorei reler este tópico (sobretudo as cenas de combinatória :D).
 
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Alfa

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Uma das minhas áreas favoritas da Matemática é a Combinatória. Apesar de não ter gostado especialmente de Combinatória no secundário, adorei a disciplina de Matemática Finita da licenciatura (a primeira metade do programa era Combinatória) e acabei por fazer uma dissertação de mestrado em Combinatória. Neste momento, parte do meu trabalho de doutoramento envolve alguma Combinatória (mas mais ligada a outra área da Matemática, a Teoria da Representação).

Disse que não gostei especialmente de Combinatória no secundário e continuo a não gostar da forma como esta é dada. Uma das razões para isto é: assemelha-se muito pouco ao tipo de coisa que se faz em Combinatória a nível avançado. Não estou a sugerir que se ensine Combinatória avançada no secundário, naturalmente, mas acho que algumas coisas podiam ser diferentes.

Vou dar um exemplo: as "combinações". O primeiro problema é o nome. Ninguém que trabalhe em Matemática e, especialmente, em Combinatória, usa este nome. Isto não seria muito mau caso a designação "combinações" tivesse vantagens. Mas não tem; pelo contrário, oculta o seu significado. Já lá vou chegar.

O segundo problema (e o mais sério) é a forma como se trabalha com "combinações" (e outros conceitos) no secundário. Independentemente de como se definam as combinações, eventualmente dá-se a fórmula
2rztq3t.png
para as "combinações de n, k a k" e todas as propriedades futuras são baseadas nesta fórmula. Assim, a abordagem às "combinações" é completamente algébrica. Propriedades como as que se seguem seriam demonstradas algebricamente, usando a fórmula anterior, o teorema binomial (usualmente designado "binómio de Newton") ou indução matemática (deixo as demonstrações, por estas vias, como exercício para quem queira):
258pe74.png

Vamos fazer as coisas de outra maneira. Vamos definir nCk da seguinte maneira:
  • nCk é o número de subconjuntos com k elemento de um conjunto com n elementos
Por exemplo, se considerarmos o conjunto {1,2,3,4}, existem 6 subconjuntos deste conjunto que têm 2 elementos, nomeadamente:
{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}​
Por isso, 4C2 = 6.

Esta definição é aquilo a que chamamos uma "definição combinatória": estamos a definir um símbolo que representa o número ou quantidade de uns certos objectos. Neste caso, subconjuntos. É isso que as "combinações" fazem: representam o número de subconjuntos.

(Havendo a palavra "subconjunto", porquê usar "combinação", que nem sequer tem significado matemático? Não seria mais fácil chamar "subconjunto" em vez de "combinação", o que até ajudaria memorizar que, neste caso, a "ordem não interessa"? Bem, é isso que qualquer matemático faz. Só no 12.º ano é que se prefere a palavra "combinação", por razões que por mais que me esforce não consigo compreender...)

Usando esta definição combinatória, podemos demonstrar as propriedades (1) e (2) que escrevi mais acima.

(1) O primeiro membro representa o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos. O segundo membro representa o número de subconjuntos com n-k elementos de um conjunto com n elementos. O que queremos é provar que, num conjunto de n elementos, há tantos subconjuntos com k elementos como subconjuntos com n-k elementos. Mas isto é verdade porque os subconjuntos com k elementos podem ser "emparelhados" com os seus complementares, que têm n-k elementos. Só para dar um exemplo desta ideia: consideremos novamente o conjunto {1,2,3,4}; há tantos subconjuntos com 1 elemento como subconjuntos com 3 elementos, e eles podem ser emparelhados da seguinte maneira:
{1} --- {2,3,4}, {2} --- {1,3,4}, {3} --- {1,2,4}, {4} --- {1,2,3}.​

(2) Esta é a minha favorita. O segundo membro, 2^n, é precisamente o número total de subconjuntos de um conjunto com n elementos (penso que este facto faz parte do programa do secundário; caso contrário, digam-me e eu esclareço melhor porque é que é assim).

O que é o primeiro membro? Estamos a somar o número de subconjuntos com 0 elementos (só há um, é o conjunto vazio), o número de subconjuntos com 1 elemento, o número de subconjuntos com 2 elementos, ... ... etc, até chegarmos ao número de subconjuntos com n elementos. Mas isto cobre todas as possibilidades! Dentro de um conjunto com n elementos, um subconjunto tem de ter 0, 1, 2, ... ou n elementos. Assim, no primeiro membro temos, uma vez mais, o número total de subconjuntos de um conjunto com n elementos, pelo que tem de ser igual a 2^n.

Reparem que não foi preciso usar a fórmula para provar as propriedades (1) e (2). Só precisamos de saber o que o símbolo nCk significa, em termos combinatórios. Isto é uma das grandes armas da Combinatória: conseguimos provar coisas, de modo combinatório, sem termos definições algébricas explícitas. Porque é que isto é importante? Porque, em Combinatória avançada, raramente há fórmulas algébricas explícitas! Trabalhamos com objectos mais complicados do que subconjuntos que não têm uma fórmula bonita e simples, pelo que é muitas vezes mais fácil (e esclarecedor!) trabalhar com definições combinatórias.

E é mais bonito assim, ninguém gosta de fazer muitas contas... :D
 

Alfa

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Escolham um número primo qualquer. Por exemplo, 5. Agora vamos escrever a linha correspondente do triângulo de Pascal:
5C0 = 1, 5C1 = 5, 5C2 = 10, 5C3 = 10, 5C4 = 5, 5C5 = 1
Com a excepção dos elementos "extremos", que são iguais a 1, os números desta linha são todos múltiplos de 5, o primo que escolhemos originalmente. Interessante, não é?

Vamos tentar com outro primo, o 7. A linha 7 do triângulo de Pascal é:
1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
Mais uma vez, todos os números da linha (tirando os 1's) são múltiplos de 7.

Isto é um teorema engraçado:
  • Se n é primo e 0<k<n, então nCk é um múltiplo de n.
Desafio para quem quiser usar algum tempo para pensar nisto: provar este resultado. ;)
 

NemoExNihilo

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Escolham um número primo qualquer. Por exemplo, 5. Agora vamos escrever a linha correspondente do triângulo de Pascal:
5C0 = 1, 5C1 = 5, 5C2 = 10, 5C3 = 10, 5C4 = 5, 5C5 = 1
Com a excepção dos elementos "extremos", que são iguais a 1, os números desta linha são todos múltiplos de 5, o primo que escolhemos originalmente. Interessante, não é?

Vamos tentar com outro primo, o 7. A linha 7 do triângulo de Pascal é:
1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
Mais uma vez, todos os números da linha (tirando os 1's) são múltiplos de 7.

Isto é um teorema engraçado:
  • Se n é primo e 0<k<n, então nCk é um múltiplo de n.
Desafio para quem quiser usar algum tempo para pensar nisto: provar este resultado. ;)

Não será simplesmente pela definição de número primo e de combinação? nCp = n!/(p! (n-p)!), e, para n primo, p!(n-p)! nunca vai conter um termo que seja divisor de n (para p entre 1 e n-1), pelo que todos os valores que apresenta serão, forçosamente, múltiplos de n?
 
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Alfa

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Não será simplesmente pela definição de número primo e de combinação? nCp = n!/(p! (n-p)!), e, para n primo, p!(n-p)! nunca vai conter um termo que seja divisor de n (para p entre 1 e n-1), pelo que todos os valores que apresenta serão, forçosamente, múltiplos de n?

O argumento é esse, sim ;) Para se justificar como deve ser é preciso apelar ao Teorema Fundamental da Aritmética aí pelo meio (porquê? ;)), mas é essencialmente isso, sim :D
 
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