Matemática: Questões e Discussões

 
Pode ser um bom caminho, mas não é suficiente. Tomas k=0, mas, para concluíres que não há soluções, tens de verificar que chegas a uma impossibilidade para qualquer k.

Se é impossível para \( k = 0 \), então é impossível para qualquer \(k\). A condição que obtive em função de \( k \) tem de ser válida para qualquer \(k \in \mathbb{Z} \). Se não é, então não existem soluções. Obtive, portanto, que a condição é falsa para um deles - mas ela tem de ser universal. Logo, não é verdadeira para nenhum.

Ou, de outra forma, como qualquer uma das funções é periódica de período \(2 \pi \), a existirem soluções têm de existir \(\infty\) soluções, que diferem \(2 \pi \) entre si. Se uma não existir, então nenhuma existe. Devia ter tido mais cuidado a esboçar o argumento, desculpa, mas estou a tentar aprender uma cadeira inteira na qual não peguei exceto para os laboratórios em três dias 😅 (spoiler: não é boa ideia) e escrevi um bocado à pressa.
 
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é impossível para k=0k=0 k = 0 , então é impossível para qualquer kkk. A condição que obtive em função de kk k tem de ser válida para qualquer k∈Zk∈Zk \in \mathbb{Z} . Se não é, então não existem soluções. Obtive, portanto, que a condição é falsa para um deles - mas ela tem de ser universal. Logo, não é verdadeira para nenhum.

Não, o problema é este. À cabeça, sem qualquer alusão à periodicidade, a condição não tem de se verificar para qualquer k, mas para algum deles. Foi esta a razão da minha objecção.


, como qualquer uma das funções é periódica de período 2π2π2 \pi , a existirem soluções têm de existir ∞∞\infty soluções, que diferem 2π2π2 \pi entre si. Se uma não existir, então nenhuma existe.

Isto já aceito, mas tinha de ser um pouco mais esmiuçado.
 
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Resolvi assim
\[\begin{align}
& \sin [\cos (x)]=\cos [\sin (x)] \\
& \sin [\cos (x)]=\sin \left[ \sin (x)+\frac{\pi }{2} \right] \\
& \cos (x)=\sin (x)+\frac{\pi }{2}+2k\pi \\
& \cos (x)-\sin (x)=\frac{\pi }{2}+2k\pi \\
\end{align}\]
Multiplicando ambos os membros por \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), vem
\[\begin{align}
& \frac{\sqrt{2}}{2}\left[ \cos (x)-\sin (x) \right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \frac{\pi }{2}+2k\pi \right) \\
& \frac{\sqrt{2}}{2}\cos (x)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (x)=\frac{\sqrt{2}\pi }{4}+\sqrt{2}k\pi \\
& \cos \left( \frac{\pi }{4} \right)\cos (x)-\sin \left( \frac{\pi }{4} \right)\sin (x)=\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k \right) \\
& \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k \right),k\in {{\mathbb{Z}}} \\
\end{align}\]
Depois, se \( k=0 \), temos que \[\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\pi \].
Uma vez que \( \frac{\sqrt{2}}{4}\pi > 1 \), trata-se de uma condição impossível, já que \( \forall x\in \mathbb{R},-1\le \cos \left( x \right)\le 1 \)
A partir daí, uma vez que \( \sqrt{2}>1\), temos que \(\forall k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}, \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k > \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)>\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \)
Se \( k=-1 \), temos que \[\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) = -3\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \].
Uma vez que \( \frac{\sqrt{2}}{4}\pi < -1 \), trata-se de uma condição impossível, já que \( \forall x\in \mathbb{R},-1\le \cos \left( x \right)\le 1 \)
A partir daí, uma vez que \( \sqrt{2}>1\), temos que \(\forall k\in {{\mathbb{Z}}^{-}}, \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k < -3\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \Rightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le-3\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \)
Desta forma, a equação \( \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k \right) \) é impossível \(\forall k\in {{\mathbb{Z}}}\), pelo que a equação \( \sin [\cos (x)]=\cos [\sin (x)] \) é impossível \(\forall x\in {{\mathbb{R}}}\)
 
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Resolvi assim
\[\begin{align}
& \sin [\cos (x)]=\cos [\sin (x)] \\
& \sin [\cos (x)]=\sin \left[ \sin (x)+\frac{\pi }{2} \right] \\
& \cos (x)=\sin (x)+\frac{\pi }{2}+2k\pi \\
& \cos (x)-\sin (x)=\frac{\pi }{2}+2k\pi \\
\end{align}\]
Multiplicando ambos os membros por \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), vem
\[\begin{align}
& \frac{\sqrt{2}}{2}\left[ \cos (x)-\sin (x) \right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \frac{\pi }{2}+2k\pi \right) \\
& \frac{\sqrt{2}}{2}\cos (x)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (x)=\frac{\sqrt{2}\pi }{4}+\sqrt{2}k\pi \\
& \cos \left( \frac{\pi }{4} \right)\cos (x)-\sin \left( \frac{\pi }{4} \right)\sin (x)=\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k \right) \\
& \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k \right),k\in {{\mathbb{Z}}} \\
\end{align}\]
Depois, se \( k=0 \), temos que \[\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\pi \].
Uma vez que \( \frac{\sqrt{2}}{4}\pi > 1 \), trata-se de uma condição impossível, já que \( \forall x\in \mathbb{R},-1\le \cos \left( x \right)\le 1 \)
A partir daí, uma vez que \( \sqrt{2}>1\), temos que \(\forall k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}, \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k > \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)>\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \)
Se \( k=-1 \), temos que \[\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) = -3\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \].
Uma vez que \( \frac{\sqrt{2}}{4}\pi < -1 \), trata-se de uma condição impossível, já que \( \forall x\in \mathbb{R},-1\le \cos \left( x \right)\le 1 \)
A partir daí, uma vez que \( \sqrt{2}>1\), temos que \(\forall k\in {{\mathbb{Z}}^{-}}, \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k < -3\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \Rightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le-3\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \)
Desta forma, a equação \( \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k \right) \) é impossível \(\forall k\in {{\mathbb{Z}}}\), pelo que a equação \( \sin [\cos (x)]=\cos [\sin (x)] \) é impossível \(\forall x\in {{\mathbb{R}}}\)
Resolvi assim
\[\begin{align}
& \sin [\cos (x)]=\cos [\sin (x)] \\
& \sin [\cos (x)]=\sin \left[ \sin (x)+\frac{\pi }{2} \right] \\
& \cos (x)=\sin (x)+\frac{\pi }{2}+2k\pi \\
& \cos (x)-\sin (x)=\frac{\pi }{2}+2k\pi \\
\end{align}\]
Multiplicando ambos os membros por \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), vem
\[\begin{align}
& \frac{\sqrt{2}}{2}\left[ \cos (x)-\sin (x) \right]=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \frac{\pi }{2}+2k\pi \right) \\
& \frac{\sqrt{2}}{2}\cos (x)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (x)=\frac{\sqrt{2}\pi }{4}+\sqrt{2}k\pi \\
& \cos \left( \frac{\pi }{4} \right)\cos (x)-\sin \left( \frac{\pi }{4} \right)\sin (x)=\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k \right) \\
& \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k \right),k\in {{\mathbb{Z}}} \\
\end{align}\]
Depois, se \( k=0 \), temos que \[\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\pi \].
Uma vez que \( \frac{\sqrt{2}}{4}\pi > 1 \), trata-se de uma condição impossível, já que \( \forall x\in \mathbb{R},-1\le \cos \left( x \right)\le 1 \)
A partir daí, uma vez que \( \sqrt{2}>1\), temos que \(\forall k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}, \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k > \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)>\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \)
Se \( k=-1 \), temos que \[\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) = -3\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \].
Uma vez que \( \frac{\sqrt{2}}{4}\pi < -1 \), trata-se de uma condição impossível, já que \( \forall x\in \mathbb{R},-1\le \cos \left( x \right)\le 1 \)
A partir daí, uma vez que \( \sqrt{2}>1\), temos que \(\forall k\in {{\mathbb{Z}}^{-}}, \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k < -3\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \Rightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le-3\frac{\sqrt{2}}{4}\pi \)
Desta forma, a equação \( \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2}k \right) \) é impossível \(\forall k\in {{\mathbb{Z}}}\), pelo que a equação \( \sin [\cos (x)]=\cos [\sin (x)] \) é impossível \(\forall x\in {{\mathbb{R}}}\)

Muito bem! E já vi que aprendeste umas coisinhas de LaTeX ;)
 
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Quem já frequentou uma disciplina de Cálculo ou Análise no ensino superior provavelmente já encontrou este desafio antes. Deixo-o aqui para quem quiser pensar um pouco.

Qual dos números seguintes é maior?
\[ e^\pi \ \ \ \ \ \ \text{ou}\ \ \ \ \ \pi^e \]
(A resposta é fácil de determinar usando uma calculadora. A ideia aqui é responder à questão usando métodos puramente analíticos.)
 
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Pensei em fazer assim:
\(\pi^e = (e^{ln(\pi)})^{e} = e^{eln(\pi)}\)
Assim, uma vez que as potências se encontram na mesma base, basta comparar os expoentes: \(\pi\) e \(eln(\pi)\)
A partir daqui não sei bem como fazer...
 
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Pensei em fazer assim:
\(\pi^e = (e^{ln(\pi)})^{e} = e^{eln(\pi)}\)
Assim, uma vez que as potências se encontram na mesma base, basta comparar os expoentes: \(\pi\) e \(eln(\pi)\)
A partir daqui não sei bem como fazer...

Isso não é uma má ideia ;) Agora é continuar a tentar encontrar um caminho ;)
 
Há algumas semanas, aborreci o @Alfa com um exercício engraçado, mas diabólico de um teste anterior de Cálculo Diferencial e Integral II. O professor das aulas práticas resolveu-o num horário de dúvidas, mas introduzindo uma simplificação, porque caso contrário o exercício tornava-se "horrível" e certamente ela não estar lá tratava-se de uma gralha. O professor das teóricas, de quem era o teste, depois de alguém lhe perguntar, respondeu que não, era intencional e o exercício era mesmo absurdamente difícil. Técnico, enfim.

O detalhe que tornava o exercício intratável, e em que inicialmente até o meu professor e o @Alfa se enganaram, é, no entanto, algo muito simples e que envolve apenas Matemática do secundário, pelo que desafio-vos a pensar com cuidado sobre ele. O desafio é calcular o seguinte limite:

\[ \lim_{k \to \infty} sin^{\frac{1}{2k+1}}(x^2), \qquad k \in \mathbb{N} \]
 
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Há algumas semanas, aborreci o @Alfa com um exercício engraçado, mas diabólico de um teste anterior de Cálculo Diferencial e Integral II. O professor das aulas práticas resolveu-o num horário de dúvidas, mas introduzindo uma simplificação, porque caso contrário o exercício tornava-se "horrível" e certamente ela não estar lá tratava-se de uma gralha. O professor das teóricas, de quem era o teste, depois de alguém lhe perguntar, respondeu que não, era intencional e o exercício era mesmo absurdamente difícil. Técnico, enfim.

O detalhe que tornava o exercício intratável, e em que inicialmente até o meu professor e o @Alfa se enganaram, é, no entanto, algo muito simples e que envolve apenas Matemática do secundário, pelo que desafio-vos a pensar com cuidado sobre ele. O desafio é calcular o seguinte limite:

\[ \lim_{k \to \infty} sin^{\frac{1}{2k+1}}(x^2), \qquad k \in \mathbb{N} \]
Dava para pensar assim?
Como 1/ 2k +1 tende para 0, e qualquer que seja o valor que x tome, x^2 será sempre positivo. E assim ficava 00^0 e dava 1.
Desculpa se for absurdo o que disse :P
 
Dava para pensar assim?
Como 1/ 2k +1 tende para 0, e qualquer que seja o valor que x tome, x^2 será sempre positivo. E assim ficava 00^0 e dava 1.
Desculpa se for absurdo o que disse :P
Mas a base não é x^2, é o seno de x^2.
 
Para ver se entendi, temos isto?
\[\lim_{k \to \infty}\left[ \sin(2x)\right]^{\frac{1}{2k+1}}\]

Não é 2x, é x^2. Tirando isso: muito bem, gosto muito mais dessa notação. Aborrece-me imenso ver
\[ \sin^2(x) \]
por exemplo (por razões que provavelmente se tornarão claras se fores para Matemática e estudares teoria dos grupos).
 
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Ah, mas mesmo assim, como o -1<=sinx<=1, o sin 2x vai estar no mesmo intervalo. E como o 1/2k+1 é 0, ficaria esse intervalo elevado a 0, que dava 1.

Um intervalo elevado a um número? Acho que não é isso que queres escrever (tem significado, mas imagino que queiras dizer um número desse intervalo). De facto, o limite pode ser 1, mas será que é sempre 1?

O argumento do seno é irrelevante, mas há uma razão pela qual escrevi 2k+1 e não outra coisa qualquer.
 
Um intervalo elevado a um número?
Sim refiro-me a um número desse intervalo, e não ao intervalo em si. Tal como quando temos por exemplo , lim x-> +00 senx/x, por sabermos que a função sen é limitada, o valor do limite será 0.
De facto, o limite pode ser 1, mas será que é sempre 1?

O argumento do seno é irrelevante, mas há uma razão pela qual escrevi 2k+1 e não outra coisa qualquer.
Mas se ao ficarmos com uma função limitada, neste caso o sin x^2, elevado a 0, não dá sempre 1?
 
Um intervalo elevado a um número? Acho que não é isso que queres escrever (tem significado, mas imagino que queiras dizer um número desse intervalo). De facto, o limite pode ser 1, mas será que é sempre 1?

O argumento do seno é irrelevante, mas há uma razão pela qual escrevi 2k+1 e não outra coisa qualquer.
Não é possível fazer isto?
\[\lim_{k \to \infty}\left[ \sin(x^2)\right]^{\frac{1}{2k+1}} = \left[\sin\left(x^2\right) \right]^{\lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k+1}} = sin\left(x^2\right)^0=1\]. Já que \(-1 \le sin(x^2) \le 1\).
 
Não é possível fazer isto?
\[\lim_{k \to \infty}\left[ \sin(x^2)\right]^{\frac{1}{2k+1}} = \left[\sin\left(x^2\right) \right]^{\lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k+1}} = sin\left(x^2\right)^0=1\]. Já que \(-1 \le sin(x^2) \le 1\).

Não. Imagina que o seno dá -1. O que dá o limite?
 
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Sim refiro-me a um número desse intervalo, e não ao intervalo em si. Tal como quando temos por exemplo , lim x-> +00 senx/x, por sabermos que a função sen é limitada, o valor do limite será 0.

Mas se ao ficarmos com uma função limitada, neste caso o sin x^2, elevado a 0, não dá sempre 1?


Não é possível fazer isto?
\[\lim_{k \to \infty}\left[ \sin(x^2)\right]^{\frac{1}{2k+1}} = \left[\sin\left(x^2\right) \right]^{\lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k+1}} = sin\left(x^2\right)^0=1\]. Já que \(-1 \le sin(x^2) \le 1\).

Não, reparem que \(x \neq k\)! 😜 O problema tem duas variáveis, e o problema é determinar o limite de uma função \( f(x) \) quando \( k \to \infty \). Talvez nesse sentido seja de alguma forma diferente da maior parte dos limites que calcularam no secundário, mas é só uma questão de pensar com algum cuidado. Se quiserem, posso tentar re-escrever o problema de uma forma mais familiar e simplificada:

Se \(a \in [-1; 1] \), então o problema pode ser calcular o limite da sucessão \(a^\frac{1}{2n+1}\).

Não. Imagina que o seno dá -1. O que dá o limite?

O @Alfa já deu (parte) da resposta! 😡😛
 
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