Matemática: Questões e Discussões

 
Não, reparem que \(x \neq k\)! 😜 O problema tem duas variáveis, e o problema é determinar o limite de uma função \( f(x) \) quando \( k \to \infty \). Talvez nesse sentido seja de alguma forma diferente da maior parte dos limites que calcularam no secundário, mas é só uma questão de pensar com algum cuidado. Se quiserem, posso tentar re-escrever o problema de uma forma mais familiar e simplificada:

Se \(a \in ]-1; 1[ \), então o problema pode ser calcular o limite da sucessão \(a^\frac{1}{2n+1}\).



O @Alfa já deu (parte) da resposta! 😡😛
Então se definirmos a sucessão por ramos, dá para chegar a algum lado?
Mas ainda não percebi uma coisa. Tomando o a como -1, se substituirmos o k por valores positivos, cada vez maiores, obtemos sempre -1. Então porque é que quando substituimos por +00, dá 0?
 
Então se definirmos a sucessão por ramos, dá para chegar a algum lado?
Mas ainda não percebi uma coisa. Tomando o a como -1, se substituirmos o k por valores positivos, cada vez maiores, obtemos sempre -1. Então porque é que quando substituimos por +00, dá 0?

Porque não existe uma regra que diga que o limite da potência (com n em expoente) é a base elevada ao limite do expoente. Este exemplo comprova precisamente que essa regra não pode existir, nem sempre funciona. Isto é um tipo de indeterminação.
 
Porque não existe uma regra que diga que o limite da potência (com n em expoente) é a base elevada ao limite do expoente. Este exemplo comprova precisamente que essa regra não pode existir, nem sempre funciona. Isto é um tipo de indeterminação.
Então por exemplo, tomando a como um valor qualquer dentro do intervalo ]0,1], o limite da sucessão será 1, certo? Se tomarmos a como um valor qualquer no intervalo [-1,0[, o limite da sucessão será -1, certo? Se tomarmos a=0, o limite dasucessão será 0.
Se definirmos isto por ramos, dá para chegar a alguma coisa?
 
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Então por exemplo, tomando a como um valor qualquer dentro do intervalo ]0,1], o limite da sucessão será 1, certo? Se tomarmos a como um valor qualquer no intervalo [-1,0[, o limite da sucessão será -1, certo? Se tomarmos a=0, o limite dasucessão será 0.
Se definirmos isto por ramos, dá para chegar a alguma coisa?

É essa a resposta, sim ;)
 
Há algumas semanas, aborreci o @Alfa com um exercício engraçado, mas diabólico de um teste anterior de Cálculo Diferencial e Integral II. O professor das aulas práticas resolveu-o num horário de dúvidas, mas introduzindo uma simplificação, porque caso contrário o exercício tornava-se "horrível" e certamente ela não estar lá tratava-se de uma gralha. O professor das teóricas, de quem era o teste, depois de alguém lhe perguntar, respondeu que não, era intencional e o exercício era mesmo absurdamente difícil. Técnico, enfim.

O detalhe que tornava o exercício intratável, e em que inicialmente até o meu professor e o @Alfa se enganaram, é, no entanto, algo muito simples e que envolve apenas Matemática do secundário, pelo que desafio-vos a pensar com cuidado sobre ele. O desafio é calcular o seguinte limite:

\[ \lim_{k \to \infty} sin^{\frac{1}{2k+1}}(x^2), \qquad k \in \mathbb{N} \]
Então afinal como é que isto se resolve? Se o sin(x^2) for positivo então o limite dá 1, e se sin(x^2) for igual a 0 dá uma indeterminação. Se sin(x^2) for negativo já vi que dá complicações.
Também não percebo porque é que se eu na máquina, ao escrever (-1)^(1/99999) obtenho -1, mas se fizer -1 elevado à forma decimal de 1/99999 já obtenho um resultado complexo, que até faz sentido tendo em conta que (-1)^(1/2) é igual à unidade imaginária. Mas então porque é que há esta discrepância entre a forma fracionária e a forma decimal? Tem a ver com a forma como a calculadora processa as coisas e arredonda certos valores? (por exemplo, se eu escrever sin(70pi) na calculadora, aparece-me um número muito pequeno perto de 0, mas não exatamente 0).
E outra coisa. (-1)^0=1, e limx->0((-1)^x)=1, mas limx->inf((-1)^(1/x)) no symbolab diz que é indefinido, mas no wolframalpha diz que é 1. (a mim também faz sentido dar 1 tendo em conta o resultado do primeiro limite que está a tender para 0) Mas assim, porque é que os dois sites dão resultados diferentes?
 
Olá, eu estou neste momento a concluir o 10 ano, mas realmente a única disciplina que não me corre bem é matemática A, eu tenho uma dúvida, se tiver 9 a matemática isso vai me influenciar, vou ter que repetir o ano ou a disciplina? É que o resto das disciplina correm realmente bem excepto matemática.
 
Olá, eu estou neste momento a concluir o 10 ano, mas realmente a única disciplina que não me corre bem é matemática A, eu tenho uma dúvida, se tiver 9 a matemática isso vai me influenciar, vou ter que repetir o ano ou a disciplina? É que o resto das disciplina correm realmente bem excepto matemática.
Olá! Não, mas precisas que no final do 12º ano a média dos 3 anos seja positiva. Não precisas repetir o ano ou a disciplina de 10º ano.
 
Vamos lá fazer um pequeno ritual de necromancia neste tópico...


Existem muitos números. Mesmo muitos. Uma infinidade deles, na realidade. Nesta mensagem, vou referir-me apenas aos chamados "números naturais", ou seja, os números
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
(Há quem ache que o número zero devia ser incluído no conjunto dos números naturais. Não quero meter-me nessa controvérsia hoje. Vou simplesmente chamar "números naturais" a estes, não incluindo o zero.)

Para além de existirem muitos números naturais, cada número natural pode ser descrito ou nomeado de muitas maneiras diferentes. Só para dar um exemplo, considerem o meu número natural favorito, o 13. Eis cinco maneiras diferentes de nos referirmos a ele ou de o descrevermos:
  • treze;​
  • o número que resulta da adição de sete e seis;​
  • o sexto número natural primo;​
  • o sétimo número natural ímpar;​
  • o menor número natural primo que dá origem a um número primo diferente quando os seus algarismos são escritos pela ordem inversa.​
Poderíamos pensar numa infinidade de descrições do número 13, tal como poderíamos pensar numa infinidade de descrições para qualquer outro número natural. Algumas destas descrições são mais concisas (a primeira descrição que apresentei acima tem apenas cinco letras) e outras são mais palavrosas (a última descrição das cinco apresentadas tem cento e sete letras).

Vamos pensar na seguinte questão: será que existem números naturais que não podem ser descritos em menos de sessenta e nove letras? Muitos números naturais pequenos podem ser descritos em poucas letras (basta considerar os seus nomes usuais em português). Por exemplo, o número 235 pode ser descrito como "duzentos e trinta e cinco" e esta expressão tem apenas vinte e uma letras.

No entanto, a língua portuguesa tem apenas um número finito de letras (vinte e seis; um pouco mais se decidirmos contar as letras com acentos e outros sinais gráficos como sendo distintas). Deste modo, existe apenas um número finito de expressões em português com menos de sessenta e nove letras. Logo, existe apenas um número finito de descrições possíveis com sessenta e nove letras. Uma vez que há uma infinidade de números naturais, existirão certamente alguns que não admitem uma descrição com o limite indicado de letras.

Até aqui esta discussão não parecerá muito problemática. Mas, neste ponto, podemos fazer a seguinte observação: se existem números naturais que não podem ser descritos em menos de sessenta e nove letras, então certamente existirá um primeiro número natural que não admite uma descrição destas. Vamos chamar N a este número.

Como podemos descrever o número N? Uma forma de o fazer, tendo em conta a discussão anterior, é:
  • o menor número natural que não pode ser descrito em menos de sessenta e nove letras.
Bem, quantas letras tem esta descrição? Se as contarem, constatarão que tem... sessenta e oito! Este número N, que (por definição) não admite uma descrição em menos de sessenta e nove letras, tem, afinal, uma tal descrição! O que correu mal aqui? Como explicar isto?

Este paradoxo é conhecido como "paradoxo de Berry". Uma resolução completa deste paradoxo exige algumas noções bastante sofisticadas de lógica, pelo que não vou apresentá-la aqui. Quem estiver interessado pode investigar mais sobre o assunto ou, simplesmente, tentar perceber onde está o problema por si mesmo, se se atrever. 🧐
 
Trago-vos um problema engraçado que um amigo me mostrou ontem.

Considerem a seguinte figura:

1628782864491.png
Penso que a disposição dos vários elementos da figura e relações entre eles são suficientemente claras para não precisarem de muitos esclarecimentos. Vou apenas dizer que o rectângulo exterior é um quadrado e que as circunferências maiores têm raio igual a 1.

Qual é o raio das circunferências menores?
 
Trago-vos um problema engraçado que um amigo me mostrou ontem.

Considerem a seguinte figura:

Penso que a disposição dos vários elementos da figura e relações entre eles são suficientemente claras para não precisarem de muitos esclarecimentos. Vou apenas dizer que o rectângulo exterior é um quadrado e que as circunferências maiores têm raio igual a 1.

Qual é o raio das circunferências menores?

EDIT: Conforme mais à frente, esta minha resolução está errada porque eu sou um idiota, mas fica aqui na mesma por motivos históricos e honestidade intelectual.

Não sou particularmente bom a geometria, nem particularmente adepto, mas foram uns minutos razoavelmente bem passados...

Seja [imath]r[/imath] o raio das circunferências mais pequenas, [imath]R[/imath] o raio das circunferências maiores e [imath]d[/imath] a diagonal do quadrado. Obviamente,
[math]4r = d - 2R[/math]
Vendo uma das circunferências maiores, temos que:
[math]\frac{d}{2} = R + k \Leftrightarrow d = 2 R + 2 k[/math]Onde [imath]k[/imath] é (eu não vou desenhar isto...) o comprimento do segmento de recta que vai desde o centro de uma das circunferências maiores até ao vértice mais próximo do quadrado.

[imath]k[/imath], se virmos bem, é (mais uma vez, não vou desenhar isto) a hipotenusa de um triângulo rectângulo formado por um raio da circunferência maior até à intersecção desta com o quadrado e o segmento de recta que vai dessa intersecção ao vértice, cujo comprimento também é [imath]R[/imath]. Por isto, e por aquele senhor Pitágoras,

[math]k^2 = 2R^2 \Leftrightarrow k = R \sqrt{2}[/math]
Portanto, será questão de substituir:

[math]4 r = 2 k \Leftrightarrow r = \frac{R}{2} \sqrt{2}[/math]
Ou seja, o raio das circunferências mais pequenas será [imath]\frac{\sqrt{2}}{2}[/imath], se não me tiver enganado em nenhum passo.

EDIT: Pequena falha no [imath]\LaTeX[/imath]. Depois de ter falado em "as far as the author can conceive"... sem comentários.
 
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Seja [imath]r[/imath] o raio das circunferências mais pequenas, [imath]R[/imath] o raio das circunferências maiores e [imath]d[/imath] a diagonal do quadrado. Obviamente,
[math]4r = d - 2R[/math]

Eu diria que o problema começa aqui. Esta igualdade não me parece óbvia, nem verdadeira. A diagonal tem mais um bocadinho.
 
Eu diria que o problema começa aqui. Esta igualdade não me parece óbvia, nem verdadeira. A diagonal tem mais um bocadinho.

E é assim que eu tenho zero nos testes. 🤦‍♂️
 
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Deixa lá, acontece aos melhores.

Enfim, não é demasiado grave, visto que a observação essencial, parece-me, é a mesma.

Seja [imath]r[/imath] o raio das circunferências mais pequenas, [imath]R[/imath] o raio das circunferências maiores e [imath]d[/imath] a diagonal do quadrado.

Seja [imath]K[/imath] o comprimento do segmento de recta desde o centro de uma das circunferências maiores até ao vértice mais próximo, e [imath]k[/imath] o comprimento do segmento de recta desde o centro de uma das circunferências menores até ao vértice mais próximo. Ambos esses segmentos de recta constituem hipotenusas de triângulos rectângulos formados por um raio da respectiva circunferência até à intersecção desta com o quadrado e o segmento de recta que vai dessa intersecção ao vértice mais próximo. (Desenhando, era mais fácil, mas acho que se percebe.)

Por isto, [imath]K^2 = 2 R^2[/imath] e [imath]k^2 = 2 r^2[/imath].

Por um lado, observando a diagonal que passa pelas circunferências maiores, tem-se:

[math]\frac{d}{2} = R + K[/math]
Por outro lado, observando a diagonal que passa pelas circunferências menores, tem-se:

[math]\frac{d}{2} = R + r + k[/math]
Assim,

[math]R + r + k = R + K \Leftrightarrow \left (1 + \sqrt{2} \right) r = \sqrt{2} R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} R[/math]
Ou, simplificando, [imath]r = \left (2 - \sqrt{2} \right) R[/imath].
 
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Enfim, não é demasiado grave, visto que a observação essencial, parece-me, é a mesma.

Seja [imath]r[/imath] o raio das circunferências mais pequenas, [imath]R[/imath] o raio das circunferências maiores e [imath]d[/imath] a diagonal do quadrado.

Seja [imath]K[/imath] o comprimento do segmento de recta desde o centro de uma das circunferências maiores até ao vértice mais próximo, e [imath]k[/imath] o comprimento do segmento de recta desde o centro de uma das circunferências menores até ao vértice mais próximo. Ambos esses segmentos de recta constituem hipotenusas de triângulos rectângulos formados por um raio da respectiva circunferência até à intersecção desta com o quadrado e o segmento de recta que vai dessa intersecção ao vértice mais próximo. (Desenhando, era mais fácil, mas acho que se percebe.)

Por isto, [imath]K^2 = 2 R^2[/imath] e [imath]k^2 = 2 r^2[/imath].

Por um lado, observando a diagonal que passa pelas circunferências maiores, tem-se:

[math]\frac{d}{2} = R + K[/math]
Por outro lado, observando a diagonal que passa pelas circunferências menores, tem-se:

[math]\frac{d}{2} = R + r + k[/math]
Assim,

[math]R + r + k = R + K \Leftrightarrow \left (1 + \sqrt{2} \right) r = \sqrt{2} R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} R[/math]
Ou, simplificando, [imath]r = \left (2 - \sqrt{2} \right) R[/imath].

Sim. 😉
 

Já agora, acho que esta situação que nasceu da minha idiotice pode ser um ponto de partida para uma reflexão vagamente interessante.

Quando apresentei a primeira resolução, era capaz de jurar a pés juntos que a igualdade errada que apresentei (e que, como acho que ambos podemos concordar, não era - deixando um pouco de modéstia à parte - fruto de falta de conhecimento matemático na área relevante, até porque, enfim, não é nada de demasiado sofisticado) era verdadeira, simplesmente porque, na ânsia de resolver o problema, nem reparei num pormenor (retrospectivamente óbvio) da geometria da figura, que, aliás, precisei de invocar mais à frente na resolução precisamente do mesmo modo. Obviamente, o resultado não estava correcto. Por outro lado, o raciocínio envolvido na resolução do problema não foi significativamente alterado por isso, e o grau de dificuldade, no geral, manteve-se (com excepção da simplificação da raiz quadrada, mas vamos ambos admitir que isso é o menos...).

Se um exercício deste género surgisse num momento de avaliação, e se eu desse a minha primeira resposta, garantidamente que não teria a cotação completa. É certo que, dependendo dos critérios e/ou do avaliador, o desconto poderia não ser muito significativo, mas não a teria. Admitindo, como me parece ser o único pressuposto legítimo para a existência de momentos de avaliação, que o objectivo seria aferir o meu conhecimento matemático, e tendo em conta, como tentei justificar antes, que em momento algum da minha resolução errada houve sinais de verdadeiro desconhecimento matemático, será desejável que assim seja? Será lícito considerar-se que o meu conhecimento matemático é menos completo por causa disso?

Pode dizer-se que é para isto mesmo que servem os múltiplos momentos de avaliação, e admito que seria um pouco forçado considerar uma situação em que erros do género acontecem em todos, mas... bem... conhecendo-me, I could have been there, I could have done that.
 
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