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\(\left(-1\right)^0=1\), não?
Isso é verdade, mas qual é o limite da sucessão
\[ (-1)^{1/(2n+1)}/]
Ou melhor, quais são os seus termos?
\(\left(-1\right)^0=1\), não?
Então se definirmos a sucessão por ramos, dá para chegar a algum lado?Não, reparem que \(x \neq k\)!O problema tem duas variáveis, e o problema é determinar o limite de uma função \( f(x) \) quando \( k \to \infty \). Talvez nesse sentido seja de alguma forma diferente da maior parte dos limites que calcularam no secundário, mas é só uma questão de pensar com algum cuidado. Se quiserem, posso tentar re-escrever o problema de uma forma mais familiar e simplificada:
Se \(a \in ]-1; 1[ \), então o problema pode ser calcular o limite da sucessão \(a^\frac{1}{2n+1}\).
O @Alfa já deu (parte) da resposta!![]()
Então se definirmos a sucessão por ramos, dá para chegar a algum lado?
Mas ainda não percebi uma coisa. Tomando o a como -1, se substituirmos o k por valores positivos, cada vez maiores, obtemos sempre -1. Então porque é que quando substituimos por +00, dá 0?
Então por exemplo, tomando a como um valor qualquer dentro do intervalo ]0,1], o limite da sucessão será 1, certo? Se tomarmos a como um valor qualquer no intervalo [-1,0[, o limite da sucessão será -1, certo? Se tomarmos a=0, o limite dasucessão será 0.Porque não existe uma regra que diga que o limite da potência (com n em expoente) é a base elevada ao limite do expoente. Este exemplo comprova precisamente que essa regra não pode existir, nem sempre funciona. Isto é um tipo de indeterminação.
Então por exemplo, tomando a como um valor qualquer dentro do intervalo ]0,1], o limite da sucessão será 1, certo? Se tomarmos a como um valor qualquer no intervalo [-1,0[, o limite da sucessão será -1, certo? Se tomarmos a=0, o limite dasucessão será 0.
Se definirmos isto por ramos, dá para chegar a alguma coisa?
Obrigado pela ajuda!É essa a resposta, sim ;)
Esse artigo foi ótimo de ler, ty!![]()
Sylvia Serfaty on Mathematical Truth and Frustration | Quanta Magazine
For Sylvia Serfaty, mathematics is all about truth and beauty and building scientific and human connections.www.quantamagazine.org
Leitura recomendada a quem se interessa por Matemática.
Então afinal como é que isto se resolve? Se o sin(x^2) for positivo então o limite dá 1, e se sin(x^2) for igual a 0 dá uma indeterminação. Se sin(x^2) for negativo já vi que dá complicações.Há algumas semanas, aborreci o @Alfa com um exercício engraçado, mas diabólico de um teste anterior de Cálculo Diferencial e Integral II. O professor das aulas práticas resolveu-o num horário de dúvidas, mas introduzindo uma simplificação, porque caso contrário o exercício tornava-se "horrível" e certamente ela não estar lá tratava-se de uma gralha. O professor das teóricas, de quem era o teste, depois de alguém lhe perguntar, respondeu que não, era intencional e o exercício era mesmo absurdamente difícil. Técnico, enfim.
O detalhe que tornava o exercício intratável, e em que inicialmente até o meu professor e o @Alfa se enganaram, é, no entanto, algo muito simples e que envolve apenas Matemática do secundário, pelo que desafio-vos a pensar com cuidado sobre ele. O desafio é calcular o seguinte limite:
\[ \lim_{k \to \infty} sin^{\frac{1}{2k+1}}(x^2), \qquad k \in \mathbb{N} \]
Olá! Não, mas precisas que no final do 12º ano a média dos 3 anos seja positiva. Não precisas repetir o ano ou a disciplina de 10º ano.Olá, eu estou neste momento a concluir o 10 ano, mas realmente a única disciplina que não me corre bem é matemática A, eu tenho uma dúvida, se tiver 9 a matemática isso vai me influenciar, vou ter que repetir o ano ou a disciplina? É que o resto das disciplina correm realmente bem excepto matemática.
Trago-vos um problema engraçado que um amigo me mostrou ontem.
Considerem a seguinte figura:
Penso que a disposição dos vários elementos da figura e relações entre eles são suficientemente claras para não precisarem de muitos esclarecimentos. Vou apenas dizer que o rectângulo exterior é um quadrado e que as circunferências maiores têm raio igual a 1.
Qual é o raio das circunferências menores?
Seja [imath]r[/imath] o raio das circunferências mais pequenas, [imath]R[/imath] o raio das circunferências maiores e [imath]d[/imath] a diagonal do quadrado. Obviamente,
[math]4r = d - 2R[/math]
Eu diria que o problema começa aqui. Esta igualdade não me parece óbvia, nem verdadeira. A diagonal tem mais um bocadinho.
E é assim que eu tenho zero nos testes.
Deixa lá, acontece aos melhores.
Enfim, não é demasiado grave, visto que a observação essencial, parece-me, é a mesma.
Seja [imath]r[/imath] o raio das circunferências mais pequenas, [imath]R[/imath] o raio das circunferências maiores e [imath]d[/imath] a diagonal do quadrado.
Seja [imath]K[/imath] o comprimento do segmento de recta desde o centro de uma das circunferências maiores até ao vértice mais próximo, e [imath]k[/imath] o comprimento do segmento de recta desde o centro de uma das circunferências menores até ao vértice mais próximo. Ambos esses segmentos de recta constituem hipotenusas de triângulos rectângulos formados por um raio da respectiva circunferência até à intersecção desta com o quadrado e o segmento de recta que vai dessa intersecção ao vértice mais próximo. (Desenhando, era mais fácil, mas acho que se percebe.)
Por isto, [imath]K^2 = 2 R^2[/imath] e [imath]k^2 = 2 r^2[/imath].
Por um lado, observando a diagonal que passa pelas circunferências maiores, tem-se:
[math]\frac{d}{2} = R + K[/math]
Por outro lado, observando a diagonal que passa pelas circunferências menores, tem-se:
[math]\frac{d}{2} = R + r + k[/math]
Assim,
[math]R + r + k = R + K \Leftrightarrow \left (1 + \sqrt{2} \right) r = \sqrt{2} R \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} R[/math]
Ou, simplificando, [imath]r = \left (2 - \sqrt{2} \right) R[/imath].