Matemática: Questões e Discussões

 
Venho aqui partilhar algo que talvez tenha interesse para alguns de vocês. Quando estava no 12.º ano, escrevi um texto expositivo acerca da origem dos números complexos. É esse texto que decidi agora partilhar convosco. Foca-se em alguns aspectos da génese dos números complexos, descrevendo o problema que lhes deu origem e o seu contexto histórico. Tendo sido escrito há vários anos, tem algumas imprecisões e, hoje em dia, escreveria certas coisas de forma diferente. Para além disso, foi escrito nos tempos em que o Microsoft Word ainda não tinha uma ferramenta decente de edição de equações, pelo que a formatação matemática deixa muito a desejar... Não deixa de ter, ainda assim, alguma utilidade.

Há uma história interessante por trás do texto... Aquando da introdução aos números complexos feita pelo meu professor de Matemática A da altura, este referiu que os complexos tinham sido criados para que se pudessem resolver equações do segundo grau. Ora, eu já tinha estudado de modo autónomo algumas coisas sobre complexos e sabia que isto não era verdade: a introdução dos complexos havia sido feita para que se pudessem resolver equações do terceiro grau. Disse-lho e ele insistiu na sua posição. Então, à boa maneira académica, escrevi um texto devidamente fundamentado e com referências que provasse o meu ponto...

(Reparem que isto tudo aconteceu perto do fim do 12.º ano e, ainda assim, fui para Medicina e não Matemática. Era um autêntico perito em ignorar os sinais óbvios...)

Para quem não sabe o que são números complexos, segue-se uma brevíssima introdução, com apenas os aspectos necessários para entender o texto. De resto o texto exige muito poucos conhecimentos matemáticos; apenas alguma familiaridade com a resolução de equações quadráticas e alguma manipulação algébrica.
O sistema numérico dos complexos é uma extensão do sistema numérico dos reais, do mesmo modo que os reais estendem os sistemas numéricos mais simples dos racionais, inteiros e naturais. A ideia é a de eliminar a impossibilidade de tomar raízes quadradas (e, mais geralmente, raízes de índice par) de números negativos.

Para tal, considera-se um novo número, a unidade imaginária, que se representa por i e que tem a propriedade
[latex]i^2 = -1[/latex]
Isto pode parecer "batota", mas de facto é possível construir todo um novo sistema numérico a partir desta ideia, que tem muitas das propriedades que já são conhecidas nos números reais.
 

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Venho aqui partilhar algo que talvez tenha interesse para alguns de vocês. Quando estava no 12.º ano, escrevi um texto expositivo acerca da origem dos números complexos. É esse texto que decidi agora partilhar convosco. Foca-se em alguns aspectos da génese dos números complexos, descrevendo o problema que lhes deu origem e o seu contexto histórico. Tendo sido escrito há vários anos, tem algumas imprecisões e, hoje em dia, escreveria certas coisas de forma diferente. Para além disso, foi escrito nos tempos em que o Microsoft Word ainda não tinha uma ferramenta decente de edição de equações, pelo que a formatação matemática deixa muito a desejar... Não deixa de ter, ainda assim, alguma utilidade.

Há uma história interessante por trás do texto... Aquando da introdução aos números complexos feita pelo meu professor de Matemática A da altura, este referiu que os complexos tinham sido criados para que se pudessem resolver equações do segundo grau. Ora, eu já tinha estudado de modo autónomo algumas coisas sobre complexos e sabia que isto não era verdade: a introdução dos complexos havia sido feita para que se pudessem resolver equações do terceiro grau. Disse-lho e ele insistiu na sua posição. Então, à boa maneira académica, escrevi um texto devidamente fundamentado e com referências que provasse o meu ponto...

(Reparem que isto tudo aconteceu perto do fim do 12.º ano e, ainda assim, fui para Medicina e não Matemática. Era um autêntico perito em ignorar os sinais óbvios...)

Para quem não sabe o que são números complexos, segue-se uma brevíssima introdução, com apenas os aspectos necessários para entender o texto. De resto o texto exige muito poucos conhecimentos matemáticos; apenas alguma familiaridade com a resolução de equações quadráticas e alguma manipulação algébrica.
O sistema numérico dos complexos é uma extensão do sistema numérico dos reais, do mesmo modo que os reais estendem os sistemas numéricos mais simples dos racionais, inteiros e naturais. A ideia é a de eliminar a impossibilidade de tomar raízes quadradas (e, mais geralmente, raízes de índice par) de números negativos.

Para tal, considera-se um novo número, a unidade imaginária, que se representa por i e que tem a propriedade
[latex]i^2 = -1[/latex]
Isto pode parecer "batota", mas de facto é possível construir todo um novo sistema numérico a partir desta ideia, que tem muitas das propriedades que já são conhecidas nos números reais.

Pequena pergunta: como reagiu o professor?
 
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Pequena pergunta: como reagiu o professor?

No início do ano lectivo ele tinha incentivado a turma a entregar (sem qualquer obrigatoriedade) pequenos trabalhos sobre aspectos da matéria, que poderiam influenciar positivamente a classificação final. Isto serve apenas para justificar que a entrega de um trabalho que veio, essencialmente, "do nada" não foi vista como estranha.

Em relação ao trabalho, parece-me que ele percebeu a minha intenção por trás dele. Mas aceitou-o e disse-me que tinha gostado dele. Não lhe deu uma nota, mas de qualquer forma a minha classificação final desse ano coincidiu com a média arredondada dos testes e foi igual a 20, pelo que não há forma de saber se ele de facto me beneficiou ou não por ele...
 
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No início do ano lectivo ele tinha incentivado a turma a entregar (sem qualquer obrigatoriedade) pequenos trabalhos sobre aspectos da matéria, que poderiam influenciar positivamente a classificação final. Isto serve apenas para justificar que a entrega de um trabalho que veio, essencialmente, "do nada" não foi vista como estranha.

Em relação ao trabalho, parece-me que ele percebeu a minha intenção por trás dele. Mas aceitou-o e disse-me que tinha gostado dele. Não lhe deu uma nota, mas de qualquer forma a minha classificação final desse ano coincidiu com a média arredondada dos testes e foi igual a 20, pelo que não há forma de saber se ele de facto me beneficiou ou não por ele...

OK... temi que o professor se tivesse sentido tentado a mandar-te sair pacificamente da sala...
 
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Eu ia fazer esta pergunta por mensagem privada, mas achei que poderia ser do interesse de mais alguém.

@Alfa, quais são os livros (em português ou inglês) que recomendas a alguém que esteja interessado em Matemática para além do programa do secundário e que sejam relativamente compreensíveis para um aluno sem praticamente nenhum conhecimento para além de Matemática A? Eu queria alguma coisa desafiante, que não fosse propriamente uma tentativa de popularizar temas matemáticos escritos por alguém que claramente acha que tem muito mais piada do que realmente tem, mas em que não esteja irreversivelmente perdido ao fim de duas linhas.

Eu não tenho em mente temas particulares, mas estou particularmente interessado na história, filosofia e estrutura da Matemática e em todos os temas matemáticos que consideres de alguma forma interessantes (desde teoria dos conjuntos a estatística) - eu só não escrevi Combinatória porque achei que não era preciso :D
 
Eu ia fazer esta pergunta por mensagem privada, mas achei que poderia ser do interesse de mais alguém.

@Alfa, quais são os livros (em português ou inglês) que recomendas a alguém que esteja interessado em Matemática para além do programa do secundário e que sejam relativamente compreensíveis para um aluno sem praticamente nenhum conhecimento para além de Matemática A? Eu queria alguma coisa desafiante, que não fosse propriamente uma tentativa de popularizar temas matemáticos escritos por alguém que claramente acha que tem muito mais piada do que realmente tem, mas em que não esteja irreversivelmente perdido ao fim de duas linhas.

Eu não tenho em mente temas particulares, mas estou particularmente interessado na história, filosofia e estrutura da Matemática e em todos os temas matemáticos que consideres de alguma forma interessantes (desde teoria dos conjuntos a estatística) - eu só não escrevi Combinatória porque achei que não era preciso :D

Isto é uma excelente pergunta e uma das minhas favoritas, uma vez que um dos meus hobbies é manter-me informado em relação a livros de Matemática ou sobre Matemática, ainda que não sejam da minha área.

Vou responder de forma mais abrangente do que a pergunta requer, uma vez que isto talvez possa ser útil a outras pessoas.

Percebo da tua pergunta que não estás interessado em divulgação ou popularização da Matemática. Apesar disso e apesar de eu próprio não ser um fã do género, tenho de deixar aqui a recomendação de um livro que está a meio caminho entre a divulgação e um manual de Matemática. É o "Conceitos Fundamentais da Matemática", de Bento de Jesus Caraça. Não é um livro que vá assim tão além do que se aprende no secundário (inclui alguns temas do primeiro ano da universidade, mas não são assim tantos), mas oferece uma perspectiva mais rigorosa sobre alguns temas matemáticos elementares: números, funções, etc. Esta perspectiva é muito útil a quem futuramente pretenda levar a Matemática a sério e fornece uma compreensão diferente da Matemática do secundário. Pode ser um pouco denso em alguns pontos, mas um livro de Matemática é para ser lido com calma (e com caneta e papel à mão).

Uma outra sugestão mais generalista, desta vez de um livro que é, sem dúvida, um manual universitário, é o livro "How to Prove It, A Structured Approach", de Daniel Vellemann, de preferência a segunda edição. Este é o meu livro de Matemática favorito. Alguém que queira levar a Matemática mais seriamente precisa de ter a capacidade de fazer demonstrações e de compreender conceitos básicos da Matemática avançada (conjuntos, funções, relações binárias, etc.). Este livro é um manual que serve para uma disciplina do primeiro ano de algumas licenciaturas que tem como propósito ajudar os alunos a adquirir estas capacidades e fazerem a transição para a Matemática da universidade. O livro tem uma primeira parte sobre lógica e demonstrações e uma segunda parte sobre conceitos como relações, funções, indução e cardinalidade de conjuntos.

Apesar de ser um manual universitário, está escrito de forma suficientemente clara para que um aluno empenhado do secundário possa compreender o que lá está, fazendo um estudo autónomo. Aconselho vivamente alguém que o queira estudar a fazer os exercícios; pensar que basta dominar a teoria é um erro, mesmo em assuntos mais teóricos. A única desvantagem é a seguinte: para aprender a fazer demonstrações é preciso fazê-las e receber feedback de alguém que perceba do assunto. Sem isso é possível aprender, mas não é tão fácil perceber o nosso progresso. Tirando isso, é um livro excelente. (E eu não me importo de "orientar" e dar algum feedback a quem queira lê-lo de modo mais empenhado. ;) )

Depois há sempre a possibilidade de avançar um pouco e estudar assuntos iniciais da Matemática universitária. O Cálculo Diferencial e Integral é uma opção comum, bem como a Álgebra Linear. Existem muitos livros sobre este assunto, que se dividem em várias categorias. Há os calhamaços americanos como o "Calculus" do James Stewart ou o "Elementary Linear Algebra" de Anton e Rorres, que têm tudo e mais alguma coisa (e geralmente muitos exercícios), mas que são intimidantes e podem desencorajar por causa do tamanho (e têm algumas falhas...). Existem alternativas, em português e em inglês, mas agora não estou em casa e tenho de ir investigar as minhas estantes (reais e virtuais :P) para dar algumas recomendações pertinentes.

Indo direito ao assunto, se me pedisses um e um só livro que eu recomendasse para alguém com os teus conhecimentos e o teu género de interesse, eu diria o How to Prove It, até porque te daria uma bagagem muito útil caso sigas algum curso com uma quantidade razoável de Matemática.

Mais tarde acrescento qualquer coisa à lista ;)
 
Depois há sempre a possibilidade de avançar um pouco e estudar assuntos iniciais da Matemática universitária. O Cálculo Diferencial e Integral é uma opção comum, bem como a Álgebra Linear.

Tu não te atrevas a fazer uma determinada sugestão... Tu não te atrevas... :coldsweat:
 
Como prometido, vou acrescentar mais algumas coisas ao que disse anteriormente.

Os livros que sugeri na mensagem anterior são, essencialmente, generalistas. O primeiro toca em alguns temas da Matemática pré-universitária e do início da universidade. O segundo aborda temas transversais a toda a Matemática pura, estando na base de estudos futuros em Matemática.

Para além disto, há ainda livros sobre assuntos razoavelmente elementares de Matemática universitária. Vou tentar dar recomendações para alguns assuntos que considero mais acessíveis a quem queira ir um pouco mais longe, mas apenas com conhecimentos de Matemática A.

Cálculo / Análise:

(Um aparte: Cálculo e Análise acabam por ser a mesma área da Matemática; a diferença está apenas em que o Cálculo é dado, geralmente, de forma menos teórica e mais focada em cálculos e em aplicações e a Análise foca-se mais na parte teórica e nos teoremas fundamentais.)

A referência paradigmática para o Cálculo em termos mais práticos é o livro "Calculus" de James Stewart (eu recomendo a versão que tem o subtitulo "Early Transcendentals". Como disse anteriormente, é um livro gigante e pode ser intimidante e desencorajador.

Como alternativa, há um livro em português que me parece bastante razoável, o "Cálculo Numa Variável Real" de João Paulo Santos. É um livro que está, em certos aspectos, a meio caminho entre o Cálculo e a Análise. Tem demonstrações e teoremas, mas também se foca nas técnicas mais "calculatórias". Parece-me acessível a um aluno do secundário, tirando um ou outro aspecto mais sofisticado (mas tenho a sensação de que o autor normalmente faz alguma indicação de quais as passagens mais exigentes). Mesmo quem ainda não deu, por exemplo, limites ou derivadas pode usar o livro, uma vez que estes temas são explorados de raiz no livro (de forma porventura mais teórica que no secundário).

Uma referência bastante menos sofisticada, mas útil para quem quiser aprender as técnicas fundamentais (calcular primitivas e integrais, por exemplo), é o livro "Calculus of One Variable" de Keith Hirst. Em muitos aspectos assemelha-se a um manual do secundário, em especial na abordagem relativamente simples que faz dos assuntos.

Álgebra Linear:

A Álgebra Linear é um dos assuntos que considero centrais em Matemática; independentemente da área em que trabalhe, todo o matemático (e matemático aplicado, e físico, ...) precisa de saber alguma Álgebra Linear.

A referência habitual é o "Elementary Linear Algebra", de Howard Anton e Chris Rorres. Os mesmos comentários que fiz ao livro do Stewart aplicam-se aqui.

Encontrar alternativas é mais difícil. Para ser sincero, ainda não encontrei "O" livro de Álgebra Linear que me encha as medidas, talvez por ser um assunto próximo da minha área e portanto seja mais exigente. Para ser sincero, acho que um livro de Álgebra Linear que valha a pena tem de explorar um pouco mais a fundo a teoria. E, para que se possa tirar o máximo partido dele, é necessário algum à-vontade com coisas mais teóricas (ou seja, ter lido algo como o How To Prove It...).

Ainda assim, deixo três recomendações. O livro "Álgebra Linear", de Cabral/Perdigão/Saiago é uma referência mais simples, mais focada na parte calculatória, mas com teoremas e demonstrações. Deixa de fora alguns aspectos da Álgebra Linear, mas é uma introdução acessível para quem tem alguma curiosidade em saber de que se trata. O livro "Introdução à Álgebra Linear", de Santana/Queiró é um dos melhores livros de Álgebra Linear em português, mas é menos elementar. Lê-lo talvez dê mais trabalho a um aluno do secundário, especialmente sem orientação. Outra desvantagem é o facto de o livro incluir apenas exercícios mais teóricos e mais dificeis (mas há uma página na internet que inclui folhas de exercícios mais práticos).

Finalmente, há dois livros dos autores Blyth e Robertson, o "Basic Linear Algebra" e o "Further Linear Algebra", que são razoavelmente elementares (especialmente o primeiro) e acessíveis a quem, estando no secundário, queira saber mais deste assunto.

Tu não te atrevas a fazer uma determinada sugestão... Tu não te atrevas... :coldsweat:

Vês, não recomendei o que estavas a pensar... :P

Algumas considerações finais:

É sempre mais fácil para um aluno do secundário recorrer a referências mais elementares e menos teóricas para aprender certos assuntos sozinho. A minha recomendação do How To Prove It na primeira mensagem também ia ao encontro de dar a quem queira as ferramentas necessárias para estudar de modo mais autónomo assuntos mais teóricos.
 
Vês, não recomendei o que estavas a pensar... :p

Obrigado... não era preciso dares-te a esse trabalho só por minha causa... :blush:

Aliás, não minha, do senhor calvo...
 
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Bem, eu não gosto nada daquele livro...

Dem.: óbvia.

E aquelas soluções de alguns exercícios sobre axiomas? Sabes do que falo?
 
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Eu queria alguma coisa desafiante, que não fosse propriamente uma tentativa de popularizar temas matemáticos escritos por alguém que claramente acha que tem muito mais piada do que realmente tem, mas em que não esteja irreversivelmente perdido ao fim de duas linhas
O único livro que conheço que seja desafiante, acessível e não tente divulgar a Matemática é o How to prove it, que o @Alfa falou. É excelente, e muito usado no primeiro ano da licenciatura (for obvious reasons). However, ha duas menções honrosas que tenho que sugerir.
O primeiro é 'Amor e Matemática', do Edward Frenkel. É um livro direccionado às massas e ao leigo, mas que aborda suavemente conceitos muito pesados, como o Programa de Langlands, grupos de Lie e teoria de Galois (fala um bocado em mecânica quântica, se não me engano, para quem goste). Comecei a ler reticente , porque estou farto de livros 'a matemática é linda! ', mas fiquei convencido. Não é uma obra prima, mas le-se bem e torna-se rapidamente desafiante.
O outro livro não li do início ao fim, mas não deixo de recomendar pela peça de curiosidade que é. Chama-se 'Proofs from the book', de Aigner e Ziegler, e é uma compilação das provas mais simples, elegantes e criativas da matemática. É super acessível, mas mesmo assim não recomendo ler sem primeiro passar pelo How to prove it, para que se ganhe um tacto da beleza de uma demonstração antes de se ver as mais bonitas!

Uma outra sugestão mais generalista, desta vez de um livro que é, sem dúvida, um manual universitário, é o livro "How to Prove It, A Structured Approach", de Daniel Vellemann, de preferência a segunda edição.

Não foi o primeiro livro que me veio à cabeça, mas devia ter sido. Spot on.
 
O primeiro é 'Amor e Matemática', do Edward Frenkel. É um livro direccionado às massas e ao leigo, mas que aborda suavemente conceitos muito pesados, como o Programa de Langlands, grupos de Lie e teoria de Galois (fala um bocado em mecânica quântica, se não me engano, para quem goste). Comecei a ler reticente , porque estou farto de livros 'a matemática é linda! ', mas fiquei convencido. Não é uma obra prima, mas le-se bem e torna-se rapidamente desafiante.

Não costumo gostar muito de divulgação, mas folheei este livro numa livraria há uns tempos e achei-o bom. Não o li, por isso não posso afirmar com certeza, mas foi a sensação com que fiquei.
 
Não costumo gostar muito de divulgação, mas folheei este livro numa livraria há uns tempos e achei-o bom. Não o li, por isso não posso afirmar com certeza, mas foi a sensação com que fiquei.
Tu queres é ficar com o conhecimento todo só para ti! :P
 
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