SINAL + - Provas Modelo de Exame com Resolução - Matemática A // Dúvidas/Questões para o Exame.

[nunomiguelguerreiro]

Olá, alguém me pode indicar como chego aquela conclusão? Usando o lim não percebo o porque de ser levantado a dois, não me lembro de esta situação me ter ocorrido na resolução de limites anteriores.
Obrigada!

Basta utilizar o facto de \(\lim \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x\)

 

[Blasty]

Olá, alguém me pode indicar como chego aquela conclusão? Usando o lim não percebo o porque de ser levantado a dois, não me lembro de esta situação me ter ocorrido na resolução de limites anteriores.
Obrigada!

Olá, alguém me pode indicar como chego aquela conclusão? Usando o lim não percebo o porque de ser levantado a dois, não me lembro de esta situação me ter ocorrido na resolução de limites anteriores.
Obrigada!

É um limite notável

 

[AnaaSilva]

Muito obrigada! Este limite é pertencente ás novas metas curriculares?

 

[crebellum]

Olá! Alguém me pode ajudar no exercício 5, caderno 1, prova modelo 3 (sinal +)? Não consigo determinar a medida da base maior do trapézio (comprimento CD)!

 

[Alfa]

Olá! Alguém me pode ajudar no exercício 5, caderno 1, prova modelo 3 (sinal +)? Não consigo determinar a medida da base maior do trapézio (comprimento CD)!

A abcissa de D é igual a \( \cos(\alpha-\pi/2) =\sin(\alpha) \). Isto já te ajuda?

 

[Marco L.]

Muito obrigada! Este limite é pertencente ás novas metas curriculares?

Sim. Antigamente só davam quando o k = 1

 

[crebellum]

A abcissa de D é igual a \( \cos(\alpha-\pi/2) =\sin(\alpha) \). Isto já te ajuda?

Sim, obrigada!!!
Já agora, neste tipo de questões tens alguma dica que me possas dar para os conseguir resolver (algo ""comum"" à maioria destes exercícios)? É que tenho tanta dificuldade neste tipo de problemas!

 

[Alfa]

Sim, obrigada!!!
Já agora, neste tipo de questões tens alguma dica que me possas dar para os conseguir resolver (algo ""comum"" à maioria destes exercícios)? É que tenho tanta dificuldade neste tipo de problemas!

Honestamente, não sei se há truques. É uma questão de pensares que as informações que te dão no enunciado não são nem a mais nem a menos do que aquilo que precisas para resolver o exercício. Pensa bem nos dados e, se estiveres presa, verifica se há alguma coisa que ainda não utilizaste.

Por exemplo, neste exercício provavelmente não tiveste problemas em perceber que a medida da base menor estava relacionada com razões trigonométricas do ângulo \(\alpha\). Para a base maior era preciso usar a informação de que havia ali um ângulo recto, permitindo perceber o que era o outro ângulo (em função de \(\alpha\)). Não sei se é este o teu problema habitual, mas prestar atenção aos dados é sempre uma boa ideia. ;)

 

[crebellum]

Honestamente, não sei se há truques. É uma questão de pensares que as informações que te dão no enunciado não são nem a mais nem a menos do que aquilo que precisas para resolver o exercício. Pensa bem nos dados e, se estiveres presa, verifica se há alguma coisa que ainda não utilizaste.

Por exemplo, neste exercício provavelmente não tiveste problemas em perceber que a medida da base menor estava relacionada com razões trigonométricas do ângulo \(\alpha\). Para a base maior era preciso usar a informação de que havia ali um ângulo recto, permitindo perceber o que era o outro ângulo (em função de \(\alpha\)). Não sei se é este o teu problema habitual, mas prestar atenção aos dados é sempre uma boa ideia. ;)

Eu usei as razões trigonométricas em praticamente todo o exercício e até funcionou bem ahah. Mas geralmente nao sei fazer este tipo de exercícios e fico frustrada. Mas obrigada!

 

[Alfa]

Eu usei as razões trigonométricas em praticamente todo o exercício e até funcionou bem ahah. Mas geralmente nao sei fazer este tipo de exercícios e fico frustrada. Mas obrigada!

Nesse caso tem mesmo de ser uma questão de prática ;)

 

[João Sanguessuga]

Boa noite, será que alguém me pode explicar o exercício 1 do caderno 1 da prova modelo 3 do Sinal +? Não estou mesmo a compreender a resolução. Eu conheço o teorema que se uma sucessão é monótona e limitada é convergente, mas sem o termo geral não estou a conseguir chegar lá..

 

[nunomiguelguerreiro]

Boa noite, será que alguém me pode explicar o exercício 1 do caderno 1 da prova modelo 3 do Sinal +? Não estou mesmo a compreender a resolução. Eu conheço o teorema que se uma sucessão é monótona e limitada é convergente, mas sem o termo geral não estou a conseguir chegar lá..

A sucessão \((a_n)\) é tal que \(a_{n+1}<a_n\), logo \(a_{n+1}-a_n < 0\), e portanto é uma sucessão decrescente. Toda a sucessão decrescente é majorada pelo seu primeiro termo (basta pensar que se os termos da sucessão são cada vez menores, então o primeiro é o maior de todos). Portanto \(a_n \leq a_1\).

Como a sucessão é de termos positivos, então sabemos que todos os termos são maiores que \(0\), isto é, \(a_n > 0\).

Conclui-se então que \(0<a_n\leq a_1\), isto é, \(a_n\) é uma sucessão limitada.

Como a sucessão é limitada e monótona (é decrescente), então é convergente.

 

[João Sanguessuga]

A sucessão \((a_n)\) é tal que \(a_{n+1}<a_n\), logo \(a_{n+1}-a_n < 0\), e portanto é uma sucessão decrescente. Toda a sucessão decrescente é majorada pelo seu primeiro termo (basta pensar que se os termos da sucessão são cada vez menores, então o primeiro é o maior de todos). Portanto \(a_n \leq a_1\).

Como a sucessão é de termos positivos, então sabemos que todos os termos são maiores que \(0\), isto é, \(a_n > 0\).

Conclui-se então que \(0<a_n\leq a_1\), isto é, \(a_n\) é uma sucessão limitada.

Como a sucessão é limitada e monótona (é decrescente), então é convergente.

Desde já agradeço-te imenso o esclarecimento, está óptimo e estou praticamente lá! hahah, só não entendi esta frase, "Como a sucessão é de termos positivos, então sabemos que todos os termos são maiores que \(0\), isto é, \(a_n > 0\)." podes-me tentar explicar de uma outra forma essa frase sff?

 

[Alfa]

Desde já agradeço-te imenso o esclarecimento, está óptimo e estou praticamente lá! hahah, só não entendi esta frase, "Como a sucessão é de termos positivos, então sabemos que todos os termos são maiores que \(0\), isto é, \(a_n > 0\)." podes-me tentar explicar de uma outra forma essa frase sff?

Um número positivo é um número maior que zero. Uma sucessão de termos positivos é uma sucessão cujos termos são todos números positivos, ou seja maiores que zero. Escrito de modo mais formal, \( a_n > 0 \) para qualquer \( n \).

 

[João Sanguessuga]

Um número positivo é um número maior que zero. Uma sucessão de termos positivos é uma sucessão cujos termos são todos números positivos, ou seja maiores que zero. Escrito de modo mais formal, \( a_n > 0 \) para qualquer \( n \).

Esclarecido! Obrigado!

 

[nunomiguelguerreiro]

Acabo de disponibilizar uma sétima e última Prova Modelo de Exame Nacional de Matemática A em Provas Modelo de Exame

Muito bom trabalho para todos!

 

[João Sanguessuga]

Boa noite! Alguém me pode explicar o exercício 2 do caderno 1 da prova modelo 6 sff? Eu entendi o facto da sucessão não ser monótona, mas não compreendo o porquê dela ser limitada..

 

[nunomiguelguerreiro]

Boa noite! Alguém me pode explicar o exercício 2 do caderno 1 da prova modelo 6 sff? Eu entendi o facto da sucessão não ser monótona, mas não compreendo o porquê dela ser limitada..

Repara que \(\lim r^n = 0\) para \(|r|<1\)

Uma progressão geométrica de razão, \(r\), de termo geral \(u_n = u_1 \times r^{n-1}\) tal que \(|r|<1\), é uma progressão geométrica convergente para \(0\), uma vez que \(\lim u_n = \lim \left(u_1 \times r^{n-1}\right) = u_1 \times r^{+\infty} = u_1 \times 0 = 0\).

No exercício em causa, podes concluir que a sucessão é limitada, pois é majorada pelo primeiro termo e minorada pelo \(0\), ou ainda, porque sendo convergente, então é limitada.


EDIT: após correção do @Alfa.

 

[Alfa]

Desta forma é limitada inferior ou superiormente, consoante o sinal do primeiro termo:

• caso o primeiro termo seja positivo, então é limitada inferiormente por 00 e superiormente pelo primeiro termo
• caso o primeiro termo seja negativo, então é limitada superiormente por 00 e inferiormente pelo primeiro termo

Isto não é inteiramente verdade.

Uma progressão geométrica de razão \(r\) com \(\vert r\vert < 1\) é convergente, sim. Qualquer sucessão convergente é limitada (isto é um teorema dado no 11.º ano). Portanto, uma progressão geométrica de razão \(r\) com \(\vert r\vert < 1\) é limitada. E isto chega para justificar a resposta correcta no exercício.

No entanto, uma progressão geométrica nestas condições com primeiro termo positivo não tem de ser limitada inferiormente por zero porque não tem de ter apenas termos positivos. (Como, de resto, a resolução do exercício diz mais acima.) Por exemplo, a sucessão de termo geral \( u_n = (-1/2)^{n-1} \) é uma progressão geométrica de razão \( -1/2\), portanto convergente e limitada. O primeiro termo é igual a \( u_1 = (-1/2)^0 = 1\), portanto positivo. No entanto, esta progressão não é limitada inferiormente por zero, uma vez que também tem termos negativos. (Argumentos análogos servem para justificar que o segundo ponto mencionado acima também não é verdadeiro.)

O que citei acima da mensagem do @nunomiguelguerreiro só é verdade caso a progressão tenha termos todos com o mesmo sinal (o que acontece apenas se a razão não for negativa).

 

[nunomiguelguerreiro]

Isto não é inteiramente verdade.

Uma progressão geométrica de razão \(r\) com \(\vert r\vert < 1\) é convergente, sim. Qualquer sucessão convergente é limitada (isto é um teorema dado no 11.º ano). Portanto, uma progressão geométrica de razão \(r\) com \(\vert r\vert < 1\) é limitada.

No entanto, uma progressão geométrica nestas condições com primeiro termo positivo não tem de ser limitada inferiormente por zero porque não tem de ter apenas termos positivos. (Como, de resto, a resolução do exercício diz mais acima.) Por exemplo, a sucessão de termo geral \( u_n = (-1/2)^{n-1} \) é uma progressão geométrica de razão \( -1/2\), portanto convergente e limitada. O primeiro termo é igual a \( u_1 = (-1/2)^0 = 1\), portanto positivo. No entanto, esta progressão não é limitada inferiormente por zero, uma vez que também tem termos negativos.

(Argumentos análogos servem para justificar que o segundo ponto mencionado acima também não é verdadeiro.)

O que citei acima só é verdade caso a progressão tenha termos todos com o mesmo sinal.

Toda a razão.